盧允照，劉樹林

(1.福州外語外貿(mào)學(xué)院經(jīng)貿(mào)系，福建 福州 350202；2.對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)國際經(jīng)濟(jì)貿(mào)易學(xué)院，北京 100029)

?

信息不對(duì)稱下可分公共物品的拍賣研究

盧允照1,2，劉樹林2

(1.福州外語外貿(mào)學(xué)院經(jīng)貿(mào)系，福建 福州 350202；2.對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)國際經(jīng)濟(jì)貿(mào)易學(xué)院，北京 100029)

在賣者面對(duì)兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的信息不對(duì)稱知情投標(biāo)者和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的不知情投標(biāo)者的假設(shè)下，研究可分公共物品的拍賣機(jī)制設(shè)計(jì)問題。通過最大化賣者的期望收入，同時(shí)滿足所有投標(biāo)者的理性參與約束與知情投標(biāo)者的激勵(lì)相容約束，建立了最優(yōu)機(jī)制設(shè)計(jì)模型；給出了知情投標(biāo)者的激勵(lì)相容約束成立的充要條件，并用來簡化了賣者的期望收入最大化問題。當(dāng)不考慮隨機(jī)性的賣方期望收入最大化問題時(shí)，利用Kuhn-Tucker條件進(jìn)行求解，得到對(duì)每個(gè)知情投標(biāo)者都存在一個(gè)臨界值。當(dāng)且僅當(dāng)所報(bào)告的估價(jià)大于該值時(shí)，知情投標(biāo)者可分配到一定數(shù)量拍品；同時(shí)，投標(biāo)者報(bào)告的估值越高，就越能獲得更多數(shù)量的拍品。研究結(jié)果對(duì)股票或債券發(fā)行的機(jī)制設(shè)計(jì)有參考價(jià)值，這是因?yàn)樗鼈兛煽醋隹煞值木哂泄矁r(jià)值的商品。

機(jī)制設(shè)計(jì)；風(fēng)險(xiǎn)厭惡；非對(duì)稱拍賣；可分物品；公共價(jià)值

1 引言

許多研究公共價(jià)值物品非對(duì)稱拍賣的文獻(xiàn)都只是研究兩個(gè)買者的情形，即假設(shè)一個(gè)是具有私人估價(jià)信息的知情買者，另一個(gè)是沒有私人估價(jià)信息的不知情買者。但是，在實(shí)踐中，往往存在多個(gè)知情買者，且不同的知情買者在估價(jià)信息的數(shù)量以及準(zhǔn)確性方面也存在著不對(duì)稱。

關(guān)于面向非對(duì)稱買者的公共物品拍賣，比較經(jīng)典的有Wilson[1]和Reichert[2]的文章，他們用一個(gè)微分方程系統(tǒng)的隱式解刻畫了相應(yīng)的均衡結(jié)果；而Engelbrecht-Wiggans等[3]則對(duì)存在一個(gè)完全知情買者和一個(gè)完全不知情買者時(shí)的一級(jí)價(jià)格拍賣給出了一個(gè)均衡報(bào)價(jià)策略。這些經(jīng)典的公共物品非對(duì)稱拍賣研究，主要側(cè)重于針對(duì)給定的拍賣機(jī)制，從競拍者的角度求解均衡報(bào)價(jià)結(jié)果，我們將這一領(lǐng)域的研究問題進(jìn)一步深入到拍賣的機(jī)制設(shè)計(jì)問題。

Paul和Rajdeep[4]刻畫了知情買者間不對(duì)稱程度的大小，研究了買者之間的不對(duì)稱性對(duì)可分公共物品拍賣收入的影響，并得出買者的不對(duì)稱程度越大，越有利于增加賣者收入。在可分物品拍賣方面，Bennouri和Falconieri[5]研究了新股的最優(yōu)拍賣問題，他們利用最優(yōu)拍賣方法研究知情買者即機(jī)構(gòu)投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度對(duì)新股分配結(jié)果的影響，并指出當(dāng)買賣雙方都是風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，發(fā)行人的最優(yōu)選擇是將股票全部分配給散戶，當(dāng)機(jī)構(gòu)投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡時(shí)，機(jī)構(gòu)投資者有可能獲得部分或全部股票。王彥和李楚霖[6]討論了非對(duì)稱情況下的多物品拍賣，即當(dāng)投標(biāo)人之間存在不同的預(yù)算約束時(shí)兩物品的序貫增價(jià)拍賣，對(duì)于物品之間不同的關(guān)系(互補(bǔ)、替代或者不相干的關(guān)系)，物品價(jià)值大小的不同及與預(yù)算大小之間的關(guān)系，在一個(gè)簡單的完全信息模型下，分不同情況討論投標(biāo)人的均衡出價(jià)策略，并發(fā)現(xiàn)對(duì)賣方來說，先拍賣價(jià)值高的物品是弱占優(yōu)的策略。饒從軍等[7]對(duì)統(tǒng)一價(jià)格下可分物品的拍賣問題進(jìn)行了研究，他們首先在買者報(bào)價(jià)連續(xù)、買者和賣者風(fēng)險(xiǎn)中立、賣者采取可變供給量的策略下，設(shè)計(jì)了一個(gè)新的基于可變供給量的可分物品統(tǒng)一價(jià)格拍賣機(jī)制，研究了其信息激勵(lì)作用和分配的有效性，給出了賣者的最佳供給策略和買者的均衡報(bào)價(jià)策略；然后，將拍賣機(jī)制推廣到風(fēng)險(xiǎn)中立、風(fēng)險(xiǎn)偏好和風(fēng)險(xiǎn)厭惡三類風(fēng)險(xiǎn)買者共存的情形，并給出了相應(yīng)的均衡結(jié)論，該結(jié)論與現(xiàn)有的一些成果相比更具一般性。Shi Xinyan[8]研究了信息不對(duì)稱下帶保留價(jià)的公共物品靜態(tài)與動(dòng)態(tài)拍賣，得到相應(yīng)的最優(yōu)保留價(jià)以及其中一種拍賣形式優(yōu)于另一拍賣的條件。這一結(jié)果對(duì)于IPO時(shí)，發(fā)行人設(shè)置最優(yōu)保留價(jià)以及選擇一次詢價(jià)或兩階段詢價(jià)的定價(jià)形式，具有一定參考作用。Liu Heng[9]考慮在面向兩個(gè)投標(biāo)人的公共價(jià)值物品的第二價(jià)格拍賣時(shí)的均衡選擇問題，并得到對(duì)連續(xù)且非占優(yōu)策略的每個(gè)均衡，都可以構(gòu)造一個(gè)序列的“幾乎公共價(jià)值”物品拍賣，使得每一個(gè)拍賣都有一個(gè)唯一的非占優(yōu)連續(xù)均衡且相應(yīng)的均衡序列收斂于之前那個(gè)事后均衡。Einy等[10]研究面對(duì)兩個(gè)有預(yù)算約束的信息不對(duì)稱知情投標(biāo)者的公共價(jià)值物品全支付拍賣并指出在這種拍賣環(huán)境下，充分高的競價(jià)上限不能改變相對(duì)于沒有上限的基準(zhǔn)拍賣的投標(biāo)者的期望收益。Liu Heng[9]和Einy等[10]研究公共價(jià)值物品拍賣都是從投標(biāo)者的期望收益角度考慮，本文認(rèn)為通常賣者才是拍賣市場的主導(dǎo)力量與規(guī)則制定者，所以我們從賣者的期望收益研究最優(yōu)拍賣機(jī)制的設(shè)計(jì)。

綜上，我們發(fā)現(xiàn)，針對(duì)可分公共物品，同時(shí)面向風(fēng)險(xiǎn)厭惡的信息不對(duì)稱知情競拍者與風(fēng)險(xiǎn)中性的不知情競拍者的最優(yōu)拍賣機(jī)制設(shè)計(jì)問題，還鮮有研究。而事實(shí)上，這樣的研究情景設(shè)定，在真實(shí)的拍賣或類拍賣市場上是很常見的。比如在IPO(首次公開發(fā)行)市場，根據(jù)中國證監(jiān)會(huì)2013年11月發(fā)布的《關(guān)于進(jìn)一步推進(jìn)新股發(fā)行體制改革的意見》，我國采取的是一種類似拍賣的詢價(jià)機(jī)制，發(fā)行人具有新股定價(jià)與自主配售權(quán)，發(fā)行人根據(jù)機(jī)構(gòu)投資者以及承銷商認(rèn)定的符合資質(zhì)的個(gè)人投資者報(bào)告的新股申購價(jià)格與數(shù)量，決定新股的定價(jià)水平與配售數(shù)量。由于發(fā)行人擬募集的新股數(shù)量通常都在數(shù)千萬到數(shù)十億不等，所以如果把所有新股看成一個(gè)整體，顯然可以將IPO近似看成一個(gè)可分物品的拍賣過程。同時(shí)，可以把參與新股申購的公募基金和全國性大型券商等機(jī)構(gòu)投資者視為具有信息優(yōu)勢(shì)的知情買者，把私募基金和區(qū)域性小型券商等機(jī)構(gòu)投資者視為處于信息劣勢(shì)的知情買者，把個(gè)人投資者視為不知情買者；而機(jī)構(gòu)投資者相對(duì)理性，可以認(rèn)為他們是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的；個(gè)人投資者往往缺乏理性，對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度通常顯得中性一些。另外在國債拍賣以及并購等其它金融領(lǐng)域，也不難發(fā)現(xiàn)符合我們研究的情景設(shè)定。

基于Myerson[11]的機(jī)制設(shè)計(jì)研究框架，本文主要研究可分公共物品的非對(duì)稱拍賣機(jī)制設(shè)計(jì)問題。賣者面對(duì)兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的具有私人估值信息的不對(duì)稱投標(biāo)者和一個(gè)沒有私人信息的不知情投標(biāo)者，根據(jù)知情投標(biāo)者報(bào)告的估價(jià)，確定最優(yōu)的物品分配與支付規(guī)則使得拍賣收入最大化。本文的工作主要拓展了Paul和Rajdeep[4]的不對(duì)稱拍賣模型，假設(shè)知情買者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的并引入沒有私人信息的不知情買者，在此基礎(chǔ)上分析最優(yōu)拍賣問題。而關(guān)鍵的風(fēng)險(xiǎn)厭惡型效用函數(shù)則采用了Bennouri和Falconieri[5]中的形式。

2 模型假設(shè)

我們將知情投標(biāo)者看成拍賣市場上的具有較強(qiáng)實(shí)力的買者，他們無論在資金實(shí)力還是信息獲取等能力上都強(qiáng)于不知情投標(biāo)者，而具有公共價(jià)值的拍品的市場價(jià)格，主要受知情投標(biāo)者的估價(jià)的影響。注意，此處的市場價(jià)格不同于投標(biāo)者的最終支付價(jià)。投標(biāo)者的支付價(jià)格仍然由賣方?jīng)Q定；拍賣結(jié)束后，物品的市場價(jià)值由知情投標(biāo)者的估價(jià)確定。比如IPO時(shí)，打新的投資者支付價(jià)是由發(fā)行人和承銷商確定的發(fā)行價(jià)；新股上市后的市場價(jià)格的形成可以認(rèn)為主要是參考機(jī)構(gòu)投資者的估價(jià)。

拍品的市場價(jià)值v是兩知情投標(biāo)者估值的加權(quán)平均，即v=w1s1+w2s2，其中 w1+w2=1，0

當(dāng)w1

Var(v|s2)=w12Var(s1)

即基于信號(hào)s2得到的估值的方差小于基于信號(hào)s1得到的估值的方差，可認(rèn)為強(qiáng)知情投資者2的估值比弱知情投資者1的估價(jià)精確度更高。

假設(shè)知情投標(biāo)者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，其效用函數(shù)采用Bennouri和Falconieri[5]中的形式：

(1)

其中qi為知情投標(biāo)者i分配到的拍品數(shù)量，pi為相應(yīng)的支付，v為拍品價(jià)值。顯然Ui關(guān)于拍品數(shù)量qi是凹的，從而知情投標(biāo)者關(guān)于拍品數(shù)量是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的，這與經(jīng)濟(jì)學(xué)里消費(fèi)者關(guān)于商品的邊際效用遞減的假設(shè)是一致的，同時(shí)知情投標(biāo)者以機(jī)構(gòu)買家為主，投標(biāo)也相對(duì)理性，風(fēng)險(xiǎn)偏好較低；同時(shí)，Ui關(guān)于貨幣支付pi是風(fēng)險(xiǎn)中性即線性的，這樣的假設(shè)在拍賣文獻(xiàn)里是很常見的(Cremer和Mclean[12])。

不知情投標(biāo)者和賣方都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。不知情投標(biāo)者以個(gè)人買家為主，風(fēng)險(xiǎn)偏好相對(duì)較高；賣方預(yù)期獲得貨幣收入，對(duì)貨幣收入的風(fēng)險(xiǎn)中性態(tài)度與知情投標(biāo)者是一致的。

拍品價(jià)值信號(hào)的分布及市場價(jià)值的構(gòu)成是公共信息。賣方具有對(duì)拍品的分配權(quán)。賣方根據(jù)知情投標(biāo)者報(bào)告的估價(jià)信號(hào)，確定所有投標(biāo)者的拍品分配數(shù)量及相應(yīng)的支付金額，使得拍賣收入最大化。

3 模型分析

賣方根據(jù)知情投標(biāo)者報(bào)告的估值信號(hào)，確定分配給所有投標(biāo)者的物品數(shù)量以及收取相應(yīng)的支付金額。根據(jù)顯示原理，我們只需關(guān)注直接機(jī)制即可，即只考慮投標(biāo)者的真實(shí)信號(hào)。給定兩個(gè)知情投標(biāo)者報(bào)告的真實(shí)信號(hào)s=(s1,s2)，設(shè)qi(s1,s2)和qr(s1,s2)分別為知情投標(biāo)者i和不知情投標(biāo)者獲得的拍品數(shù)量，pi(s1,s2)和pr(s1,s2)為相應(yīng)的支付。從而知情投標(biāo)者i的期望分配數(shù)量是：

(2)

(3)

當(dāng)i如實(shí)報(bào)告信號(hào)時(shí)的期望收益為：

(4)

不知情投標(biāo)者的期望收益為：

(5)

最優(yōu)機(jī)制設(shè)計(jì)要求能滿足知情投標(biāo)者的理性約束IRi：

Vi(si)=Ui(si|si)≥0

(6)

與激勵(lì)相容約束IC：

(7)

還應(yīng)滿足不知情投標(biāo)者的理性約束IRr：

EUr(si,sj)≥0

(8)

賣方的期望收益為：

(9)

顯然拍品分配機(jī)制還應(yīng)是可行的FC:

(10)

則我們的最優(yōu)機(jī)制設(shè)計(jì)問題可表述為：

(11)

將(3)式代入上式，并整理可得：

再將v(s1+s2)=w1s1+w2s2代入，可進(jìn)一步化簡為：

(必要性)首先，我們有：

性質(zhì)2：賣方的期望收入最大化問題可化簡為：

(12)

證明：首先，賣方為了使得拍賣收入最大化，將不會(huì)保留物品，從而約束(10)是緊的：

同時(shí)，對(duì)于沒有估值信息的不知情投標(biāo)者，賣方會(huì)將支付定在使得不知情投標(biāo)者期望收益為零的水平上，即約束(8)也是緊的，從而不知情投標(biāo)者的期望支付為：

(13)

根據(jù)(4)式，知情投標(biāo)者i的期望支付可寫為：

(14)

又根據(jù)性質(zhì)1，Vi(si)可寫為：

(15)

(16)

從而有：

(17)

交換積分次序得：

(18)

其中：

所以：

將上式代入(14)式得：

(19)

對(duì)于性質(zhì)2的最優(yōu)化問題，由于隨機(jī)性的存在，使得求解較為復(fù)雜，且沒有常規(guī)的解析解。我們按照文獻(xiàn)[5]的處理方法，考慮放松情形，即拋去問題的隨機(jī)性，在每一個(gè)信號(hào)組合處，求解最優(yōu)的分配方案，使得收入最大，即得到最優(yōu)化問題(12)的非隨機(jī)形式：

從而我們有以下最優(yōu)分配與支付機(jī)制：

其中s=(s1，s2)

證明：首先，問題顯然等價(jià)于：

(20)

對(duì)于以上最優(yōu)化問題的分配方案，可做如下分析。首先，(20)式的Lagrange函數(shù)為：

(21)

從而可得Kuhn-Tucker條件：

(22)

其中λi(s),θ(s)≥0為相應(yīng)的Kuhn-Tucker乘子。

(23)

成立的一個(gè)充分條件是hi(s)>0，即：

所以有

解得：

4 結(jié)語

通常的投標(biāo)者分類是按照是否擁有關(guān)于拍品的估值信息分為知情投標(biāo)者和不知情投標(biāo)者。但事實(shí)上，知情投標(biāo)者由于獲取信息的能力不同等因素，還可以按照對(duì)物品估價(jià)信息的數(shù)量與準(zhǔn)確性不同分為強(qiáng)知情投標(biāo)者與弱知情投標(biāo)者。本文從機(jī)制設(shè)計(jì)的角度研究最優(yōu)的具有公共價(jià)值的可分物品非對(duì)稱拍賣機(jī)制，即賣方根據(jù)不對(duì)稱知情投標(biāo)者報(bào)告的估值信息確定分配給知情投標(biāo)者和不知情投標(biāo)者的拍品數(shù)量。本文假設(shè)物品的價(jià)值是由知情投標(biāo)者的估價(jià)構(gòu)成的，而我們認(rèn)為知情投標(biāo)者是非對(duì)稱的，其表現(xiàn)形式之一是知情投標(biāo)者的估價(jià)在拍品的市場估值中權(quán)重是不相等的，從而賣方在設(shè)計(jì)最優(yōu)的物品分配機(jī)制時(shí)必須考慮這一因素。這一現(xiàn)象導(dǎo)致了兩知情投標(biāo)者雖然擁有相同的估值分布，但他們獲得拍品的概率卻是不一樣的，強(qiáng)知情投標(biāo)者想要獲得拍品，需要比弱知情投標(biāo)者報(bào)告更高的估價(jià)，而強(qiáng)知情投標(biāo)者的估價(jià)在拍品市場價(jià)格構(gòu)成當(dāng)中有更高的權(quán)重，更有利于增加賣者的收入。

如Bennouri和Falonieri[5]，Shi Xinyan[8]研究指出，當(dāng)所有投標(biāo)者都是風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，賣方傾向于將所有物品都分配給不知情投標(biāo)者，從而占有知情投標(biāo)者所有的信息租金。本文指出當(dāng)知情投標(biāo)者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，并且服從某一特定的風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)時(shí)，原有分配機(jī)制得到根本轉(zhuǎn)變，此時(shí)，由于知情投標(biāo)者的不對(duì)稱性，他們面臨著不同的報(bào)告臨界值，當(dāng)報(bào)告值大于這一臨界值時(shí)，可獲得一定數(shù)量物品，否則將不會(huì)得到任何物品。

不同于過往文獻(xiàn)只側(cè)重討論信息不對(duì)稱下的拍賣問題[1,4,8,10]或者只是關(guān)注不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度對(duì)機(jī)制設(shè)計(jì)結(jié)果的影響[2,5,12]，本文將符合典型機(jī)構(gòu)投資者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的特定風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)引入包含兩個(gè)信息不對(duì)稱知情投標(biāo)者和一個(gè)不知情投標(biāo)者的可分公共物品拍賣機(jī)制研究，并得到最優(yōu)的分配與支付規(guī)則。在本文中，無論是拍品的可分與公共價(jià)值屬性，還是投標(biāo)者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，或者三類投標(biāo)者的不同信息結(jié)構(gòu)，都比較符合新股發(fā)行和國債拍賣等金融市場，這使得本文的研究在相應(yīng)的領(lǐng)域具備一定的理論價(jià)值。

[1] Wilson R. Competitive bidding with asymmetrical information [J]. Management Science, 1967, 13(11): 816-820.

[2] Reichert A O. Models for competitive bidding under uncertainty [D].California,U.S.:Department of Operations Research, Stanford University,1968.

[3] Engelbrecht-Wiggans R, Milgrom P, Weber R. Competitive bidding and proprietary information [J]. Journal of Mathematical Economics, 1983,11(2): 161-169.

[4] Paul P,Rajdeep S. Using bidder asymmetry to increase seller revenue[J]. Economics Letters, 2004,84(1): 17-20.

[5] Bennouri M, Falconieri S. The optimality of uniform pricing in IPOs: An optimal auction approach [J]. Review of Finance, 2008, 12(4), 673-700.

[6] 王彥，李楚霖. 非對(duì)稱情況下的多物品拍賣 [J]. 中國管理科學(xué)，2003, 12(06)：61-65.

[7] 饒從軍，趙勇，王清. 基于可變供給量的可分離物品拍賣及其應(yīng)用[J]. 中國管理科學(xué). 2012,20(01): 129-138.

[8] Shi Xinyan. Common-value auctions with asymmetrically informed bidders and reserve price[J]. International Journal of Economic Theory,2013, 9(2):161-175.

[9] Liu Heng. Equilibrium selection in common-value second-price auctions[J]. Games and Economic Behavior，2014, 84:1-6.

[10] Einy E, Haimanko O,Orzach R,et al. Common-value all-pay auctions with asymmetric information and bid caps [R]. Working Paper,Ben-Gurion University the-Negeu.

[11] Myerson R B. Optimal auction design [J]. Mathematics of operations research, 1981, 6(1): 58-73 .

[12] Cremer J, McLean R P. Full extraction of the surplus in Bayesian and dominant strategy auctions [J]. Econometrica, 1988, 56(6):1247-1257.

Asymmetric Auction of Divisible and Common-value Goods

LU Yun-zhao1,2, LIU Shu-lin2

(1.Opening Economy and Trade Research Center,Fuzhou College of Foreign Strdies and Trade,Fuzhou 350202,China;2.School of International Trade and Economics, University of International Business and Economics, Beijing 100029, China)

In this paper problem of optimal auction design of selling a divisible common-value object under an assumption that the seller faces two asymmetrically informed risk-averse bidders and one uninformed risk-neutral bidder is analyzed. The optimal mechanism design model is established for maximizing seller’s expected revenue under all bidders’ rational participation constraints and informed bidders’ incentive compatibility constraints . The necessary and sufficient condition for the informed bidders’ incentive compatibility constraints to be satisfied is given used and to simplify the seller’s expected revenue maximization problem. The seller’s revenue maximization problem is solved by ignoring its randomness and find that the seller allocates some goods to the informed bidder if and only if his reported value is higher than a particular threshold; the higher the reported value by the informed bidders is, the more goods will be allocated to him. Our research results can provide some suggestions for mechanism design for stock or bond issuance because the shares and bonds can be seen divisible and common-valued goods.

mechanism design; risk aversion; asymmetric auction; divisible goods; common value

1003-207(2016)03-0141-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.03.017

2014-03-26；

2015-03-17

簡介：劉樹林(1964-)，男(漢族)，內(nèi)蒙古人，對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)國際經(jīng)濟(jì)貿(mào)易學(xué)院，教授，博士生導(dǎo)師， 系主任，研究方向：應(yīng)用數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、招投標(biāo)與拍賣理論及其在經(jīng)貿(mào)與金融領(lǐng)域的應(yīng)用、應(yīng)用博弈論和多準(zhǔn)則決策理論與應(yīng)用的研究,E-mail:slliu@uibe.edu.cn.

F724.59

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