詹 敏，廖志高，徐玖平

(1.廣西科技大學(xué) 管理學(xué)院，廣西 柳州 545006；2.四川大學(xué) 商學(xué)院，四川 成都 610064)

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【統(tǒng)計理論與方法】

線性無量綱化方法比較研究

詹 敏1，2，廖志高1，徐玖平2

(1.廣西科技大學(xué) 管理學(xué)院，廣西 柳州 545006；2.四川大學(xué) 商學(xué)院，四川 成都 610064)

根據(jù)線性無量綱化方法函數(shù)構(gòu)成所使用的中心點值和值域指標(biāo)以及其斜率和截距的表達式，對8種線性無量綱化方法進行分析，從不同的角度再次論證不同線性無量綱化方法所滿足的性質(zhì)定理，并進行了理論論證。同時，通過對線性無量綱化方法的分類比較，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)定理提出了多種線性無量綱化方法，并說明了其相關(guān)性質(zhì)，具有一定的科學(xué)性。同時還分析了在對多指標(biāo)數(shù)據(jù)進行綜合評價的過程中只采用一種線性無量綱化方法的不足，提出了采用多種無量綱化方法的設(shè)想的理論可行性，并用案例進行了實證分析，表明其存在一定的合理性。

斜率；截距；中心點值；值域

一、引 言

在多指標(biāo)綜合評價的過程中，經(jīng)常會遇到由于各個指標(biāo)之間的單位和量級等不同而無法直接評價的問題，為了盡可能避免其帶來的不利影響，客觀反映被評價對象的真實水平，有必要對被評價對象原始指標(biāo)數(shù)據(jù)作無量綱化處理[1]16-23[2-5]。指標(biāo)數(shù)據(jù)的無量綱化，也叫做指標(biāo)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化，它是通過數(shù)學(xué)變換來消除原始指標(biāo)量綱影響的方法。對所有的評價指標(biāo)原始數(shù)據(jù)進行無量綱化處理的過程通常包含三個方面的內(nèi)容：同度量、同方向、同基準(zhǔn)(包括同值域、同中心值或同某一端點值等)。同度量主要是將同一指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)單位統(tǒng)一；同方向是將逆向指標(biāo)正向化，以及對區(qū)間指標(biāo)、居中指標(biāo)的正向化處理。同基準(zhǔn)則是通過某一類型變換函數(shù)將不同指標(biāo)的正向化數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為某一函數(shù)值，以便不同指標(biāo)間進行相應(yīng)的集結(jié)與比較。本文討論的線性無量綱化方法主要是指確定同基準(zhǔn)所采用的變換函數(shù)的方法。

現(xiàn)有的無量綱化方法主要分為兩類：線性無量綱化方法和非線性無量綱化方法。線性無量綱化方法一般包括：標(biāo)準(zhǔn)化處理法、極值處理法、線性比例法、歸一化處理法、向量規(guī)范法以及功效系數(shù)法等，其特點是無量綱化變換均為線性，線性變換函數(shù)的計算都運用了某些統(tǒng)計指標(biāo)，如最大值、最小值、均值、方差等。還有一種較特殊的為基于獎優(yōu)罰劣的線性無量綱化方法，其線性變換函數(shù)將大于平均值的數(shù)為正，小于平均值的數(shù)為負，由于彌補了只獎不罰的不足，并且評價結(jié)果識別性更高，有一定的優(yōu)越性[6-7]。目前關(guān)于線性無量綱化方法的研究比較豐富。如郭亞軍、易平濤指出，一個理想的線性無量綱化方法一般會滿足單調(diào)性、差異比不變性、平移無關(guān)性、縮放無關(guān)性、區(qū)間穩(wěn)定性以及總量恒定性這，且證明不存在線性無量綱化方法使得“區(qū)間穩(wěn)定性”及“總量恒定性”兩個性質(zhì)同時成立，并推論出同時滿足上述六條理想無量綱化方法不存在。而標(biāo)準(zhǔn)化處理法、歸一化法及向量規(guī)范法的公式中包含指標(biāo)所有樣本信息的統(tǒng)計量，如平均值、總和及平方和等，所以穩(wěn)定性較好；相反，極值處理法、線性比例法以及功效系數(shù)法等受個別極端數(shù)據(jù)如最大值、最小值、滿意值、不容許值的影響較大，所以穩(wěn)定性較差。郭亞軍等提出了一種組合方法“極標(biāo)復(fù)合法”，兼顧極值處理法和標(biāo)準(zhǔn)化處理法并進行了論證，指出在實際應(yīng)用中，可遵循類似的思路設(shè)計構(gòu)建多種復(fù)合方法以適應(yīng)不同環(huán)境下的評價[8]。樊紅艷、劉學(xué)錄指出，原始數(shù)據(jù)無量綱化方法不同所得的排序結(jié)果也就明顯不同，好的數(shù)據(jù)無量綱化方法應(yīng)該保持原始數(shù)據(jù)整體的一致性和關(guān)聯(lián)系數(shù)一致性，并且不以個別極值來進行數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化方法等[9]。郭亞軍、馬鳳妹、董慶興則指出無量綱化方法影響被評價對象間的局部差異，因為拉開檔次法的特點是能最大程度體現(xiàn)被評價對象之間的整體差異，建議選用使被評價對象間整體差異最大的無量綱化方法[10]。江文奇給出了6種無量綱化方法產(chǎn)生的屬性值方差，同時在此基礎(chǔ)上分析了不同無量綱化方法對屬性權(quán)重影響的敏感性，屬性值發(fā)生變化以及增加或減少方案情況下的方案保序性問題。結(jié)果表明，屬性值的無量綱化方法不同，屬性的客觀權(quán)重也有所不同，不同的無量綱化方法對方案的敏感性和保序性也有差別。極差變化法與功效系數(shù)法得到的權(quán)重相同，方案保序性僅與d符號有關(guān)；標(biāo)準(zhǔn)化處理法可能造成Xi拉大或者減小差異，但屬性權(quán)重均為1/m，且難以實現(xiàn)方案的保序性；線性比例法、向量規(guī)范化法和歸一化法得到的方差與權(quán)重并不一定同向，難以實現(xiàn)方案的保序性[11]。

由此可見，不同的線性無量綱化方法在處理正向化指標(biāo)數(shù)據(jù)時均有不同的適用條件，而且不同的無量綱化方法對指標(biāo)權(quán)重及綜合評價結(jié)果均產(chǎn)生重大影響[12-13]。因此，本文試圖從與前人不同的視角對常用的8種線性無量綱化方法進行分析，找出不同線性無量綱化方法的某些共性和一般規(guī)律。

二、線性無量綱化方法特點分析

根據(jù)郭亞軍等所給出的6種常用線性無量綱化方法[8]，以及“極標(biāo)復(fù)合法”和線性“獎優(yōu)罰劣”方法，對其函數(shù)構(gòu)成所使用的指標(biāo)，原始數(shù)據(jù)中心點值和經(jīng)變換后的中心點值、以及變換函數(shù)值域和其斜率和截距的表達式進行分析。八種線性無量綱化方法所涉及分析指標(biāo)參照如下表1。

表1 八種線性無量綱化方法值域、中心點值、斜率及截距表達式表

根據(jù)表1各線性無量綱化方法的所用指標(biāo)、值域、中心點值、斜率和截距的表達式，借鑒郭亞軍所提出的六條理想性質(zhì)，對上表各線性無量綱化方法的性質(zhì)進行分析[8]。

1.單調(diào)性。由各方法斜率和截距的表達式可知，八種線性無量綱化方法均可表示為ξij=f(Xij)=kXij+b,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.的形式。由于所考慮的指標(biāo)均先進行了正向化，即對于任意的一組原始指標(biāo)數(shù)據(jù)，Xij越大則ξij越大。對于線性比例法也要求(Xij>0)，由各變換函數(shù)表達式可知以上各種方法變換函數(shù)斜率k均大于0，且其變換函數(shù)對于某一組指標(biāo)數(shù)據(jù)斜率不變。變換函數(shù)滿足單調(diào)性，且對于正向化指標(biāo)，變換函數(shù)單調(diào)遞增。

3.平移無關(guān)性與縮放無關(guān)性。對于平移無關(guān)性，左右平移f(Xij)=f(Xij+C3)(C3為任意常數(shù))與縮放無關(guān)性f(Xij)=f(C4Xij)(C4為任意非零常數(shù))的討論。將Xij+C3代入方程ξij=f(Xij)=kXij+b(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，可得f(Xij+C3)=k1Xij+k1C3+b1，而平移無關(guān)性方程左邊仍為f(Xij)=kXij+b。需要注意的是，由于原有數(shù)據(jù)的變化，線性方程斜率及截距的表達式中的數(shù)值可能也發(fā)生了變化，所以k1=k,b1=b不一定成立。經(jīng)驗證極標(biāo)復(fù)合法和線性獎優(yōu)罰劣方法也滿足平移無關(guān)性，其他方法平移無關(guān)性結(jié)論均與文[8]相符。將C4Xij代入方程ξij=f(Xij)=kXij+b(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，可得f(C4Xij)=k2C4Xij+b2。極標(biāo)復(fù)合法和線性獎優(yōu)罰劣方法均滿足縮放無關(guān)性，其他方法平移無關(guān)性結(jié)論均，這與郭亞軍等研究相符。

4.穩(wěn)定性。關(guān)于線性無量綱化方法穩(wěn)定性問題，由于構(gòu)成線性無量綱化方法的參照基準(zhǔn)指標(biāo)不同，變換函數(shù)也有差異，因此需要有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)來限定變換函數(shù)的穩(wěn)定性。一般認為，方差較小的變化方法穩(wěn)定性較好。但方差主要考慮了數(shù)值與均值之間的關(guān)系。本文在考慮方差均值的基礎(chǔ)上還分析了采用變換函數(shù)的中心點值(包括原始中心點值和變換函數(shù)中心點值)和值域來判斷無量綱化方法的穩(wěn)定性。

根據(jù)表1可知，標(biāo)準(zhǔn)化處理法和線性獎優(yōu)罰劣方法都是以均值為原始中心點值，變換后中心點值為0。除此之外再加上極標(biāo)復(fù)合法這一組合方法，其他方法是以中點值為原始中心點值，變換后的中心點值不確定。以中心點值為基準(zhǔn)可以將上述各種方法分為三種類型。極標(biāo)復(fù)合法為標(biāo)準(zhǔn)化法和極值化法的組合方法單獨作為一類。具體分類如下表2。

表2 以中心點值為基準(zhǔn)線性無量綱化方法分類表

從值域方面來考查穩(wěn)定性。由于在某一指標(biāo)數(shù)據(jù)區(qū)間內(nèi)，值域的影響因素為斜率和截距。根據(jù)表1中線性無量綱化方法各變換函數(shù)方程有無截距，可將各線性無量綱化方法分為兩類，見表3。

表3 無量綱化方法按截距是否為0進行分類表

由于線性比例法、歸一化法和向量規(guī)范法均不滿足平移無關(guān)性，且其截距為0，故其變換函數(shù)始終過原點，僅通過斜率來影響函數(shù)取值。而第一類方法則根據(jù)斜率和截距來影響變換函數(shù)取值。表4為不同值域的無量綱化方法分類

表4 不同值域的無量綱化方法分類表

由于變換函數(shù)的取值是隨著X的不同而變化。由此既考慮函數(shù)的中心點值也考慮函數(shù)的值域最為理想，故相對于其他線性無量綱化方法，線性獎優(yōu)罰劣方法較為理想。

極標(biāo)復(fù)合法中心點值為均值和中點值的組合。它的優(yōu)勢是兼顧了均值和中心點值的特點。它不足為，由于標(biāo)準(zhǔn)化法值域不確定，而極值法值域始終為[0,1]，因此在組合的情況下可能存在即便組合系數(shù)u非常小但標(biāo)準(zhǔn)化處理法所得取值范圍仍將覆蓋極值法取值的情行，從而使極值法的影響非常小，以至于可以忽略。同時，線性獎優(yōu)罰劣方法也滿足單調(diào)性、差異不變性、平移無關(guān)性、縮放無關(guān)性以及總量恒定性，且其值域為[-1,1],所以可將線性獎優(yōu)罰劣方法和極值法進行組合更合適。需要注意的是，線性獎優(yōu)罰劣方法其取值范圍為[-1,1]而極差化處理法其取值范圍為[0,1]，為防止覆蓋作用需對其中某一方法的取值范圍進行平移放大，可得如下組合：

其中 λ∈[0,1]。這樣既兼顧了兩種方法的特點又考慮了取值范圍不同的影響，該方法更加合理可靠。

各線性無量綱化方法斜率和截距的表達式可知，斜率的影響因素包括指標(biāo)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差、極差、單個點值、指標(biāo)值之和或指標(biāo)值平方和等，其均與已正向化指標(biāo)數(shù)據(jù)的取值區(qū)間中的某些數(shù)值有關(guān)；截距則由其基準(zhǔn)值和斜率影響因素共同決定。由此，可根據(jù)斜率表達式、基準(zhǔn)值和中心點值的關(guān)系，通過中點值替換均值或基準(zhǔn)值等方法還可構(gòu)造出如下正向化指標(biāo)無量綱化方法，例如，設(shè)中點值為x0j=(Mj+mj)/2，則：

易知，方法a、b性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)法方法相同；方法c性質(zhì)與線性比例法相同；方法d、e、f性質(zhì)與線性獎優(yōu)罰劣方法相同。但是以上方法的標(biāo)準(zhǔn)各不相同，取決于中心點值是均值還是中點值或是兩者都考慮，同時取值區(qū)間也有所區(qū)別，理論上具有一定的可行性。

在對多指標(biāo)數(shù)據(jù)進行線性無量綱化的過程中，現(xiàn)有文獻均只考慮了使用同一種線性無量綱化方法對所有指標(biāo)進行處理的情形，這顯然是不合適的。其原因如下：第一，通過分析以上8種線性無量綱化方法的斜率和截距表達式可知，采用某一種線性無量綱化方法處理多種不同屬性的指標(biāo)數(shù)據(jù)，其均值、方差、最大值、最小值等指標(biāo)數(shù)據(jù)也可能存在很大的差異，因此根據(jù)不同指標(biāo)數(shù)據(jù)求得的變換函數(shù)的斜率大小可能完全不同，而且除截距為零的情況不受影響外，變換函數(shù)的截距也可能有較大的差異；第二，不同的線性無量綱化方法均有一定的適用范圍，某一種無量綱化方法不可能同時適用于處理屬性不同且差異很大的幾組數(shù)據(jù)組成的樣本。因此，將不同屬性的指標(biāo)數(shù)據(jù)根據(jù)其不同的數(shù)據(jù)特點選擇不同的無量綱化方法進行處理成為可能。

對于同一個樣本中幾組不同屬性的數(shù)據(jù)進行綜合評價，使用多種線性無量綱化方法是否會引起總方差的變化，這種變化對于總體數(shù)據(jù)信息的流失是否會形成影響？其需要滿足的限制條件是什么？還需要作進一步研究與分析。

三、多指標(biāo)多種線性無量綱化方法案例分析

某集團公司考核其下屬15個分公司的工作業(yè)績，建立4項評價指標(biāo)：X1表示人均實現(xiàn)利稅額(萬元/人)，X2表示單位產(chǎn)值(萬元/能耗)，X3表示產(chǎn)品合格率(%)，X4表示廠區(qū)綠化覆蓋率(%)[12]。為便于本案例分析，所選指標(biāo)均為正向化指標(biāo)。各指標(biāo)權(quán)重為：w1=0.35，w2=0.3，w3=0.2，w4=0.15。

原始數(shù)據(jù)無論采用何種無量綱化方法處理，其方差前后對比必然會發(fā)生變化。對于X1、X2這兩個指標(biāo)而言，其進行無量綱化前的方差一定比不論以何種方法進行無量綱化的方差要大很多，因為原始數(shù)據(jù)量級高于處理后的數(shù)據(jù)，故使用無量綱化方法后信息必然會流失。但是若將X1、X2原始數(shù)據(jù)縮小100倍處于[0,1]之間，則其方差小于分別進行極差無量綱化方法和線性獎優(yōu)罰劣方法處理的方差，而極差化方法處理的方差比線性獎優(yōu)罰劣方法處理的方差要小，故采用極差化方法處理更合適。同理，指標(biāo)X3、X4采用線性獎優(yōu)罰劣方法處理的方差小于極差無量綱化方法處理的方差，更接近于原始數(shù)據(jù)的方差。故指標(biāo)X1、X2采用極差法指標(biāo)X3、X4采用線性獎優(yōu)罰劣方法。處理后的數(shù)據(jù)如下表6所示。

表5 各公司各指標(biāo)原始數(shù)據(jù)表

表6 經(jīng)無量綱化后規(guī)范化數(shù)據(jù)表

表6 各分公司業(yè)績評價結(jié)果表

結(jié)果與張衛(wèi)華等評價結(jié)果相差不大，但變換后方差更接近于原始數(shù)據(jù)的方差，信息保存更全，更加穩(wěn)定，說明其方法可行。同時需要注意的是，經(jīng)放大平移后的極差法可化為如下形式：

線性獎優(yōu)罰劣方法為：

上面兩種方法取值區(qū)間相同而基準(zhǔn)不同，半極差和兩端點到均值的最大值的倒數(shù)均為斜率，均體現(xiàn)了指標(biāo)Xij的區(qū)間分布情況，當(dāng)ξij=0時求得的Xij則為區(qū)間分布的中心點標(biāo)準(zhǔn)，極差法變換中心點始終為中點值，而線性獎優(yōu)罰劣方法其中心點為均值。

四、結(jié) 論

本文通過對8種不同的線性無量綱化方法從函數(shù)的構(gòu)成方面進行了詳細的分析，論證了線性無量綱化方法滿足單調(diào)性、差異比不變性、平移無關(guān)性與縮放無關(guān)性以及穩(wěn)定性等特點，并根據(jù)線性無量綱化函數(shù)的分類特點，提出了多種線性無量綱化方法。根據(jù)不同指標(biāo)屬性的數(shù)據(jù)特點，在保證總體樣本數(shù)據(jù)信息不流失的情況下，采用不同的無量綱化方法進行處理存在一定的可行性，并通過一個案例進行了實證分析，論證了其科學(xué)性和合理性。

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(責(zé)任編輯：張愛婷)

Character Analysis of Linear Dimensionless Methods

ZHAN Min1,2, LIAO Zhi-gao1, XU Jiu-ping2

(1. School of Management, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China;2. Business School, Sichuan University,Chengdu 610064, China)

According to indexs used by the function form of the linear dimensionless method, the center value and range, and expression of the function to the slope and intercept, eight kinds of linear dimensionless methods commonly used were analyzed and we summarized the nature of the different linear dimensionless, and theoretical argumented. Meanwhile, through the classification and comparision of linear dimensionless method, this paper proposed the conceive that we can use various linear dimensionless methods in a multi-index comprehensive evaluation, and described the constructor of linear will also be possible and conducted empirical analysis.

slope; intercept; center value; range

2015-11-21；修復(fù)日期：2016-07-03

國家自然科學(xué)基金重點項目《大型水利水電工程建設(shè)項目集成管理理論與方法研究》(70831005)；廣西優(yōu)秀中青年骨干教師培養(yǎng)工程資助項目(桂教人[2013]9號)

詹 敏，男，湖南長沙人，碩士生，研究方向：決策理論與方法； 廖志高，男，湖南隆回人，管理學(xué)博士，教授，研究方向：不確定決策理論與方法，物流與供應(yīng)鏈； 徐玖平，男，重慶市人，理學(xué)博士，教授，研究方向：決策理論與方法。

C812∶O213.9

A

1007-3116(2016)12-0017-06