山東省棗莊二中 韓宏帥

立體幾何中的探索性與存在性問題例說

山東省棗莊二中 韓宏帥

探究性與存在性問題是指一類在條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立的問題。立體幾何中的探究性與存在性問題，既能夠考查同學(xué)們的空間想象能力，又可以考查同學(xué)們的觀察、分析和探究能力。

熱點(diǎn)題型

1.對命題條件的探索

探索條件，即探索能使結(jié)論成立的條件是什么。對命題條件的探索常采用以下三種方法：（1）先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件，再進(jìn)行證明。

（2）先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性。

（3）把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索出命題成立的條件。

2.對命題結(jié)論的探索

探索結(jié)論，一種是在給定的條件下命題的結(jié)論是什么，常從條件出發(fā)，探索出要求的結(jié)論是什么；還有一種是探索結(jié)論是否存在，常假設(shè)結(jié)論存在，再尋找與條件相容還是矛盾的結(jié)論。

解題技巧

立體幾何的探索性與存在性問題一般都是條件開放性的探究問題，采用的方法一般是執(zhí)果索因的方法：假設(shè)求解的結(jié)果存在，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，運(yùn)用方程的思想或向量的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問題解決，如果能找到符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件，或出現(xiàn)了矛盾，則不存在。

典例選析

例1 如圖1，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，P A⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=。

圖1

（1）求證：PD⊥平面PAB。

（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值。

（3）在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由。

分析 （1）由面面垂直性質(zhì)定理可知AB⊥平面PAD，根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知AB⊥PD，再由線面垂直判定定理可知PD⊥平面PAB。

（2）取AD的中點(diǎn)O，連接PO、CO，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法可求出直線PB與平面PCD所成角的正弦值。

圖2

點(diǎn)評 平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用：當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直（必要時(shí)可以運(yùn)用平面幾何的知識證明垂直關(guān)系），構(gòu)造（尋找）二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等。

例2 如圖3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，四邊形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段EF上。

圖3

（1）求證：BC⊥平面ACFE。

（2）當(dāng)EM為何值時(shí)，AM∥平面BDF？證明你的結(jié)論。

分析 （1）證明線面垂直的方法：一是利用線面垂直的判定定理，二利用是面面垂直的性質(zhì)，三是利用平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面）。解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化。

（2）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)。

圖4

點(diǎn)評 本題考查了直線與平面垂直的判定和直線與平面平行的判定。這類探索性題型通常是找命題成立的一個(gè)充分條件，所以解這類題采用下列兩種方法：（1）通過各種嘗試探索出條件。（2）找出命題成立的必要條件，再證明充分性。