楊迎輝,李建華,沈迪,南明莉,2,崔瓊

(1.空軍工程大學信息與導航學院,710077,西安;2.中國人民解放軍95881部隊,100095,北京)

?

多重邊融合復雜網(wǎng)絡動態(tài)演化模型

楊迎輝1,李建華1,沈迪1,南明莉1,2,崔瓊1

(1.空軍工程大學信息與導航學院,710077,西安;2.中國人民解放軍95881部隊,100095,北京)

針對多個性質(zhì)不同、相互融合的復雜網(wǎng)絡演化過程時變非均衡,網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)層級交織,特點規(guī)律難以測度的問題,提出了一個多重邊融合復雜網(wǎng)絡動態(tài)演化模型。首先,定義多重邊融合復雜網(wǎng)絡的相關(guān)概念,分析融合關(guān)系與層級關(guān)系的轉(zhuǎn)化過程,按照節(jié)點、邊性質(zhì)的差異,拆分融合節(jié)點和重合邊,將多重邊融合復雜網(wǎng)絡轉(zhuǎn)化成交織型層級復雜網(wǎng)絡;其次,定義節(jié)點的度值飽和度和吸引因子,提出交織型層級復雜網(wǎng)絡的演化算法和局域世界演化模型,討論了4種典型的節(jié)點演化情形,運用平均場方法分析了模型演化的度分布規(guī)律;最后進行了數(shù)值仿真分析,結(jié)果表明,演化過程結(jié)束后,未達到飽和狀態(tài)的節(jié)點度值服從指數(shù)分布且誤差不超過6%,已達到飽和狀態(tài)的節(jié)點度值服從其連接容量的分布規(guī)律且誤差不超過3%,網(wǎng)絡交織系數(shù)與最高的新增節(jié)點概率、初始邊數(shù)呈正相關(guān)性。研究結(jié)果驗證了模型的可行性和有效性,為探索多重邊融合復雜網(wǎng)絡演化過程與規(guī)律提供了新的思路和方法,在交通網(wǎng)、通信網(wǎng)、社交網(wǎng)等結(jié)構(gòu)與動力學研究方面具有良好的應用前景。

多重邊融合復雜網(wǎng)絡;交織型層級復雜網(wǎng)絡;動態(tài)演化;飽和度;吸引因子

隨著現(xiàn)代社會網(wǎng)絡化程度的不斷加劇,復雜網(wǎng)絡已經(jīng)在政治、經(jīng)濟、軍事等眾多領(lǐng)域廣泛應用[1-2]。現(xiàn)實生活中包含大量的由多種性質(zhì)子網(wǎng)絡構(gòu)成的多重邊融合復雜網(wǎng)絡(MLUCN),例如交通網(wǎng)、通信網(wǎng)、社交網(wǎng)等,存在著1個節(jié)點具有多種性質(zhì)、2個節(jié)點之間有多條邊連接的情況。相較單一性質(zhì)、單邊的復雜網(wǎng)絡,MLUCN中邊與邊之間的性質(zhì)存在較大差異,節(jié)點之間的可達路徑數(shù)量更多,網(wǎng)絡的演化過程及規(guī)律也更加復雜。

當前,關(guān)于網(wǎng)絡演化問題的研究主要集中在模型構(gòu)建、算法設計、特性分析等方面。文獻[3]引入時滯對網(wǎng)絡進行拆分,建立多重邊復雜網(wǎng)絡動力學模型,并基于Lyapunov理論研究網(wǎng)絡的穩(wěn)定性;文獻[4]針對SF和ER網(wǎng)絡,研究了隨機攻擊條件下層級網(wǎng)絡間的依存關(guān)系和依存強度對系統(tǒng)的作用效果;文獻[5]定義了網(wǎng)絡節(jié)點度值飽和度,基于二分網(wǎng)絡建立了一種類局域世界演化模型,并分析了演化統(tǒng)計特性;文獻[6]定義了吸引因子概念,提出了一種吸引因子存在的無尺度網(wǎng)絡演化模型,仿真對比了同等網(wǎng)絡規(guī)模下,吸引因子模型與BA模型的度分布情況。

已有成果主要是針對單邊、單一性質(zhì)的網(wǎng)絡,對具有多重邊和融合節(jié)點的復雜網(wǎng)絡研究較少,未能有效區(qū)分節(jié)點和邊的多種性質(zhì)差異進行演化建模。因此,本文首先根據(jù)性質(zhì)差異,拆分融合節(jié)點和重合邊,將MLUCN轉(zhuǎn)化成交織型層級復雜網(wǎng)絡(ILCN)進行研究;其次,定義節(jié)點的度值飽和度和吸引因子,建立ILCN局域世界動態(tài)演化模型,并對度分布規(guī)律進行理論推算。最后,通過數(shù)值仿真驗證了模型的可行性與有效性。

1 MLUCN模型轉(zhuǎn)化

1.1 相關(guān)概念

定義4 交織型層級復雜網(wǎng)絡是由部分節(jié)點相連,邊性質(zhì)近似的多個子網(wǎng)組成的具有層級結(jié)構(gòu)、彼此交織的復合網(wǎng)絡[8],記為CC(VC,EC,TC,φC)。其中VC為節(jié)點集合,EC為邊集合,TC=(tij)NC×NC為鄰接矩陣,NC=|VC|,φC為網(wǎng)絡交織系數(shù),用于描述子網(wǎng)間交織關(guān)系的密切程度[9]。

1.2 融合關(guān)系與層級關(guān)系轉(zhuǎn)化

融合關(guān)系與層級關(guān)系都是對網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)進行直觀描述[9],融合關(guān)系主要關(guān)注網(wǎng)絡的全局屬性,用于分析融合網(wǎng)絡的節(jié)點(邊)綜合屬性、可達路徑以及關(guān)聯(lián)關(guān)系,支撐節(jié)點等級設置、信息路由規(guī)劃等工作。層級關(guān)系可較好描述不同子網(wǎng)獨立的拓撲結(jié)構(gòu),用于分析網(wǎng)絡的分層屬性,支撐子網(wǎng)的任務分配、功能劃分、分層管理等工作[10]。伴隨子網(wǎng)融合程度的改變,融合關(guān)系與層級關(guān)系可相互轉(zhuǎn)化。

時的融合關(guān)系時的融合關(guān)系

時的層級關(guān)系時的層級關(guān)系圖1 融合關(guān)系與層級關(guān)系演化示意圖

1.3 拆分運算

在MLUCN中,融合節(jié)點的多種性質(zhì)為其演化中的性質(zhì)歸屬帶來不便,使新節(jié)點在優(yōu)選時不能準確區(qū)分節(jié)點性質(zhì)。重合邊的存在造成多條性質(zhì)不同的邊在外在形式上統(tǒng)一表現(xiàn)為一條總的邊,使統(tǒng)計已有節(jié)點的度值變得較為困難和不準確。在ILCN中各個節(jié)點、邊相對獨立,不存在融合、重合的情況,有利于準確探索不同性質(zhì)子網(wǎng)的演化規(guī)律[11]。本文通過拆分運算將MLUCN轉(zhuǎn)化為ILCN進行研究,根據(jù)對象的不同,拆分運算分為融合節(jié)點拆分、重合邊拆分和網(wǎng)絡整體拆分。

(1)

(a)MLUCN (b)ILCN圖2 MLUCN與ILCN轉(zhuǎn)化過程示意圖

(2)

1.3.3 網(wǎng)絡整體拆分 在融合節(jié)點、重合邊拆分基礎(chǔ)上,網(wǎng)絡整體可被拆分為多個單一性質(zhì)的子網(wǎng),且部分子網(wǎng)可能不為連通網(wǎng)絡。對于CM,網(wǎng)絡整體拆分運算為

(3)

2 ILCN動態(tài)演化模型

與BA無標度網(wǎng)絡不同,由于受管理體制、成本、體積等影響,多數(shù)現(xiàn)實網(wǎng)絡節(jié)點往往具有差異化的連接增長能力,都具有一定的連接容量(連接數(shù)量上限),所能連接的節(jié)點數(shù)是有限的,網(wǎng)絡邊不會無限制增長。為保證網(wǎng)絡具有良好的均衡性和較強的抗毀性[1],新增節(jié)點會從飽和度較低的節(jié)點集合中擇優(yōu)連接。同時,網(wǎng)絡中已有節(jié)點都具有各自的吸引因子,也會影響新增節(jié)點的擇優(yōu)過程及結(jié)果。本文以飽和度作為已有節(jié)點成為候選節(jié)點的判定準則,以吸引因子作為新增節(jié)點優(yōu)先連接的主要依據(jù),探索構(gòu)建ILCN動態(tài)演化模型。

2.1 節(jié)點飽和度與吸引因子

定義5 節(jié)點飽和度是節(jié)點連接容量與度值之間的分段函數(shù)。通過飽和度的限制,可降低網(wǎng)絡演化中節(jié)點度值的差異性,使生成的邊相對均勻分布,促進網(wǎng)絡整體的均衡性。在演化時刻t,節(jié)點Vi的飽和度函數(shù)可表示為

(4)

式中:Ωi為節(jié)點Vi的連接容量;ki(t)為節(jié)點Vi的度值;k*為節(jié)點的度值閾值;Ω*為飽和度的相對穩(wěn)態(tài)值;Θ(Ωi,ki(t))為節(jié)點飽和度函數(shù),通常與Ωi的變化趨勢成正比,與ki(t)的變化趨勢成反比。若Ωi相對固定,初始時Bi(t)隨ki(t)的增大而減小,當ki(t)達到閾值k*后,雖然后續(xù)仍會不斷增大,但Bi(t)基本不再變化,穩(wěn)定在Ω*。

選擇節(jié)點飽和度作為網(wǎng)絡已有節(jié)點是否需要增加邊的衡量標準,并以此被動生成新增節(jié)點的動態(tài)局域世界[5]。不同類別節(jié)點集合中新加入的節(jié)點,只能在對應類別、未飽和的節(jié)點集中擇優(yōu)選擇。為便于表述,文中設定節(jié)點飽和度函數(shù)為Bi(t)=Ωi-ki(t),其中ki(t)∈[0,Ωi]。若Bi(t)=0,即ki(t)=Ωi,表明節(jié)點達到了度飽和狀態(tài),不會成為新增節(jié)點的候選連接對象。若Bi(t)>0,即ki(t)<Ωi,表明節(jié)點會成為局域世界的候選連接對象。

定義6 節(jié)點吸引因子是指單位時間內(nèi)節(jié)點獲得的新增邊數(shù)量,表示網(wǎng)絡中已存在節(jié)點對新增節(jié)點的復合吸引變量。對節(jié)點Vi,吸引因子可表示為

(5)

式中:Δt為時間間隔;ΔE為節(jié)點獲得的新增邊數(shù)。

吸引因子的存在對新增節(jié)點擇優(yōu)選擇概率具有較大影響,一個僅有很少連接但具有很高吸引因子的節(jié)點,雖然進入網(wǎng)絡的時間不久,也能具有很高的連接速率,并在短時間內(nèi)獲得大量連接,快速達到度飽和狀態(tài)[7]。

2.2 演化模型構(gòu)造算法

設初始時刻節(jié)點連接容量矩陣為Ω=[Ωi]m0×1,其中m0為節(jié)點數(shù)量。不同性質(zhì)節(jié)點具有各自新增概率,優(yōu)先與同類節(jié)點相連接,只有當同類未飽和節(jié)點數(shù)量小于新增節(jié)點初始連接數(shù)時,新增節(jié)點才會從其他類別未飽和的節(jié)點中根據(jù)節(jié)點度值和吸引因子進行選擇。當新增節(jié)點與被選中節(jié)點類型確定后,邊的類型隨之確定。因此,演化過程中不考慮邊的類型及概率,構(gòu)造算法如下。

(1)開始于較少的節(jié)點數(shù)m0和連接數(shù)e0,每個演化步長內(nèi)新增1個單一性質(zhì)節(jié)點,性質(zhì)為S的節(jié)點新增概率為pS(0≤pS≤1),并連接到m(m≤m0)個已存在的同類節(jié)點上[12]。

(2)根據(jù)演化時刻t的網(wǎng)絡中同類節(jié)點度值,計算每個同類節(jié)點的飽和度,被動生成新增節(jié)點的同類型局域世界。

(6)

(7)

經(jīng)過t個演化步長,該算法可產(chǎn)生一個擁有t+m0個節(jié)點和mt+e0條邊的網(wǎng)絡。

2.3 節(jié)點演化不同情形的討論

受節(jié)點飽和度及吸引因子的影響,ILCN演化中節(jié)點會分為4種不同的情形,如圖3所示。其中,節(jié)點中白色圓孔的數(shù)量代表節(jié)點固有的連接容量。

圖3 ILCN演化過程示意圖

當Bi小、Υi大時,此類節(jié)點一般會快速與新增節(jié)點相連,但受制于飽和容量,當節(jié)點度值達到相對飽和的狀態(tài)后便保持不變,成為比較穩(wěn)定的節(jié)點,與進入網(wǎng)絡時間的長短無關(guān)。

當Bi、Υi小時,此類節(jié)點優(yōu)先連接概率最小,邊的增加十分緩慢,一般都會逐漸演變成為邊緣節(jié)點。

2.4 節(jié)點度分布分析

受節(jié)點連接容量的限制,節(jié)點的度分布分為2種極端的情況。

(1)節(jié)點連接容量Ωi較大,演化結(jié)束后各節(jié)點度值均未達到飽和狀態(tài),可用平均場方法分析節(jié)點度分布規(guī)律。ILCN演化中僅存在優(yōu)先連接,分析中假設

(8)

(9)

經(jīng)歷演化時間t后,平均度數(shù)為

(10)

(11)

將式(11)代入式(7),可得

(12)

(13)

(14)

新增節(jié)點在相同時間間隔內(nèi)加入網(wǎng)絡,則時間t服從均勻分布,即

(15)

由此可得

(16)

kS(t)的概率密度為

(17)

當t→∞時,節(jié)點的度分布為

(18)

ILCN模型的節(jié)點度分布服從指數(shù)分布規(guī)律,通過調(diào)節(jié)參數(shù)m、pS,可使指數(shù)在-4～0之間變化。

(2)節(jié)點連接容量Ωi較小,演化結(jié)束后各節(jié)點度值全部達到飽和狀態(tài)。節(jié)點度值等于連接容量,節(jié)點的度分布規(guī)律與連接容量的分布規(guī)律相一致,可能服從固定分布,也可能是隨機分布。實際中,每個節(jié)點的連接容量都是在綜合考慮成本、效益、需求及外在環(huán)境等因素的基礎(chǔ)上確定的。

通常,ILCN模型演化介于上述2種極端情況之間,節(jié)點的度分布表現(xiàn)為混合分布形式,未達到飽和狀態(tài)的節(jié)點度分布服從指數(shù)分布規(guī)律,而已達到飽和狀態(tài)的節(jié)點度分布服從連接容量的分布規(guī)律。

3 仿真實驗分析

圖4 初始MLUCN模型及轉(zhuǎn)化后的ILCN模型

3.1 MLUCN模型轉(zhuǎn)化

3.2 m固定,pa、pb、pc變化時的節(jié)點度分布

當m=1,pa、pb、pc取不同概率組合時,各類節(jié)點的度分布如圖5所示。由圖5可知,對任意一條分布曲線,隨著節(jié)點度值k的增加,概率值總體在減小,當k達到一定數(shù)值后,概率值便保持相對平穩(wěn),呈現(xiàn)典型的指數(shù)分布特點。這是因為m較小,新增節(jié)點加入網(wǎng)絡后,對已有節(jié)點度值的影響較慢,演化結(jié)束后,網(wǎng)絡中多數(shù)節(jié)點仍處于未飽和狀態(tài),僅少數(shù)連接容量較小或吸引因子較大的節(jié)點達到度飽和狀態(tài)。以m=1、pa=0.2、pb=0.3、pc=0.5時節(jié)點為例,24個節(jié)點中僅3個節(jié)點達到度飽和狀態(tài),占總數(shù)的12.5%,通過仿真擬合方法確定節(jié)點度值服從指數(shù)分布,且指數(shù)λ=2.773。將參數(shù)pb、m代入式(18)中,得到理論計算的指數(shù)值為2.6,仿真擬合結(jié)果與理論計算值基本一致,僅存在約6%的誤差,驗證了模型中度分布理論推算的正確性。

由圖5可知:當pa=0.2、pb=0.3、pc=0.5時,仿真擬合得到λ=2.773;當pa=0.3、pb=0.4、pc=0.3時,仿真擬合得到λ=2.876,2個概率組合的指數(shù)λ結(jié)果基本一致,誤差僅為3.6%。由此可得,當m相同時,盡管pa、pb、pc發(fā)生了變化,但各類性質(zhì)節(jié)點的度分布曲線變化不大,僅個別度值的概率產(chǎn)生起伏,總體仍服從指數(shù)分布,表明在本文模型中新增節(jié)點的概率不是影響節(jié)點度分布的關(guān)鍵因素。

圖5 m=1,pa、pb、pc逐漸改變時節(jié)點的度分布

3.3 pa、pb、pc固定,m變化時的節(jié)點度分布

當pa=0.2、pb=0.3、pc=0.5,m由1變化至3時,節(jié)點度分布如圖6所示。由圖6可知,m=1時3類節(jié)點度分布曲線基本服從指數(shù)分布,但隨著m增加,初段度值(1～3)的概率大幅下降,中段度值(4～7)的概率明顯提升,末段度值(8～10)的概率基本保持不變,曲線中僅部分區(qū)間呈指數(shù)分布。這是因為m≥2時新增節(jié)點進入網(wǎng)絡的初始邊數(shù)在2以上,在隨后的多次演化中節(jié)點度值快速增加使低度值節(jié)點不斷減少,m越大,低度值衰減越快、出現(xiàn)概率越小。由于演化總步長顯著大于各節(jié)點的連接容量,演化結(jié)束后大部分節(jié)點度值都穩(wěn)定在連接容量附近,達到度飽和狀態(tài)[13]。對已飽和節(jié)點的度分布進行擬合,與仿真設置的理論結(jié)果基本一致,數(shù)學期望誤差約為2%,方差誤差約為3%。當m=2時,對未達到飽和狀態(tài)的節(jié)點度分布進行仿真擬合,得出指數(shù)λ=1.37。將參數(shù)pb、m代入式(18)中,得到理論計算的指數(shù)值為1.3。由此可知,仿真擬合結(jié)果與理論計算值基本一致,僅存在約5%的誤差。

圖6 pa=0.2、pb=0.3、pc=0.5,m逐漸增大時 節(jié)點的度分布

3.4 pa、pb、pc及m變化時φc的變化趨勢

圖7 pa、pb、pc及m變化時φc的變化趨勢

當pa、pb、pc及m分別取2組值時,ILCN的網(wǎng)絡交織系數(shù)φc隨演化步長的變化趨勢如圖7所示。由圖7可知,任意2層網(wǎng)絡的交織系數(shù)總體上隨演化的推進而呈現(xiàn)階梯式起伏振蕩,最終趨于相對穩(wěn)定。當pa、pb、pc固定時,m取值越大,φc也相應較大。這是因為較大的m要求新增節(jié)點與較多節(jié)點建立連接,當同類未飽和節(jié)點數(shù)量小于m時,新增節(jié)點會選擇與其他類別的未飽和節(jié)點(屬于其他子網(wǎng))相連接,增加了網(wǎng)絡之間的交織節(jié)點數(shù)量,促進了網(wǎng)絡的節(jié)點交織程度[14]。

當m固定時,包含新增概率較高類別節(jié)點的φc較大。這是因為c類節(jié)點的概率值最高,節(jié)點新增數(shù)量最多,優(yōu)先連接機理會使LC中節(jié)點的度值普遍較大且增速較快,甚至有部分節(jié)點提前達到度飽和狀態(tài)。為滿足連接數(shù)量要求,新增節(jié)點會從其他類別的未飽和節(jié)點中擇優(yōu)建立連接,從而增加了不同類別節(jié)點之間的交織邊數(shù)量,使網(wǎng)絡間的邊交織關(guān)系更加密集、更加復雜。

4 結(jié) 論

本文針對多個性質(zhì)不同、相互融合的復雜網(wǎng)絡演化問題,探索建立了一種基于節(jié)點飽和度和吸引因子的動態(tài)演化模型,并仿真分析了節(jié)點度分布及網(wǎng)絡交織系數(shù)的變化情況,有以下主要結(jié)論。

(1)在節(jié)點度值飽和度和吸引因子的共同作用下,網(wǎng)絡全部節(jié)點的度值服從混合分布規(guī)律,即未達到飽和狀態(tài)的節(jié)點度值服從指數(shù)分布,已達到飽和狀態(tài)的節(jié)點度值服從其連接容量的分布規(guī)律;混合分布的參數(shù)取值與m密切相關(guān),但與新增節(jié)點的類型概率相關(guān)性不強。

(2)網(wǎng)絡交織系數(shù)與最高的新增節(jié)點概率、m呈正相關(guān)性,隨著演化步長的逐步推進,發(fā)生階梯式起伏振蕩,并最終趨于相對穩(wěn)定。

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[本刊相關(guān)文獻鏈接]

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(編輯 趙煒)

Dynamic Evolution Model of United Complex Networks with Multi-Links

YANG Yinghui1,LI Jianhua1,SHEN Di1,NAN Mingli1,2,CUI Qiong1

(1. Information and Navigation Institute, Air Force Engineering University, Xi’an 710077, China; 2. The Unit 95881 of PLA, Beijing 100095, China)

Aiming at the problem that during the evolution process of interconnected complex networks, there exist nonuniform time-varying property and layered interlaced network structure, leading to the difficulty in measuring their characteristics and rules, a dynamic evolution model of united complex network with multi-links (MLUCN) is proposed. Firstly, we define some related concepts of MLUCN, analyze the conversion process of fusion and hierarchy relationship, and split fusion nodes and overlapped edges according to the property difference between nodes and edges, then the MLUCN is transformed to interlaced layered complex networks (ILCN). Secondly, the node degree saturation and attraction factor are defined. The evolution algorithm and local-world evolution model for ILCN are put forward, and four situations of node evolution are discussed. The mean field method is used to analyze the degree distribution rule during evolution. Finally, numerical simulation is performed. The results show that the node degree not reaching saturation obeys the exponential distribution with an error no more than 6%; the node degree reaching saturation obeys their connection capacities’ distribution with an error no more than 3%; the network weaving coefficients have a positive correlation with the highest probability of new node and the initial number of connected edges. The results verified the feasibility and effectiveness of the proposed model. This model provides a new idea and method for exploring MLUCN evolution process and rule, and also has good application prospects in the structure and dynamics researches of transportation network, communication network and social network, etc.

united complex network with multi-links; interlaced layered complex network; dynamic evolution; saturation; attraction factor

2016-01-18。 作者簡介:楊迎輝(1988—),男,博士生;李建華(通信作者),男,教授。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(61573017,61401499,61174162)。

10.7652/xjtuxb201609021

N94

A

0253-987X(2016)09-0132-08