楊茂松 湯 衛(wèi)

(貴州廣播電視大學(xué) 貴陽(yáng) 550004)

?

一類(lèi)隨機(jī)離散動(dòng)力系統(tǒng)的分岔分析

楊茂松 湯 衛(wèi)

(貴州廣播電視大學(xué) 貴陽(yáng) 550004)

非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)廣泛應(yīng)用于生物、物理、化學(xué)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中。文章基于正交逼近和離散分岔理論，通過(guò)數(shù)學(xué)分析的方法，對(duì)一類(lèi)隨機(jī)離散動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析，得出隨機(jī)參數(shù)能夠誘發(fā)系統(tǒng)發(fā)生Fild分岔和Fold分岔，隨著隨機(jī)強(qiáng)度的增大，系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生變化，分岔點(diǎn)由隨機(jī)強(qiáng)度和隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差決定的結(jié)果，并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了分岔分析。

隨機(jī)離散系統(tǒng)；正交逼近；隨機(jī)強(qiáng)度；分岔

一、引言

Logistic 映射是1976年數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家May在《自然》雜志上發(fā)表的一篇文章中提出的[1]，后來(lái)在離散動(dòng)力系統(tǒng)中有著廣泛的影響，是最早的一個(gè)由倍周期分岔通向混沌的經(jīng)典例子。隨后著名學(xué)者Feigenbaum研究發(fā)現(xiàn)，非線(xiàn)性系統(tǒng)一旦發(fā)生倍周期分岔必然導(dǎo)致混沌[2] [3]。對(duì)于確定性一維 Logistic 系統(tǒng)及其推廣形式，研究已較為詳細(xì)。它是非線(xiàn)性離散動(dòng)力系統(tǒng)中最簡(jiǎn)單的模型，對(duì)它的動(dòng)力學(xué)行為研究及其數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、社會(huì)科學(xué)、電子信息以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用都已經(jīng)相對(duì)成熟。但是，在自然界中，動(dòng)力系統(tǒng)難免受到周?chē)h(huán)境等眾多因素的干擾，如各種噪聲、隨機(jī)激勵(lì)和隨機(jī)參數(shù)等隨機(jī)因素。在系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)果精度要求較高時(shí)，如保密通信，隨機(jī)因素將會(huì)對(duì)系統(tǒng)有著不同程度的影響。近年來(lái)，徐偉、馬少娟等學(xué)者[4]- [7]對(duì)隨機(jī)離散Logistic系統(tǒng)進(jìn)行了研究，但研究的系統(tǒng)受到的擾動(dòng)大都考慮外部環(huán)境的噪聲干擾，而對(duì)帶有隨機(jī)參數(shù)的離散動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為分析還比較少。為了不斷豐富隨機(jī)動(dòng)力學(xué)的理論與方法，在現(xiàn)實(shí)生活中怎樣對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行控制，有必要對(duì)這方面的問(wèn)題進(jìn)行分析、探索，為系統(tǒng)發(fā)生相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行控制提供依據(jù)?；诖?，文章主要以帶有隨機(jī)參數(shù)的一維離散Logistic 系統(tǒng)為例，通過(guò)隨機(jī)正交展開(kāi)逼近理論，對(duì)一維隨機(jī)離散動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行研究，旨在探索參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響，進(jìn)一步揭示隨機(jī)Logistic的動(dòng)力學(xué)行為是否較Logistic系統(tǒng)的豐富，對(duì)隨機(jī)動(dòng)力學(xué)理論與方法的研究有著重要意義。

二、隨機(jī)Logistic系統(tǒng)的等價(jià)確定性系統(tǒng)

1976年, 著名生態(tài)數(shù)學(xué)家May在《自然》上發(fā)表的一篇文章中所提出的非線(xiàn)性差分方程(一維離散Logistic系統(tǒng))描述為

xn+1=μxn(1-xn)

(1)

文章考慮一維隨機(jī)離散Logistic系統(tǒng)的模型為

x(n+1)=μx(n)(1-x(n))，

(2)

其中μ為系統(tǒng)的隨機(jī)參數(shù)。由不動(dòng)點(diǎn)定理可得系統(tǒng)(2)存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，分別為x1=0和x2=1-1/μ。對(duì)于x1=0這平衡點(diǎn)在實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用中，不具有實(shí)際意義。所以主要是對(duì)非零平衡點(diǎn)x2=1-1/μ的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行討論。在不影響系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和計(jì)算方便的前提下，對(duì)系統(tǒng)(2)進(jìn)行坐標(biāo)變換y(n)=x(n)-(1-1/μ)，系統(tǒng)(2)轉(zhuǎn)化為

y(n+1)=(2-μ)y(n)-μx2(n)，

(3)

系統(tǒng)(3)中的隨機(jī)參數(shù)μ為

(4)

(5)

將(5)式和(4)式代入系統(tǒng)(3)可得

(6)

根據(jù)正交多項(xiàng)式中的三項(xiàng)遞推性質(zhì)有

kPn(k)=αnPn+1(k)+βnPn(k)+γnPn-1(k),

(7)

其中，γn≠0，P-1(k)=0，P0(k)=1，遞推公式的系數(shù)由所選取的多項(xiàng)式確定。通過(guò)三項(xiàng)遞推公式對(duì)系統(tǒng)(6)中的非線(xiàn)性項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)進(jìn)行相應(yīng)的處理得

(8)

βiyi(n)+αi-1yi-1(n))-αiyi(n)Pi+1(k))，

(9)

αi-1Si-1(n))-αiSi(n)Pi+1(k)),

(10)

利用Maple軟件對(duì)非線(xiàn)性項(xiàng)計(jì)算得Si(n)與yi(n)的關(guān)系如下：

進(jìn)而可將系統(tǒng)(6)化為

αi-1Si-1(n))-αiSi(n)Pi+1(k)),

(11)

由多項(xiàng)式逼近理論可知，yM+1(n)，y-1(n)，SM+1(n)，S-1(n)都為零，在方程(11)兩邊同時(shí)乘以均方收斂意義下的隨機(jī)函數(shù)空間的正交多項(xiàng)式標(biāo)準(zhǔn)基Pi(k)(i=1,2,3,…,M)，對(duì)服從分布P(U=k)=Pk隨機(jī)變量k取期望，并利用多項(xiàng)式的正交性得出一維隨機(jī)離散Logistic系統(tǒng)的等價(jià)確定性系統(tǒng)。當(dāng)M無(wú)限大時(shí)，所得等價(jià)確定性系統(tǒng)與原系統(tǒng)才是嚴(yán)格等價(jià)，希望M取得越大越好，為了數(shù)學(xué)處理和數(shù)值仿真，取M=1，一維隨機(jī)離散Logistic系統(tǒng)的等價(jià)確定性系統(tǒng)就可約化為

(12)

則隨機(jī)系統(tǒng)的集合平均響應(yīng)(隨機(jī)響應(yīng)的均值)為

=E(y0(n)P0(k)+y1(n)P1(k))

=y0(n)+y1(n),

當(dāng)k=0時(shí)的均值參數(shù)系統(tǒng)的樣本響應(yīng)

在文章中隨機(jī)強(qiáng)度的取值是非常小的，因此一維隨機(jī)離散系統(tǒng)中的初始條件和隨機(jī)離散系統(tǒng)的等價(jià)擴(kuò)階確定系統(tǒng)初始條件相同，即

y0=y0(0)=0.2, y1=y1(0)=0.1,

所以需要

X(0)=(0.2, 0.1)T，

進(jìn)而在一定的初始條件下來(lái)討論隨機(jī)參數(shù)及其強(qiáng)度對(duì)一維離散Logistic系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響。

三、隨機(jī)Logistic系統(tǒng)的分岔分析

文章將分析非零平衡點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)行為，對(duì)于隨機(jī)離散動(dòng)力系統(tǒng)的正交基函數(shù)的選擇，確定隨機(jī)變量的概率分布。由于泊松分布為離散動(dòng)力系統(tǒng)中最為常見(jiàn)的分布，選擇此隨機(jī)變量服從泊松分布，然而泊松分布所對(duì)應(yīng)的正交多項(xiàng)式為Charlier多項(xiàng)式，進(jìn)而可知三項(xiàng)遞推公式中的系數(shù)分別為αi=1，βi=i+λ，γi=λi，其中λ為隨機(jī)變量的期望或標(biāo)準(zhǔn)差，則求得系統(tǒng)在(0,0)處的雅可比矩陣J為

(13)

Jacobi 矩陣J的特征多項(xiàng)式為

f(z)=a0z2+a1z+a2，

(14)

其中

a0=1，

由于服從泊松分布的隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差或期望λ>0，隨機(jī)強(qiáng)度δ>0，則有δ2+4δ2λ>0恒成立，可知非零不動(dòng)點(diǎn)的乘子不可能成為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，即不可能出現(xiàn)Hopf分岔。從而也再次驗(yàn)證了發(fā)生Hopf分岔的離散動(dòng)力系統(tǒng)其維數(shù)n≥2。接下來(lái)分析系統(tǒng)(12)在非零平衡點(diǎn)的Fild分岔和Fold分岔情況。根據(jù)離散系統(tǒng)的分岔理論可得以下幾個(gè)結(jié)論：

四、數(shù)值模擬及分析

圖1 隨機(jī)強(qiáng)度為0，系統(tǒng)的分岔圖

圖2 初始系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)圖

圖3 隨機(jī)強(qiáng)度為0.5時(shí)，系統(tǒng)的分岔圖 圖4 隨機(jī)強(qiáng)度為0.5時(shí)，系統(tǒng)的局部分岔圖

圖5 隨機(jī)強(qiáng)度為0.5時(shí)，系統(tǒng)的局部分岔圖 圖6 隨機(jī)強(qiáng)度增加，系統(tǒng)發(fā)生切分岔

圖7 系統(tǒng)發(fā)生切分岔的局部放大圖

圖6為系統(tǒng)受到隨機(jī)干擾切分岔分岔圖，圖7為圖6上部的局部放大圖，從圖中很明顯看出隨機(jī)因素對(duì)系統(tǒng)的影響，不僅出現(xiàn)了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的跳躍，而且還出現(xiàn)了倍周期分岔。綜上可知，隨機(jī)參數(shù)會(huì)誘發(fā)系統(tǒng)發(fā)生分岔，誘發(fā)不同分岔的發(fā)生，使系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為更為豐富、復(fù)雜，難以預(yù)測(cè)系統(tǒng)的發(fā)展趨勢(shì)。

五、結(jié)論

文章主要研究了帶有隨機(jī)參數(shù)的一維Logistic系統(tǒng)在非零不動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)行為。利用確定性離散動(dòng)力系統(tǒng)分岔理論和隨機(jī)離散動(dòng)力系統(tǒng)的正交逼近理論，對(duì)一維隨機(jī)離散Logistic系統(tǒng)的非零不動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了分析討論，得出了隨著隨機(jī)強(qiáng)度的增大，系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生變化，分岔點(diǎn)由隨機(jī)強(qiáng)度和隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差決定。并通過(guò)數(shù)值模擬與分析驗(yàn)證了文中的分岔分析，同時(shí)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)參數(shù)會(huì)誘發(fā)系統(tǒng)發(fā)生分岔，誘發(fā)不同分岔的發(fā)生，使系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為更為豐富、復(fù)雜。

[1] R.M. May. Simple mathematical models with very complicated dynamies [J]. Nature,1976(261).

[2] A.V. Feigenbaum.Quantitative universality for a class of nonlinear transformations[J]. J Stat Phys，1978(19).

[3] A.V. Feigenbaum.The universal metric properties of nolineartransformations [J]. J Stat Phys,1979(21).

[4] Y.-F.Guo,W.Xu,D.-X.Li. Stochastic resonance in a time-delayed logistic system [J]. Chinese Journal of Physics, 2010(48).

[5] M. Liu,K. Wang,Q. Hong.Stability of a stochastic logistic model with distributed delay[J].Mathematical and Computer Modelling,2013(57).

[6] 徐偉.非線(xiàn)性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)的若干數(shù)值方法及應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社, 2013.

[7] 馬少娟.一類(lèi)非線(xiàn)性參數(shù)隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)力學(xué)行為及控制研究[D].西安:西北工業(yè)大學(xué), 2009.

(責(zé)任編輯：王 麗)

Bifurcation Analysis of a Random Discrete Dynamic System

YANG Maosong TANG Wei

(Guizhou Radio & TV University Guiyang 550004)

Nonlinear dynamics is widely used in biology, physics, chemistry and economic fields. In this paper, based on the orthogonal approximation and discrete bifurcation theory, dynamic behavior of a stochastic discrete system is analyzed by means of mathematical analysis. Analysis of Random parameters can offer inducement to Fild bifurcation and the Fold bifurcation of the system; Random intensity increases lead to topology change of the system; the points of bifurcation are determined by the stochastic intensity and standard deviation random variables and bifurcation analysis is verified by numerical simulation.

Random Discrete System; Orthogonal Approximation; Random strength; Bifurcation

2016-07-04

楊茂松(1986—)，男，貴州盤(pán)縣人，助教。

1008—2573(2016)03—0053—05