陳永會(huì),張學(xué)良,溫淑花,蘭國(guó)生,王余松,范世榮

(太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,030024,太原)

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粗糙表面彈塑性接觸連續(xù)光滑指數(shù)函數(shù)模型與法向接觸剛度研究

陳永會(huì),張學(xué)良,溫淑花,蘭國(guó)生,王余松,范世榮

(太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,030024,太原)

無量綱法向接觸剛度;無量綱法向接觸載荷;彈塑性接觸模型;分形模型;指數(shù)模型

工程中的任何接觸表面都不是絕對(duì)光滑而是粗糙的,它們之間的接觸行為往往存在著復(fù)雜的多尺度、非線性以及多物理場(chǎng)的特性。對(duì)于粗糙表面接觸模型的研究,從最早的赫茲接觸理論,到后來Greenwood和Williamson進(jìn)行多方面的假設(shè)、利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法建立的粗糙表面彈性接觸模型(即GW模型),以及其他學(xué)者建立的適用于極大載荷下的粗糙表面塑性接觸模型[1-2],均忽略了彈性變形和塑性變形之間的彈塑性變形區(qū)間。針對(duì)早期接觸模型的缺陷和不足,Chang等利用體積守恒原理建立了粗糙表面彈塑性接觸模型,即CEB模型[3]。Zhao等對(duì)CEB模型進(jìn)行了修正,提出了3種變形狀態(tài)的ZMC模型[4]。Kogut和Etsion利用有限元方法研究了半球體與剛性平面接觸時(shí)接觸載荷、接觸面積以及平均接觸壓力與變形量之間的關(guān)系,而且通過曲線擬合得到了分段經(jīng)驗(yàn)公式,即KE模型[5-6]。ZMC模型和KE模型由于沒有考慮臨界點(diǎn)處的連續(xù)性,因此平均接觸壓力與變形量之間的關(guān)系在臨界點(diǎn)都出現(xiàn)了跳躍和不光滑現(xiàn)象。趙永武等采用三次樣條函數(shù)對(duì)ZMC模型進(jìn)行改進(jìn),滿足了在臨界點(diǎn)連續(xù)性和光滑性的要求[7]。此外,Brake采用Hermit多項(xiàng)式插值,也滿足了曲線的光滑性和連續(xù)性[8]。但是,不管是樣條函數(shù)還是Hermit多項(xiàng)式的插值函數(shù),都使得粗糙表面彈塑性階段的平均接觸壓力與變形量之間的關(guān)系曲線出現(xiàn)了振蕩現(xiàn)象,使得接觸狀態(tài)的變化過程呈現(xiàn)非單調(diào)性。徐超等采用低階橢圓曲線插值方法進(jìn)行了彈塑性階段建模,只擬合了平均接觸壓力與變形量之間的關(guān)系,并利用概率統(tǒng)計(jì)方法建立了粗糙表面法向彈塑性接觸模型[9],但是彈塑性變形階段的實(shí)際接觸面積與變形量之間的關(guān)系仍采用了Hermit插值法所給出的關(guān)系式,這使得接觸參數(shù)之間不能很好地匹配。張學(xué)良等利用分形理論和KE模型(彈塑性階段的分段經(jīng)驗(yàn)公式)推導(dǎo)了粗糙表面三階段的接觸剛度和接觸載荷之間的關(guān)系,并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的正確性[10]。然而如上所述,KE模型存在臨界點(diǎn)不連續(xù)和跳躍的特點(diǎn)。

針對(duì)上述不足,通過觀察和分析微凸體在彈性階段和塑性階段的接觸參數(shù)與變形量的關(guān)系,本文利用一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)函數(shù)建立了微凸體彈塑性變形階段平均接觸壓力與變形量之間的模型,推導(dǎo)了相關(guān)參數(shù),實(shí)現(xiàn)了接觸參數(shù)隨變形量的單調(diào)、連續(xù)、光滑和無跳躍的變化,并與典型模型進(jìn)行了對(duì)比分析,驗(yàn)證了本文模型的可信性。另外,還利用分形理論得到了粗糙表面在彈性階段、彈塑性階段和塑性階段接觸時(shí)的法向接觸剛度和法向接觸載荷解析模型,并進(jìn)行了無量綱化處理,仿真分析了分形維數(shù)、塑性指數(shù)和無量綱分形粗糙度參數(shù)對(duì)無量綱法向接觸剛度和無量綱法向接觸載荷的影響規(guī)律,進(jìn)而分析了無量綱法向接觸剛度隨無量綱法向接觸載荷的變化規(guī)律。

1 微凸體彈塑性模型的建立

本模型的建立依然沿用文獻(xiàn)[11]中GW模型的假設(shè),這樣微凸體的完全彈性階段與完全塑性階段的接觸參數(shù)符合文獻(xiàn)[12]中的描述。

完全彈性變形階段(即δ<δc時(shí))的接觸載荷Fe、接觸面積Ae以及平均接觸壓力Pe與接觸變形量δ之間的關(guān)系分別為

(1)

(2)

(3)

完全塑性變形階段(即δ>110δc時(shí))的接觸載荷Fp、接觸面積Ap以及平均接觸壓力Pp與接觸變形量δ之間的關(guān)系分別為

(4)

(5)

(6)

彈塑性變形階段(即δc≤δ≤110δc時(shí))既存在彈性變形區(qū)域,又存在塑性變形區(qū)域,是兩者的混合。在變形量接近δc時(shí),彈性變形區(qū)域較大,起主要作用;在變形量接近110δc時(shí),塑性變形區(qū)域較大,起主要作用。因而,在彈塑性變形階段接觸參數(shù)與變形量的關(guān)系是由彈性和塑性的混合所決定的,而且以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論來考慮,彈塑性變形過程是連續(xù)的、光滑的和單調(diào)的[9]。因此,為了保證這一特點(diǎn),在δ=δc和δ=110δc兩點(diǎn)處,接觸面積、接觸載荷和平均接觸壓力與變形量之間的關(guān)系必須滿足以下要求

(7)

(8)

采用分段擬合的KE模型在δ=δc、δ=6δc和δ=110δc這3個(gè)點(diǎn)均出現(xiàn)不連續(xù)、不光滑的現(xiàn)象。表1列出了以鋼(工程參數(shù)為E1=200 GPa,H=5 GPa,μ=0.3,K=0.454+0.41μ,R=1 μm,且下面圖1和圖2均采用這些數(shù)據(jù))為例時(shí)的KE模型與本文模型(見式(17))在上述3個(gè)點(diǎn)的接觸載荷仿真數(shù)據(jù)對(duì)比。從表1中可以看出,KE模型在δ=110δc時(shí)接觸載荷的相對(duì)誤差是最大的,達(dá)到了7.9%,而本文模型在這3個(gè)點(diǎn)的相對(duì)誤差均為0%。

圖1 不同模型的平均接觸壓力對(duì)比

圖2 不同模型的接觸面積對(duì)比

模型參數(shù)δ=δc彈性彈塑性一δ=6δc彈塑性一彈塑性二δ=110δc彈塑性二塑性KE模型F/Ne/%25690×10-63026460×10-63033999×10-51734569×10-51713620×10-37914693×10-379本文模型F/Ne/%25690×10-6025690×10-60連續(xù) 連續(xù) 14693×10-3014693×10-30

文獻(xiàn)[7](趙永武模型)和文獻(xiàn)[8](Brake模型)對(duì)Aep和Fep隨變形量δ變化的不連續(xù)和不光滑進(jìn)行了改進(jìn),但是,它們的平均接觸壓力Pep隨δ的變化不是單調(diào)的。圖1表示了KE模型、趙永武模型、Brake模型與本文模型在給定工程參數(shù)(表1采用的參數(shù))時(shí)的平均接觸壓力仿真結(jié)果對(duì)比。文獻(xiàn)[9]利用橢圓曲線來對(duì)彈塑性階段平均接觸壓力的變化進(jìn)行建模,得到了平均接觸壓力與變形量之間的關(guān)系,見文獻(xiàn)[9]中的式(22)。但是,經(jīng)過推導(dǎo)驗(yàn)證之后發(fā)現(xiàn),其中有部分遺漏的錯(cuò)誤。文獻(xiàn)[9]式(21)中的橢圓長(zhǎng)半軸a為

(9)

而實(shí)際的橢圓長(zhǎng)半軸應(yīng)為

(10)

式(9)與式(10)中符號(hào)的含義見文獻(xiàn)[9]。此外,文獻(xiàn)[9]中彈塑性變形階段的實(shí)際接觸面積Aep與變形量δ之間的關(guān)系是采用文獻(xiàn)[8]中的式(16)(利用Hermit插值法)給出的,并沒有給出接觸載荷Fep與變形量δ的關(guān)系。

在考慮上述方法的不足之后,本文嘗試采用一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)函數(shù)的形式對(duì)微凸體彈塑性階段平均接觸壓力Pep隨變形量δ的變化進(jìn)行建模。為了保證Pep在δ=δc和δ=110δc兩個(gè)臨界點(diǎn)的連續(xù),Pep必須滿足式(7)與式(8),由此得到以下條件

(11)

(12)

因此,根據(jù)一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的模式,并考慮兩個(gè)臨界點(diǎn)的特點(diǎn),設(shè)定當(dāng)δ在δc和110δc之間時(shí),Pep與δ之間的關(guān)系為

(13)

由于要滿足式(11),因此可知

可得

(14)

將式(14)代入式(13)中,可得

(15)

本可以用同樣的方法,得到微凸體彈塑性階段接觸面積Aep和接觸載荷Fep與變形量δ之間的關(guān)系,但是考慮到接觸面積和接觸載荷在后續(xù)推導(dǎo)模型過程中需要進(jìn)行積分運(yùn)算,而指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的乘積不容易積分,無法得到解析模型,因此將f(δ)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開,略去高階項(xiàng)并且進(jìn)行簡(jiǎn)化處理,得到微凸體彈塑性階段的Fep(δ)和Aep(δ)

(16)

(17)

通過表1和圖2可以驗(yàn)證,在δ=δc和δ=110δc兩個(gè)臨界點(diǎn),接觸載荷和接觸面積與變形量之間的關(guān)系是連續(xù)的、光滑的和單調(diào)的。

2 粗糙表面彈塑性接觸模型的建立

根據(jù)文獻(xiàn)[13],實(shí)際粗糙表面微接觸點(diǎn)的面積分布密度函數(shù)為

(18)

式中:al為最大微接觸點(diǎn)的面積;D為粗糙表面的分形維數(shù)。

由文獻(xiàn)[14-15]可知,粗糙表面微凸體的變形量δ和曲率半徑R分別為

(19)

式中:g1(D)=23-Dπ(D-2)/2GD-1(lnβ)1/2;G為粗糙表面的分形粗糙度參數(shù);β為常數(shù),通常β=1.5。

(20)

(21)

將式(19)和式(20)代入式(1)中,微凸體在彈性變形階段的接觸載荷Fe(a)可以寫成

(22)

由式(22)和式(19),可得在彈性變形階段微凸體的法向接觸剛度

(23)

將式(19)和式(20)代入式(17)中,微凸體在彈塑性變形階段的接觸載荷

(24)

由式(19)和式(24),可以得到微凸體在彈塑性接觸階段的法向接觸剛度

(25)

微凸體只有在完全彈性階段和彈塑性階段才存在法向接觸剛度,而完全塑性階段不存在法向接觸剛度。

同理,可得微凸體在彈塑性階段的接觸面積Aep(a)和平均接觸壓力Pep(a)分別為

粗糙表面的真實(shí)接觸面積

(26)

粗糙表面的法向接觸剛度只存在于結(jié)合面接觸變形處于彈性階段和彈塑性階段的微凸體上。因此,結(jié)合面的總法向接觸剛度

(27)

將式(23)、式(25)及式(18)代入式(27)中,可得

(28)

式中

結(jié)合面的法向接觸總載荷存在于結(jié)合面接觸變形處于彈性階段、彈塑性階段以及塑性階段的微凸體上,因此,結(jié)合面的總法向接觸載荷與真實(shí)接觸面積的關(guān)系為

(29)

將式(1)、式(4)、式(24)以及式(18)代入式(29)中,可得

(30)

將式(30)進(jìn)行無量綱化處理,可得無量綱接觸載荷

(31)

式中

將式(28)進(jìn)行無量綱化處理,可得無量綱法向接觸剛度

(32)

式(31)和式(32)分別是粗糙表面接觸的無量綱法向接觸載荷和無量綱法向接觸剛度分形模型,可以發(fā)現(xiàn)它們均是一個(gè)多變量的復(fù)雜函數(shù)。

3 粗糙表面接觸特性的仿真與分析

(a)D=1.1 (b)D=1.51

(c)D=1.6 (d)D=1.9圖和Φ對(duì)的影響(G*=10-10)

(a)D=1.2 (b)D=1.4

(c)D=1.7 (d)D=1.9圖和G*對(duì)的影響(Φ=1.5)

圖5 D和Φ對(duì)的影響(G*=10-10)

圖6 D和G*對(duì)的影響(Φ=1.5)

(a)D=1.1 (b)D=1.4

(c)D=1.51 (d)D=1.8圖和Φ對(duì)的影響(G*=10-10)

(a)D=1.2 (b)D=1.4

(c)D=1.7 (d)D=1.9圖和G*對(duì)的影響(Φ=1.5)

圖9 D和Φ對(duì)的影響(G*=10-10)

圖10 D和G*對(duì)的影響(Φ=1.5)

圖和Φ對(duì)的影響(G*=10-10)

圖和G*對(duì)的影響(Φ=1.5)

圖13 D和Φ對(duì)的影響(G*=10-10)

圖14 D和G*對(duì)的影響(Φ=1.5)

4 粗糙表面法向接觸剛度分形模型的應(yīng)用及實(shí)驗(yàn)對(duì)比

粗糙表面接觸剛度的計(jì)算準(zhǔn)確與否與結(jié)構(gòu)的固有頻率有著密切的關(guān)系。利用文獻(xiàn)[10]中所給的結(jié)合面參數(shù),通過有限元方法計(jì)算了啞鈴模型的固有頻率(螺栓預(yù)緊力矩為60 N·m),并且將文獻(xiàn)[10]中的結(jié)合面法向接觸剛度用本文提出的法向接觸剛度模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了替換,其他有限元分析中的設(shè)置與文獻(xiàn)[10]相同,最終計(jì)算出啞鈴模型的前4階模態(tài),部分振型圖如圖15所示。根據(jù)模態(tài)振型相同的比較原則,將文獻(xiàn)[10]和本文模型計(jì)算的固有頻率與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行了比較,見表2。從表2中可以看出,本文模型計(jì)算出的第1、2、4階固有頻率與實(shí)驗(yàn)值的誤差相對(duì)較小,而第3階固有頻率與實(shí)驗(yàn)值的誤差相對(duì)較大。對(duì)于機(jī)械結(jié)構(gòu)而言,低階的固有頻率相對(duì)比較重要,對(duì)計(jì)算精度的要求也比較高,因此可以利用本文的法向接觸剛度模型來計(jì)算結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)頻率,結(jié)果較為準(zhǔn)確。

(a)f1=527.45 Hz

(b)f2=746.90 Hz圖15 啞鈴模型的計(jì)算固有頻率和振型

固有頻率實(shí)驗(yàn)值/Hz本文結(jié)果/Hz本文誤差/%文獻(xiàn)[10]結(jié)果/Hz文獻(xiàn)[10]誤差/%f1542352745-274966-84f2781874690-457336-62f31072394701-11710113-57f42328021752-6521747-66

5 結(jié) 論

(1)在GW模型的基礎(chǔ)上,建立了一種近似一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)模式的微凸體彈塑性接觸模型,并與傳統(tǒng)的KE模型、Brake模型等做了比較,解決了KE模型在彈塑性階段是分段擬合的問題,以及Brake模型和趙永武模型[7]的平均接觸壓力Pep(δ)的非單調(diào)性問題,得到了微凸體接觸在三階段(彈性階段、彈塑性階段和塑性階段)的平均接觸壓力Pep(δ)、接觸面積Aep(δ)和接觸載荷Fep(δ)與變形量δ之間的關(guān)系,并且驗(yàn)證了它們是連續(xù)的、光滑的和單調(diào)的。

(5)利用本文提出的法向接觸剛度模型對(duì)啞鈴模型的固有頻率進(jìn)行了計(jì)算,并將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)獲得的固有頻率進(jìn)行了比較,驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性。

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(編輯 葛趙青)

Research on Continuous Smooth Exponential Model of Elastic-Plastic Contact and Normal Contact Stiffness of Rough Surface

CHEN Yonghui,ZHANG Xueliang,WEN Shuhua,LAN Guosheng,WANG Yusong,FAN Shirong

(College of Mechanical Engineering, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China)

dimensionless normal contact stiffness; dimensionless normal contact load; elastic-plastic contact model; fractal mode; exponential model

2016-01-19。 作者簡(jiǎn)介:陳永會(huì)(1975—),男,副教授;張學(xué)良(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。 基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275328)。

時(shí)間:2016-04-28

10.7652/xjtuxb201607010

TH113.1

A

0253-987X(2016)07-0058-10

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160428.2222.002.html