譚東杰

【摘 要】文章在論述不動(dòng)點(diǎn)定理這一結(jié)論的基礎(chǔ)之上，著重研究了運(yùn)用Banach壓縮映射的原理去證明Picard以及Schauder不動(dòng)點(diǎn)兩個(gè)定理，同時(shí)再進(jìn)一步證明Peano解的存在性，繼而再運(yùn)用Banach壓縮映射原理與Schauder定理一起綜合去研究不動(dòng)點(diǎn)定理在微分方程內(nèi)的應(yīng)用方法。

【關(guān)鍵詞】不動(dòng)點(diǎn)定理;Banach壓縮映射原理;微分方程

引言

不動(dòng)點(diǎn)定理在泛函分析中是一個(gè)非常重要的部分，在數(shù)學(xué)中能夠用到很多不同類(lèi)型的不動(dòng)點(diǎn)定理，它們?cè)谧匀豢茖W(xué)研究中的應(yīng)用十分的廣泛。文獻(xiàn)[1]內(nèi)作者通過(guò)Picard的逐次迭代法去證明微分方程中初值解及其唯一性的定理;文獻(xiàn)[2]內(nèi)作者通過(guò)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理以及不等式去證明積分方程的解及其唯一性;文獻(xiàn)[3]內(nèi)運(yùn)用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理去簡(jiǎn)化Picard定理的證明過(guò)程，同時(shí)通過(guò)Leray?—Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理去說(shuō)明不動(dòng)點(diǎn)定理在微分方程的運(yùn)用;文獻(xiàn)[7]通過(guò)分析方法去討論Banach壓縮映像原理以及Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理二者在Picard解的唯一性以及Peano解的存在性定理在進(jìn)行證明時(shí)的運(yùn)用。

1不動(dòng)點(diǎn)定理結(jié)論

所謂的不動(dòng)點(diǎn)，其實(shí)是個(gè)函數(shù)的術(shù)語(yǔ)，其在數(shù)學(xué)里主要指被該函數(shù)映射到自身一個(gè)點(diǎn)。我們定義1為T(mén)：（X，ρ）（X，ρ）是一壓縮映射，若是有0<α<1會(huì)使ρ（Tx，Ty）≤αρ（x，y），（?x，y∈X）.

定理1.1：壓縮映射原理，假設(shè)X為某一完善的度量空間，映射?：Χ→Χ 將每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離壓縮λ倍，也就是d（?（x），?（y））≤λd（x，y），該處的λ為小于1的常數(shù)，則?肯定有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從Χ的任一點(diǎn)x0出發(fā)做出序列x1=f（x0），x2=f（x1），…，xn=f（xn-1），…，那么該序列必然會(huì)收斂到該不動(dòng)點(diǎn)。此定理為證明很多種方程解的存在性以及惟一性、迭代解法的基礎(chǔ)原理。

定理1.2：布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理：假設(shè)Χ為歐氏空間里的一個(gè)緊凸集，則Χ至自己的每一連續(xù)映射都會(huì)存在最少一個(gè)的不動(dòng)點(diǎn)。運(yùn)用該定理能夠證明代數(shù)的基本原理，即復(fù)系數(shù)的代數(shù)方程必然會(huì)存在復(fù)數(shù)解。將布勞威爾定理內(nèi)的歐氏空間變?yōu)榘湍煤湛臻g，即為紹德?tīng)柌粍?dòng)點(diǎn)定理，這一定理通常在偏微分方程理論中。以上的定理都能從單值的映射擴(kuò)展至集值映射，在微分方程理論以外還經(jīng)常在對(duì)策論以及數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究中應(yīng)用。

定理1.3：萊夫謝茨不動(dòng)點(diǎn)定理，假設(shè)Χ為一個(gè)緊多面體，?：Χ→Χ為映射，則?不動(dòng)點(diǎn)的代數(shù)數(shù)量等于?的萊夫謝茨數(shù)L（?），其為一很方便計(jì)算的同倫不變量。當(dāng)L（?）≠0的時(shí)候，和?同倫的每一映射均最少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，該定理對(duì)布勞威爾定理的基礎(chǔ)上進(jìn)行了發(fā)展。

定理1.4：假設(shè)為Banach空間X的一個(gè)非空緊凸集，T：M→M為一個(gè)連續(xù)映射，那么在中存在不動(dòng)點(diǎn)。

2不動(dòng)點(diǎn)定理的運(yùn)用

這里主要研究的是2個(gè)原理，即 Banach壓縮映射原理以及Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理。

2.1對(duì)Banach壓縮映射原理的運(yùn)用

針對(duì)一階微分方程內(nèi)的初值

（1）

有關(guān)其解的存在和唯一性，有以下Picard定理：

假設(shè)二元函數(shù)f（x，y）在矩形D={（x，y）||x-x0|≤a，|y-y0|≤b}中是連續(xù)的，同時(shí)y能夠滿(mǎn)足Lipschitz的條件，也就是有常數(shù)L>0，?（x，y），（x，y）∈D，有

那么問(wèn)題（1）在區(qū)間中存在唯一的解，其中

證明：?jiǎn)栴}（1）等價(jià)于積分方程

（2）

令

那么為Banach空間的閉子空間，因此亦為完備的，同時(shí)映射所以， 為中的連續(xù)函數(shù)，也就是并且

因此另外，

由于因此T為重的壓縮映射。故而，根據(jù)壓縮映射原理，有唯一的使得也就是積分方程（2）存在唯一的解即為問(wèn)題（1）在區(qū)間中存在唯一的解。

2.2 Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的運(yùn)用

主要是運(yùn)用J Schauder在上世紀(jì)30年代給定的一個(gè)應(yīng)用非常廣的不動(dòng)點(diǎn)定理，也就是Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理去證明Peano解的存在性， 其一直到現(xiàn)在仍然為研究非線性微分方程的解的存在性的主要工具。首先看常微分方程：

（3）

其中f：G→Rn，G?R×Rn如果設(shè)定（τ，ξ）∈G，（τ∈R，ξ∈Rn）那么方程求一個(gè)函數(shù)Φ（t）可以滿(mǎn)足：

（4）

的問(wèn)題可以叫做方程（3） 的Cauchy 問(wèn)題， 而 Φ（ t ） 可以叫做Cauchy問(wèn)題（4）的解。

定理3.1：Peano的解的存在性定理，假設(shè)函數(shù)f（x，t） 處于R×Rn內(nèi)的閉區(qū)域G：|t-τ|≤a， 中是連續(xù)的， 那么Cauchy初值在區(qū)間I：|t-τ|≤h中至少會(huì)有解的存在，而此處

證明：（6）等價(jià)于積分方程的求解。

使 F： 具體可表示為：

很容易看出F為連續(xù)映象，令，當(dāng)x∈C[τ-h，τ+h]

≤Mh

又

<ε

F（c）相對(duì)比較緊，因此F為全連續(xù)映象，且F（ ） ，按照Schauder定理， F在 Ω存在不動(dòng)點(diǎn)，也就是說(shuō)Cauchy問(wèn)題（4）有解。

看非線性積分方程 此為一特殊的Hammerstein積分方程， 接下來(lái)證明其存在連續(xù)的解。

證明：定義映像為：

任意取ε>0存在σ>0，當(dāng)||x1-x2||<σ時(shí)，有|cos（λx1（s）-cos（λx2（s））|<ε

因此

<ε

故而F為連續(xù)的。同時(shí)， 當(dāng)x∈C[0，1]，有

.

并且

<ε

根據(jù)Arzela- Asco li定理，F(xiàn)為全連續(xù)映象。如果讓?zhuān)敲春苊黠@F（） 。根據(jù)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，F(xiàn)在 中存在不動(dòng)點(diǎn)，也就是說(shuō)積分方程有連續(xù)解。

四、結(jié)論

不動(dòng)點(diǎn)定理不但可以在微分方程以及積分方程內(nèi)進(jìn)行應(yīng)用，還在代數(shù)方程解的存在以及唯一性證明中也起著發(fā)揮著非常重要的作用?？偠灾?，運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)原理去證明微分方程解的存在性十分簡(jiǎn)便，非常巧妙。

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