孫博華

(開普半島技術大學機械工程系，開普敦 南非7535)

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量綱分析以及應用

孫博華

(開普半島技術大學機械工程系，開普敦 南非7535)

本文系統(tǒng)介紹了量綱分析方法和如何使用量綱分析的六步法，通過幾個典型應用(點源爆炸、管流阻力和黏性流體中小球運動)展示了量綱分析的普適性.

量綱;π定律;相似性

0 引言

隨著人類對自然界探索活動的深入，遇到的問題也愈來愈復雜，往往涉及多尺度、多層次、多材料和多物理的耦合問題.雖然有各種各樣的分析方法，但都有其局限性，我們現(xiàn)在的問題是，是否有一種普遍方法來處理這些復雜的問題呢？回答是肯定的，這個普遍適用的方法就是量綱分析方法，它是探討科學規(guī)律、解決科學和工程問題的一個普適方法，是一門非常值得學習和掌握的科學工具.

解決一個復雜問題，除了需要理解具體問題的物理理論外，還需要掌握與物理概念密切相關的量綱分析方法和相似論.它們既可以用于數(shù)據(jù)整理，也可以在不求解問題前就對問題有個定量和定性的把握.對于有些復雜問題，建立其數(shù)學模型有時可能非常困難，或者方程非常復雜難以求解，或者求解的過程非常復雜不便于實際應用.有時需要做試驗，而實際尺寸很難在試驗條件中實現(xiàn)，必須縮小尺寸做模型試驗，這時必須要求滿足一定的相似條件，這種條件必須建立在量綱分析和相似論的基礎上才能建立.一般來講，對于復雜問題，特別是研究開始時一般都要先進行量綱分析和相似性分析，盡量找出一些一般性規(guī)律，發(fā)現(xiàn)主導參量，細化演化過程，以便在建模和分析時簡化問題.

量綱分析(dimensional analysis)很難說從何時開始，基本上它是推廣古希臘幾何中的相似與比例的觀念.很多科學大師如Newton、Fourier[1]、Maxwell[2]等處理問題時內(nèi)心深處其實是有量綱的概念, 但不成系統(tǒng).法國數(shù)學家J.Fourier的名著Analytical Theory of Heat(熱的解析理論)就有量綱分析的論述，20世紀初量綱分析才逐漸成形，并且是物理學、數(shù)學中建立數(shù)學模型的重要方法之一.牛頓第二定律F=ma的物理關系，其方程式應該與計量物理量的單位無關.這導致一個重要結論：任何有意義的定律，對于其方程式的每一個計量單位，都必需是齊次方程式.這個認識的最終形式成為π定理，即假設一個有物理意義的方程式具有n個變數(shù)與m個基本量綱，π定理描述怎樣將這方程式等價地寫成具有n-m個無量綱參數(shù)的方程式.更重要的是，從給定的變數(shù)，這定理給出了一種能夠計算這些無量綱參數(shù)的方法.

通過量綱分析可以檢查反映物理規(guī)律的方程在計量方面是否合理，即利用物理定律的量綱平衡(齊次原理)確定各物理量之間的關系.一個成熟的物理學家如果要探究某一個問題，往往是從定性到半定量至定量的分析過程，從量綱分析入手.

1 從一個故事開始——點源強爆炸

在量綱分析發(fā)展歷史上一個特別有名的案例，是第二次世界大戰(zhàn)期間英國力學大師G.I.Taylor的點源強爆炸研究，他發(fā)現(xiàn)了沖擊波球面半徑與時間的2/5成正比的規(guī)律，并從照片預測了世界第一顆原子彈的當量，曾引起很大的國際社會反響，害得美國要調查是否有泄密事件.這個問題的解決展示了量綱分析解決復雜問題的強大能力.

在二戰(zhàn)的困難時期，1940年英國著名科學家GeorgeThomson邀請G.I.Taylor參加一個工作午餐，Thomson是剛成立的英國鈾軍事應用委員會的主席，他告訴Taylor英國要制造一種利用核反應產(chǎn)生巨大能量的炸彈，不過那時還沒有使用原子彈這個名詞.

傳統(tǒng)炸彈的機械效能，是通過在有限的空間里短時釋放大量高溫高壓氣體獲得的.而對于這種新型炸彈，當時的問題是希望了解這種在極端聚焦的沒有伴隨氣體的點源強爆炸的機械效能是否與傳統(tǒng)的炸彈類似[3-5].

就在他們這次討論這個問題之前，英國收到美國著名爆炸專家G.Kistiakovsky*G.K.出生于烏克蘭基輔，哈佛大學教授，曾領導研制第一顆原子彈內(nèi)爆點火的爆炸鏡頭explosive lens.的報告，他認為即便這種炸彈能爆炸，其威力也沒有期望的那么大.到底情況如何需要盡快研究.R.W.Clark

在《TheBirthoftheBomb》一書中指出，當時他們認為全英國只有一個人可以解決這個問題，這個人就是劍橋大學的G.I.Taylor教授.

對于這個科學問題，Taylor思考和計算空氣在瞬間爆炸產(chǎn)生的運動和壓力.他認為爆炸會產(chǎn)生一個熱沖擊波，即一個點源強爆炸瞬間釋放巨大但有限的能量E，將對其周圍的空氣進行急劇的壓縮和加溫，并以超過聲速的球形沖擊波向外急速膨脹.

圖1 原子彈爆炸的球形沖擊波

他列出了問題的流體力學偏微分方程組，發(fā)現(xiàn)這個方程組是非線性的，當時無法求解，怎么辦？這時Taylor想到借助量綱分析這個有力工具來研究這個問題.

設空氣絕熱系數(shù)γ(表征空氣的可壓縮性，無量綱)，在爆炸時間t時球形沖擊波的波陣面半徑是R，波陣面相當于一個球形邊界面，內(nèi)部是超熱的火球，外面是正常大氣，其密度為ρ0，壓強比球內(nèi)壓強小幾個數(shù)量級可以忽略不計.這樣，這個復雜的問題就簡化成一個只有5個參量的問題，即希望知道球形沖擊波的波陣面的半徑

(1)

這里的符號f只代表是一種函數(shù)關系，不是具體的一個函數(shù).下面使用量綱分析來研究一下這些量之間的關系.

這里有n=5個參量見表1，基本量綱有質量m，長度L和時間t,即j=3.

表1 點源強爆炸參量的量綱

根據(jù)π定理，可以構造出k=n-3=2個無量綱的Π.取E,t,ρ0為重復變量，有關系

由于γ是無量綱量，所以α=β=λ=0，即Π2=γ.

對于Π1，有

(4)

可得到冪次數(shù)為

(5)

這樣就得到Π1

(6)

根據(jù)量綱分析理論，就有關系Π1=S(Π2)，即

(7)

其中S(γ)是常數(shù)，所以就得到球形沖擊波的波陣面的半徑

(8)

以上就是Taylor的時間2/5冪次律，沖擊波的波陣面半徑是時間的2/5冪次方，后來計算確定S(γ)≈1.033.

從上式可得球形沖擊波的波陣面上的速度

(9)

可見球形沖擊波的波陣面上的速度是變化的，并且隨時間的增大而衰減，當時間很大時速度趨于零.

球形沖擊波的波陣面上的加速度

(10)

球形沖擊波的波陣面上的加速度是變化的，是加速度沖擊波，而且也隨時間增大而衰減.

球形沖擊波的波陣面后面的壓強

(11)

球形沖擊波的波陣面上的壓強，在爆炸中心附近非常大，并隨時間迅速衰減.

到這里量綱分析的介紹本來可以結束，但與此有關的故事在科學技術史上也有一定的意義，在此順便介紹.故事是這樣的，1941年6月27日Taylor給英國有關機構提交了報告.當時參加美國原子彈Manhattan工程的大科學家John von Neumann也研究同一個問題，在提交報告前他在周末檢查報告中的168個公式，于1941年6月30日(星期一)提交給Los Alamos實驗室[6]，比Taylor晚了3天！

由于保密的原因，當時以上兩個報告都沒有公布.Taylor在1950年才允許發(fā)表其研究成果，John von Neumann的結果在1947年發(fā)表在Los Alamos的Blast Wave報告第二章中[7].

同一個問題，蘇聯(lián)參加原子彈研究的L.I.Sedov也進行過獨立研究，結果沒有保密而是于1946年發(fā)表在公開的學報上[8].

圖2 世界第一顆原子彈Trinity從0.1ms至 1.93ms爆炸火球的照片

在Taylor(1950)的第二篇論文中[5]，他利用1947年美國公開發(fā)表的原子彈爆炸火球照片(見圖2)，從中測量出時間和半徑，用公式E=[S(γ)]-5ρ0R5t-2計算預測了美國第一顆原子彈的爆炸當量是

(12)

據(jù)文獻上介紹，預測結果發(fā)布后很讓美國政府難堪，雖然爆炸照片已經(jīng)公開了，但這個爆炸當量當時是高度絕密的參數(shù).提取照片的數(shù)據(jù)利用量綱分析公式預測原子彈的當量是Taylor的一大貢獻，得到了超出科學界的巨大社會效果，所以Taylor的結果特別有名.

怎么連公式都不用，Taylor就解決了這個問題？太神奇了！那么，量綱分析到底包括哪些內(nèi)容，如何使用它來解決科學和工程中的問題？下面就系統(tǒng)介紹量綱分析的理論.

2 量綱分析的基本概念和π定理

量綱分析有它的核心概念和定理，理解它們對于靈活使用量綱分析來解決問題非常重要.量綱分析核心知識點包括量綱概念、7個基本量綱單位、量綱冪次定理、量綱一致性定律、π定理、量綱分析6步法、模型實驗與原問題的相似模數(shù)都必須相等等概念.

2.1 量綱和基本單位

任何物理量都有量綱或單位，該物理量的大小就是這個單位的多少倍，即一個標量乘這個單位.如長度10米， 其中米是度量這個長度的單位，而10是這個長度和米所表示的單位長度的比例.很明顯，用來度量這個物理量的單位和這個物理量本身一定是同一類型的量，或者說，這些量的量綱是相同的.長度的量綱我們用L來表示，而不特別說明具體是用長度的米、厘米還是毫米，只要是長度量綱就行.

當然也有一些量是沒有量綱，我們就稱其為“無量綱”量，如角度和一些導出的量.

物理世界千變?nèi)f化，看起來非常復雜，但可以慶幸的是，基本的物理量量綱單位一共只要7個(見表2)，所以我們有結論：基本的物理量量綱單位一共只要7個；所有其他的物理量都是其組合的導出單位.

表2 基本物理量量綱和符號

從一個問題涉及基本物理單位的個數(shù)多少基本可以預測這個問題的復雜程度，當然越多越復雜，但最多就是7個基本的物理單位.近幾年來，科學界比較關注的多物理問題從本質上看就是這些問題涉及多個基本物理量.

比如，純力學類系統(tǒng)，只會涉及3個基本量(質量，長度和時間)，如果考慮溫度變化的熱力學過程就需要加上基本量溫度.

2.2 量綱的冪次定律

量綱是物理量的種類屬性，物理量的量綱反映該物理量隨基本量的單位變化而變化的倍數(shù).物理量的量綱如何來表達，它一般是什么形式？在力學系統(tǒng)中，基本量綱有3個，長度L，質量M和時間T，這個系統(tǒng)中的任何的物理量Y都可以表示成Y=LaMbTc, 其中a,b,c為實數(shù).

一個無量綱的純數(shù)A也可以這樣表達，只是其冪次都為零，即A=L0M0T0.其實這個結果是一般性的.一個問題的基本量綱一旦確定，其中的任何物理量都可以表達成基本量綱的冪次形式，

物理量綱的冪次定律: 任何物理量的量綱公式都是基本量綱的冪次單項式的形式.

2.3 量綱一致性定律

蘋果(物理量)加雪梨(物理量)等于什么？量綱不同的物理量是不能相加的(見圖3).

量綱一致性定律: 每個在公式中相加的量其量綱必須一致.

圖3 不同性質的物理量不能相加

例如，Einstein公式，E=mc2， 量綱關系是ML2T-2=M(L/T)2.如果在推導公式時發(fā)現(xiàn)某些項的量綱之間不同，那么一定是推導有誤，必須修改以保證公式中的每一項的量綱都一致.

與量綱一致性原理相關的一個原理是說描寫真實世界的物理定律中的物理量與測量這些物理量的單位無關.比如力學的Newton定律F=ma中的質量可以使用kg，也可以使用g，不管用什么單位，公式都應該成立.這種與物理量單位無關反映了物理定律一個非常重要的不變性原理.

2.4 π定理

1914年Buckingham[9,10]發(fā)表一篇有關量綱分析的重要定理，由于在論文中使用希臘字母π表示無量綱量, 1922年被美國學者P.W.Bridgman在其專著《Dimensional Analysis》[11]中命名為Buckinghamπ定理.Bridgman的這部書是他在哈佛大學給研究生的5次講座基礎上整理而成，是世界上第一部量綱分析專著.由于量綱分析理論之后沒有什么變化，從現(xiàn)代的角度看這部書完全一點都不過時，多次再版發(fā)行，不愧為是一部名著.1946年，Bridgman由于高壓物理的研究獲得諾貝爾物理學獎.有關π定理，據(jù)說俄羅斯學者于1911年曾獨立發(fā)現(xiàn)[12].

π定理: 設有一個物理關系，f(x1,x2,x3,…,xn)=0，由一組量綱不同的物理量x1,x2,x3,…,xn所組成.設在這組物理量中有j個量綱是相互獨立的，并且選作為基本單位量綱，這個物理關系一定可以用k=n-j個無量綱量Π1,Π2,…,Πk完全表示出來，即

(13)

這里的j不能是任意多，基本量綱單位只要7個，所以j的最大值是7，一般情況下j≤7.但在定向量綱分析中，可以通過引入長度的方向性，增加基本量綱，但本質上也沒有增加物理基本單位，仍然是7個.從以上的π定理的表述看，可能給人的感覺是量綱分析很困難.其實只要對問題有比較好的物理了解，使用下面的6步法，就可以較快地得到問題的標度律或相似關系.

2.5 量綱分析的6步法

π定理給出了構造無量綱量Π的一般方法，在此基礎上人們總結出一個簡單的6步方法[13]列于表3.

表3 量綱分析的6步法

續(xù)表

應當指出，在第3步中有“猜測j值”，這就給人一種不確定的感覺，從而使量綱分析有些隨意性，由于這個原因，量綱分析也的確有些技巧或“藝術”成分.一個復雜問題通過量綱分析解決后往往會給人一種智慧的沖擊和享受，所以好的量綱分析結果一般都是科學大作.

2.6 量綱分析的難點

雖然π定理給出了構造無量綱量Π的一般方法，但人們在使用中會感到一定的困難[14].

(1) 如何確定問題的物理量，就是參量n的問題.在一個物理問題中究竟哪些是必要的物理量，有時很難決定，特別是新的科學問題，問題本身可能還沒有確定.多余地加進一些關系不大的物理量，常常給我們增加很多分析的復雜性，但過少的物理量顯然不能解決問題.這里就需要有高深的科學修養(yǎng)，具體問題具體分析，這個地方就有“技巧”和“藝術”的成分.量綱分析需要非常豐富的物理知識和對問題的深刻理解.

(2) 如何決定作為基本量綱的物理量，就是j值的問題.在n個參量中，選j個量作為基本量，這時到底選哪個量作為基本量，就是一個很關鍵的問題，顯然不同的選擇，會構造出不同的一組無量綱量Π.這個重要的問題可惜沒有一個標準和規(guī)律可循，從而不同人會得到不同的結果.這就有結果好壞的問題，是量綱分析中難度系數(shù)最大的問題.

(3) 無量綱量Π不是唯一的，其相互的乘除和冪次都是無量綱量！這時需要把導出的無量綱量與歷史上科學界已經(jīng)命名的參量比較，并改寫成該量的傳統(tǒng)表示.

以上是量綱分析學習和使用時的難點，必須通過實踐訓練才能掌握好這個工具.學術上講，其中的一些問題只有通過相似論來解決.但是，應用相似論，就要求使用物理問題的基本方程.在很多實際問題中，問題的基本方程常常還不很明白.在這些沒有基本方程的復雜問題中，量綱分析就比較有用.所以，如果你研究的問題非常復雜，還沒有搞得太明白，最好不要貿(mào)然開始，建議先用量綱分析試試問題的深淺.

確定重復變量是量綱分析的難點，一般情況要從物理上思考才會比較準確.比如管道中流體流動摩擦阻力的問題，其中有管道、液體和流動3個因素，它們的相互作用導致摩擦阻力，重復變量就必須包括管道和流動液體兩個方面，所以可以取管道的直徑D、液體的密度ρ和流動速度v作為重復變量.

3 管內(nèi)液體流動的摩擦阻力

設一個圓管(見圖4)的直徑為D， 不完全光滑有粗糙度ε(長度量綱)，流體的密度是ρ，流動速度v，動力粘度μ，摩擦切應力τw(是摩擦阻力的來源)，問題是需要確定τw與其他量的關系.

圖4 管流的摩擦阻力

第1步： 列出問題所有的參量(有量綱的變量，無量綱變量和常數(shù))并計算其個數(shù)，設一共有n個參量.

對于這個問題，我們有6個參量，即n=6.這個問題的目的就是要確定關系

(14)

第2步： 列出所有n個參量的量綱(見表4).

表4 管流參量的量綱

第3步： 這個問題的基本量綱有L,M,T共3 個.作為第一次猜測，取j值等于問題中基本量綱的個數(shù)，即j=3.這樣我們就有k=n-j=6-3=3，這樣就會有k=3個無量綱量Π.

第4步：j值是3，我們要從6個參量中選擇3 個作為問題的重復變量，無量綱的攻角不選，因變量τw不選，動力粘度μ已經(jīng)包含了所有的基本量綱L,M,T，我們?nèi),v,ρ作為重復變量.

第5步： 把所有的k個無量綱量Π列出，必要時適當整理無量綱量Π轉化成科學界已經(jīng)命名的無量綱量.

我們把τw與重復變量做一個乘積，重復變量的冪次為待定.

(15)

把表中的參量基本量綱代入到上式，并注意Π是無量綱量，得到合并同類項，兩邊同一量的冪次必須相等，得到待定常數(shù)a=-2,b=0,c=-1.

把確定的a和b代入到Π，得到這個問題Π

(16)

其中的Π1改寫成傳統(tǒng)的Darcy摩擦阻力因子fD

(17)

類似，我們用空氣粘度μ代替τw， 重復計算就可以得到Π2

(18)

可以得到另一組a=-1,b=-1,c=-1，所以

(19)

這個Π2就是Reynolds常數(shù)Re的倒數(shù)，可以修改成傳統(tǒng)表示

(20)

同樣可以得到第3個Π3， 就是粗糙度δ與管直徑的比值，傳統(tǒng)稱為粗糙度系數(shù)

(21)

第6步： 驗證所有的無量綱量Π，并寫出問題的最終量綱關系.

(22)

得到摩擦阻力系數(shù)為

(23)

對于這個問題，我們沒有建立問題的方程更沒有求解，得到了摩擦阻力因子與粗糙度系數(shù)的關系公式，很神奇！當然，量綱分析不能完全確定一切，待定常數(shù)F(Re,ε/D)，它必須通過其他方法(如試驗)確定.

對于粗糙度系數(shù)ε/D為零的管流，在層流情況下fD=64/Re;對于湍流是不同的結果fD=0.316Re-1/4.

對于速度v很大的極限情況，可認為Re→∞，對于這個問題F(Re,ε/D)就只是粗糙度系數(shù)ε/D函數(shù).

如果管道完全光滑即粗糙度系數(shù)為零，即

(24)

這時摩擦阻力因子fD是常數(shù)！即有切應力τw=Cρv2，其中C是常數(shù).

4 定向量綱分析

以上介紹的通常量綱分析除了本文2.6節(jié)的難點外，還有些先天不足，比如說長度和速度的方向無法表示，這就使運用量綱分析處理一些固體力學問題時有一定的限制，在固體力學中量綱分析不很成功，量綱分析需要改進，需要引進定向量綱的概念[14-17].量綱分析的一些不合理的地方是：

(1) 角度由于是無量綱量，它只能隱含在待定函數(shù)中，它本身無法進行量綱分析，比如研究機翼升力的攻角α，只能隱含地表現(xiàn)在函數(shù)f(α)中，但無法從中提取出來.

(2) 所有的應變都是無量綱量，與角度類似其本身無法進行量綱分析，只能隱含在待定函數(shù)中，彈性應變與塑性應變量綱也一樣，無法區(qū)分開來.而固體力學中應變無處不在，這可能是通常量綱分析在固體力學中應用不理想的一個原因.

(3) 有些物理量本身之間沒有什么聯(lián)系，但其量綱卻相同，在量綱分析中無法把它們分開.例如物質質量和慣性質量的量綱都是M，無法區(qū)分它們；頻率，應變率，角速度的量綱都是T-1；所有Young彈性模量、剪切模量、應力的量綱都是LMT-2；角動量的變化率、能量和梁板殼彎矩的量綱都是L2MT-2.

(4) 基本單位最多只有j=7個，力學系統(tǒng)的基本單位才有j=3個(長度，質量和時間)，對于力學系統(tǒng)來講，如果問題有n=4個參量，就可以得到一個Π，這種情況是最好的，因為只有一個Π，它就只能是一個常數(shù)，所有的量就不再隱含在函數(shù)里了，比如肥皂泡的例子中Π就是一個常數(shù).

這里就出現(xiàn)一個問題，是不是可以在量綱分析的框架下，通過合理增加一些基本量綱，從而減少問題的Π個數(shù)，達到簡化問題的目的？

Huntley提出定向量綱(Directed Dimension)概念[15]，Siano提出(orientational analysis)取向分析[16,17].

具體講，Huntley的定向量綱基本思想有兩點：

(1) 考慮矢量的大小和方向，原來只考慮大小.如沿x方向上的長度記成Lx，x坐標方向的速度記成vx=Lx/t，

(2) 區(qū)分物質質量(mi)和慣性質量(ms)的量綱.

Siano的取向分析，特別引進方向符號lx、ly、lz代表3個方向，沒有方向的標量使用符號l0.這樣Huntley的Lx就可以表達成Lx=Llx.也可以表示角度和三角函數(shù)等.

4.1 炮彈的水平距離

問題： 炮彈在高度為H處用初始速度v平射，求拋到地面的水平距離R.炮彈在以v拋出后，在地球引力(重力)的作用下靠慣性飛行，這個問題的參量有H,v,R和重力加速度g，即有n=4個參量(見表5).

表5 炮彈平射參量的量綱

從中可以看出，這個問題的基本量綱是長度L和時間t，即j=2，所以本問題有k=n-j=2個無量綱Π:

(25)

(26)

所以有關系

R/H=f(gH/v2)

(27)

這就是使用通常量綱分析獲得的結果.關系式(27)只能告訴我們水平距離R與初始高度H成正比，無法給出與初始速度的明確關系信息，我們不滿足這個結果，希望獲得更多的信息.

讓我們區(qū)分速度的方向，以及水平距離和高度方向.問題的參量有H、v、R和重力加速度g，即有n=4個參量(見表6).

表6 炮彈平射擴充參量的量綱

同一個問題，仍然有4個參量，但基本量綱多了，現(xiàn)在是3個(Lx,Ly,t),這時就只有一個無量綱Π:

(28)

由于式(28)只有一個Π，所以這個Π必須是常數(shù)C，問題的解答是

(29)

討論： 式(29)只有一個待定常數(shù)，物理關系非常簡單，R與H的關系是拋物線關系，理論推導知道其中的常數(shù)C=2.

5 量綱分析的不完全相似問題

還有一些問題，其中有的Π非常大而同時有些Π又非常小，出現(xiàn)所謂的奇性問題.比如在以上的例子中曾看到雷諾數(shù)Re很大的情況.這需要引進量綱分析的不完全相似概念.

以上討論的量綱分析屬于完全相似的情況，如果其中的無量綱Π趨于無限大或零，這時的量綱分析屬于非完整相似情況，這種情況的相似性一般將被破壞.為了也可以近似處理這類問題的相似性，G.Bareblatt在1979年提出一種處理這類相似性的漸進方法[18].

其基本思想是，比如，不失一般性這里只舉有3個Π的情況.如一個問題按正常操作得到無量綱關系

(30)

假如在Π2→0的情況下Π1的極限存在，現(xiàn)在的問題是Π1可以是什么形式？類似使用函數(shù)的Taylor級數(shù)展開，Barenblatt建議式(30)改成如下形式

(31)

其中式(31)的冪次α是待定常數(shù).

如果Π3→∞的極限也存在，式(31)可以改寫成

(32)

顯然，如果極限f(∞)存在，α必須是一個常數(shù)，在最簡單的情況可以取冪指數(shù)α=1.

6 小球在黏性液體中運動的速度

假如有一個小球(Reynolds數(shù)非常小)在黏性液體中自由下落或上升(見圖5)，它的速度起初被加速，但是，由于液體的黏性阻力隨速度的增加而增加，小球的速度越來越低最后達到一個速度v，現(xiàn)在的問題是如何確定這個速度？這個問題如果利用流體力學的方程來精確求解，其實是非常困難的，這里使用量綱分析來分析這個問題.

圖5 小球在黏性液體中運動

從物理直覺上，小球運動受到浮力和液體阻力的聯(lián)合作用，顯然這個速度問題與以下幾個物理量有關系，具體是什么關系目前不知道.這些相關物理量是，小球的特征尺度為R(小球不一定必須是圓球！如果是圓球，特征尺度R就是圓球的半徑)，ρs、ρf分別是小球和液體介質的密度，μ是液體的動力黏性系數(shù)，由于是自由落體顯然與重力加速度g有關. 這些參量的量綱列于表7.

表7 小球在黏性液體中運動問題的各參量的量綱

這個問題可以表示成

(33)

從物理上看，下落的速度應當與小球和液體的密度差Δρ=ρs-ρf成比例，這樣上式可以改寫成

(34)

不使用以上方法，直接設速度v可以表達成以下冪指數(shù)的形式

v=CRa(ρs-ρf)bμcgd

(35)

其中C是一個常數(shù).把這些參量的量綱代入這個關系，根據(jù)量綱一致性原理，得到用a表示的其他冪指數(shù)b=(2a-1)/3,c=(1-2a)/3,d=(1+a)/3，所以有關系

(36)

現(xiàn)在的問題是如何確定其中的a?再從物理上考慮，引起小球運動的單位體積浮力是(ρs-ρf)g，所以上式中的(ρs-ρf)必須與g具有相同的冪指數(shù)，即

(37)

可以得到a=2.至此，就得到了小球下落或上升的速度

(38)

對于圓球情況，理論上可以確定C=2/9，這就是著名的Stokes公式.不過與理論推導相比，這里推導的簡單程度簡直難以置信.從這個表達式可以看出，小球下落或上升的速度與小球的面積即R2尺度成正比，與密度差Δρ成正比，特別是小球密度大于液體時小球下落，反過來，小球上升.

物理上，在這個速度，小球運動處于浮力Fg與液體阻力Fd相互平衡即相等的狀態(tài)Fd=Fg(見圖5).

對于小球是完全的球形，這時其浮力Fg根據(jù)阿基米德定律得到

(39)

利用式(38)，浮力的表達式可以改寫成速度的函數(shù)如下

(40)

所以，可以得到小球在黏性液體中運動的阻力為

Fd=6πμRv

(41)

這就是著名的Stokes阻力公式，它是由G.G.Stokes于1851年推導出來.不要看這個公式簡單，但它對許多研究至關重要，據(jù)Dusenbery介紹，這個公式已至少產(chǎn)生3項諾貝爾獎[19].

可能你已經(jīng)注意到，如果我們使用6步法，對于v,Δρ,μ,R,g這5個參量，我們可以得到2個無量綱的Π，即

(42)

根據(jù)π定律，我們可以得到關系Π1=f(Π2)，也可以寫成1/Π1=f(1/Π2)，即

(43)

(44)

這里的關系也可以從物理上進一步理解，浮力Fg是正比于尺度R3，F(xiàn)d阻力是正比于尺度R，所以小球運動速度正比于尺度R2.

7 結語

本文系統(tǒng)介紹了量綱分析方法的基本概念和理論，通過實例展示了量綱分析的強大功能和獲得結果的普適性.從以上的幾個例子可以看到，不用公式就可以得到有關的結果，這往往也會給人產(chǎn)生一個錯誤的感覺，就是量綱分析和應用好像非常容易，但實際應用的時候又覺得無從下手，好像是一門“藝術”.

為了可以更好地使用量綱分析方法，特別提醒讀者注意以下幾點：

(1) 不用公式但需要對問題有深刻的理解：使用量綱分析方法的核心是取決于你對于所研究問題的物理過程的理解深度，理解越深參量選擇越準確，越能得到有價值的結果；

(2) 需要與其他方法結合：量綱分析只能給出問題的普適結果，不能完全確定其中的全部關系，需要結合其他方法(實驗、理論分析或數(shù)值計算)進一步確定其中的系數(shù)；

(3) 對結果要進行物理分析：對于量綱分析得出的結果，一定要從物理上進行分析，以期可以進一步簡化.

應當指出，量綱分析方法可以應用到各種各樣的科學問題，有關在其他方面的應用，請參考文獻[20-23].

致謝： 感謝清華大學教授陳難先院士把我推薦給《物理與工程》，感謝王青主編的約稿邀請，以及編輯部主任錢颯颯對我準備論文時的協(xié)助.

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DIMENSIONAL ANALYSIS AND APPLICATIONS

Sun Bohua

(Department of Mechanical Engineering, Cape Peninsula University of Technology, Bellville 7535, Cape Town, South Africa)

The paper gives a systematical introduction on dimensional analysis(DA), and proposes a six-steps on how to use the dimensional analysis, the universality of the DA will be shown by some typical examples, such as, point blast, pipe flow and a small sphere moving through a viscous fluid.

dimension;πtheorem; similarity

2016-09-15

孫博華. 量綱分析以及應用[J]. 物理與工程，2016，26(6)：11-20.

孫博華，1963年出生于徐州銅山，現(xiàn)任南非開普半島技術大學教授，南非科學院院士. 1983年獲長安大學(前西安公路學院)工程力學學士學位，1986年獲西安建筑科技大學(前西安冶金建筑學院)結構力學碩士學位，1989年獲蘭州大學力學理學博士學位，曾于1989-1993年在清華大學、荷蘭Delft(代爾夫特)大學、德國Ruhr(魯爾)大學(洪堡AvH學者)和南非開普敦大學做博士后研究工作.1986年在西安冶金建筑學院任助教，1995年至今在南非開普半島科技大學工作并曾擔任研究員、講師、教授、Senate(校務委員)，2002年12月至2008年1月協(xié)助暨南大學校長劉人懷院士創(chuàng)辦中國第一家全英授課國際學院并擔任首任院長.孫博華教授長期從事力學和力學技術及其應用數(shù)學方面的研究，在殼體理論、智能結構、MEMS光導和波導陀螺、湍流和非協(xié)調變形場等方面做出過系統(tǒng)研究，曾編寫《Toroidal Shells(英文)》和《量綱分析與Lie群》等6部專著，目前的主要研究興趣是連續(xù)介質力學、張量與微分形，并關注量子引力問題. 2010年入選年度海外華人十大新聞人物. 2016年9月起擔任西安建筑科技大學第三屆校董會副主席.E-mail:sunb@cput.ac.za