陳奎孚 陳 雷 蔡 春

(1中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083； 2北京聯(lián)合大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院，北京 100191)

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能量法分析重力和點(diǎn)電荷雙場(chǎng)聯(lián)合作用下的微幅擺動(dòng)

陳奎孚1陳 雷1蔡 春2

(1中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083；2北京聯(lián)合大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院，北京 100191)

單擺是經(jīng)典的教學(xué)案例.為了豐富教學(xué)材料，文章分析了點(diǎn)電荷場(chǎng)和重力場(chǎng)聯(lián)合作用下的擺動(dòng).采用了適合于單自由度的自然坐標(biāo)系描述系統(tǒng)，使用了適合于復(fù)雜力學(xué)的能量法建立動(dòng)力學(xué)方程.針對(duì)固定點(diǎn)電荷處于擺懸掛點(diǎn)垂線的特殊情形，通過理論分析界定了擺球最低、倒立和傾斜等平衡位置的參數(shù)范圍.

擺；點(diǎn)電荷；振動(dòng)；能量法；自然坐標(biāo)系

單擺在中學(xué)物理和大學(xué)物理中都是一個(gè)典型物理教學(xué)案例[1].最簡(jiǎn)單的模型是沒有重量且沒有彈性的細(xì)繩懸掛大小不計(jì)的擺球在重力場(chǎng)中微幅擺動(dòng).為了豐富教學(xué)內(nèi)容和增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，很多教學(xué)材料又對(duì)最簡(jiǎn)單的模型進(jìn)行了拓展，如加速懸掛點(diǎn)、放置斜面、增加均勻電場(chǎng)力等.很多拓展模型的求解只需對(duì)基本模型的解進(jìn)行簡(jiǎn)單修正就可以了，這是因?yàn)樵谶@些例題中，拓展的作用僅相當(dāng)于增加了一個(gè)均勻的力場(chǎng).

點(diǎn)電荷場(chǎng)是物理教學(xué)的基本內(nèi)容，但是由于場(chǎng)強(qiáng)的不均勻性，將它與重力場(chǎng)聯(lián)合作用于擺所引起的物理現(xiàn)象就復(fù)雜了，僅就其平衡位置而言，除了常規(guī)的擺球最低情形外，還有倒立和傾斜等情形.文獻(xiàn)[2]僅就擺球最低這一常規(guī)平衡位置情形進(jìn)行了詳盡的研究，本文則利用能量法[3]進(jìn)行更為一般的討論，并就固定點(diǎn)電荷處于擺懸掛點(diǎn)垂線上的特例，給出所有穩(wěn)定平衡位置的參數(shù)取值范圍.

1 能量法[3]

擺的自由度只有一個(gè)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是已知的，所以可選擇沿質(zhì)點(diǎn)軌跡的弧坐標(biāo)s為廣義坐標(biāo).相應(yīng)地，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能Ek可簡(jiǎn)潔地表示為

圖1 兩個(gè)點(diǎn)電荷相互作用的勢(shì)能分析

(1)

記系統(tǒng)勢(shì)能為Ep，它等于各勢(shì)能的代數(shù)累加.勢(shì)能是位置的函數(shù)，質(zhì)點(diǎn)的位置由其弧坐標(biāo)s唯一確定,所以Ep是s的函數(shù)Ep(s).

對(duì)無阻尼情形，動(dòng)能與勢(shì)能之和總能量E守恒，即不隨時(shí)間而變.數(shù)學(xué)語言表示為

(2)

兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有

(3)

假定系統(tǒng)能夠發(fā)生微幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)，記系統(tǒng)平衡位置s=sb.對(duì)于微幅振動(dòng)，可把Ep(s)展開成s-sb的泰勒級(jí)數(shù)，即

(4)

代入式(3)得到

(5)

(6)

如果在分析一開始就找到平衡位置，并且設(shè)平衡位置的sb=0，則式(6)變成如下簡(jiǎn)潔的形式

(7)

式(6)為線性微幅振動(dòng)微分方程.對(duì)應(yīng)物理系統(tǒng)的固有頻率為

(8)

或振動(dòng)固有周期為

(9)

從式(6)(或式(8))可以看出，線性微幅振動(dòng)分析的關(guān)鍵是找到E″p(sb).與彈簧振子的微分方程相比，式(7)的E″p(0)相當(dāng)于彈簧的勁度系數(shù).穩(wěn)定平衡則要求E″p(sb)>0;而E″p(sb)<0則為不穩(wěn)定平衡(系統(tǒng)無法發(fā)生“圍繞”不穩(wěn)定平衡位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng));E″p(sb)=0為臨界情形，系統(tǒng)能否發(fā)生圍繞s=sb振動(dòng)，需要檢查更高級(jí)導(dǎo)數(shù)的正負(fù).

2 兩個(gè)點(diǎn)電荷相互作用的勢(shì)能分析

運(yùn)用式(6)的關(guān)鍵是寫系統(tǒng)勢(shì)能，先看圖1(a)所示兩個(gè)點(diǎn)電荷相互作用的勢(shì)能，圖中O處點(diǎn)電荷固定(Q)，移動(dòng)點(diǎn)電荷q沿軌跡運(yùn)動(dòng).選擇O′為零勢(shì)能點(diǎn),則電荷A的電勢(shì)能為

(10)

式中,k=9×109N·m2/C2為靜電力常量.將Ee(s)對(duì)s求導(dǎo)有

(11)

(12)

(13)

將式(13)代入式(12)得到

(14)

將式(14)代入式(11)得到

(15)

對(duì)式(15)再次求導(dǎo)有

(16)

(17)

從該式解出βA-β=Δθ-Δφ，代入式(17)有

(18)

考察圖1(b)可知，Δssinβ≈BC≈rΔθ，因此式(18)中的

(19)

圖1中的固定電荷和質(zhì)點(diǎn)軌跡的曲率中心在軌跡的同側(cè).對(duì)于二者在曲線兩側(cè)的情形，同樣可證式(19)仍然成立.將式(14)，式(18)，式(19)代入式(16)得到

(20)

3 電荷場(chǎng)與重力場(chǎng)聯(lián)合作用

考查圖2所示的聯(lián)合作用情形.直角坐標(biāo)系原點(diǎn)過單擺的懸掛點(diǎn)H.固定點(diǎn)電荷Q位于 O(a,b).擺長(zhǎng)l, 擺球是質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn),帶有電荷q.自然坐標(biāo)原點(diǎn)取為擺球的最低點(diǎn)，正方向如圖2所示.重力勢(shì)能和電勢(shì)能的零點(diǎn)均選擇自然坐標(biāo)原點(diǎn).

圖2 點(diǎn)電荷場(chǎng)與重力場(chǎng)聯(lián)合作用

重力勢(shì)能為

它對(duì)弧長(zhǎng)的一階和二階導(dǎo)數(shù)分別為

系統(tǒng)的勢(shì)能為

(21)

(22)

其中

(23)

(24)

式(22),式(23)和式(24)看起來很復(fù)雜，但它們只是關(guān)于單變量sb的方程.一旦a,b,l,q,Q給定，就可以通過數(shù)值方法確定出sb.確定出sb后，可用它作新自然坐標(biāo)的原點(diǎn)，就得到式(7)那樣微幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程了.

等效剛度E″p(sb)則為

(25)

固有頻率和簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期分別按式(7)和式(8)確定.

為了便于分析,引入如下無量綱參數(shù)

則式(22)～ (25)可分別寫成

(26)

(27)

(28)

(29)

4 特例考察

本文只考察固定電荷Q位于y軸的特殊情形，相應(yīng)的a=0.式(28)的余弦變成

(30)

代入式(26)得到

(31)

解方程(31)得到平衡位置

(32)

(33)

(34)

4.1 常規(guī)穩(wěn)定平衡

E″p(θb)>0要求

(35)

此時(shí)s=sb=0為穩(wěn)定平衡位置，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)周期為

(36)

若采用與文獻(xiàn)[1]相同的符號(hào)，則式(36)就是該文的式(2).

圖3 平衡位置類型分析

(37)

穩(wěn)定平衡E″p(θb)的要求為

(38)

當(dāng)式(39)得到滿足時(shí)，系統(tǒng)的固有周期為

(39)

若采用與文獻(xiàn)(1)相同的符號(hào)，則式(39)就是該文的式(4).

4.2 倒立穩(wěn)定平衡

(40)

(41)

4.3 傾斜穩(wěn)定平衡

式(33)的右邊必須大于零，所以有μ<0.該條件得到滿足后，從式(34)可解得

(42)

若式(42)的解存在，則正負(fù)各有一個(gè).但是解的存在還要補(bǔ)充其他條件.根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)有

(43)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到

(44)

(45)

穩(wěn)定平衡E″p(θb)的要求為

(46)

相應(yīng)地，式(44)的關(guān)系也就能更進(jìn)一步明確為

(47)

這類穩(wěn)定平衡是靠位于擺懸掛點(diǎn)下方的同性電荷的斥力來維持的.

三類穩(wěn)定平衡的參數(shù)范圍如圖4所示.由圖可知傾斜平衡和常規(guī)平衡是互斥的，即同一組參數(shù)不可能既有常規(guī)平衡，又有傾斜平衡.同樣倒立平衡和傾斜平衡也是互斥的.但是常規(guī)平衡和倒立平衡卻是可以同時(shí)存在的.

圖4 三類穩(wěn)定平衡的參數(shù)范圍

5 微幅振動(dòng)討論

由式(6)只要保證E″p(θb)>0,系統(tǒng)就會(huì)圍繞平衡位置發(fā)生微幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而不管點(diǎn)電荷位于何處，只是當(dāng)點(diǎn)電荷處于擺的懸掛點(diǎn)的垂線上時(shí)，分析過程比較簡(jiǎn)單一點(diǎn)，正如第4節(jié)所述.當(dāng)然點(diǎn)電荷不在擺的懸掛點(diǎn)的垂線上，那么平衡的θb一般不再為零，但是仍然可以通過式(26)～(29)來確定，并且是繞θb的簡(jiǎn)諧振動(dòng).因此對(duì)“點(diǎn)電荷場(chǎng)與重力場(chǎng)疊加時(shí)的方向關(guān)系是帶電單擺保持簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的首要因素”的說法不能茍同.

是不是所有微幅振動(dòng)都是簡(jiǎn)諧的呢？從式(6)來看，這似乎是肯定的，但是E″p(sb)=0則為例外情況，圖5(a)就是這樣的物理模型.圖中振動(dòng)系統(tǒng)位于光滑的水平面，振動(dòng)沿彈簧軸線的垂直方向運(yùn)動(dòng)，過平衡位置彈簧無伸長(zhǎng).這個(gè)模型因E″p(sb)=0，所發(fā)生振動(dòng)即使很微小，也不能用簡(jiǎn)諧振動(dòng)來近似.

圖5 非簡(jiǎn)諧微幅振動(dòng)

式(6)的操作默認(rèn)了勢(shì)能函數(shù)二階可微.但是也有Ep(s)的二階導(dǎo)數(shù)不存在的模型，比如圖5(b)所示的在對(duì)稱光滑V形槽內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，其重力勢(shì)能Ep(s)=|s|sinθ)就沒有二階導(dǎo)數(shù).雖然質(zhì)點(diǎn)可以在V形槽內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，但即使幅度再小，也不符合簡(jiǎn)諧規(guī)律.

6 結(jié)語

本文研究了在重力場(chǎng)和點(diǎn)電荷場(chǎng)共同作用下的擺.由于系統(tǒng)為單自由度系統(tǒng)，擺球的軌跡已知，所以采用了自然法描述系統(tǒng).又因?yàn)樗芯康南到y(tǒng)相對(duì)復(fù)雜，故采用能量法建立振動(dòng)微分方程，

它的操作過程比受力分析法要簡(jiǎn)潔一些.

因?yàn)椴捎玫氖亲匀蛔鴺?biāo)系，所以本文推導(dǎo)了矢徑長(zhǎng)度對(duì)自然坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)和軌跡到矢徑的角度對(duì)自然坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù).這兩個(gè)導(dǎo)數(shù)是進(jìn)行相關(guān)研究的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

針對(duì)點(diǎn)電荷位于擺懸掛點(diǎn)鉛垂線上的情形，經(jīng)由理論分析得出它具有常規(guī)、倒立和傾斜三類穩(wěn)定的平衡位置.給出了3類穩(wěn)定平衡的參數(shù)范圍.

對(duì)微幅振動(dòng)和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的概念進(jìn)行了辨析.

[1] 梁紹榮,劉昌華,盛正華.普通物理學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1999：233-235.

[2] 唐安琪,陳鋼,朱國(guó)斌，等.點(diǎn)電荷場(chǎng)中的重力單擺及簡(jiǎn)諧振動(dòng)[J].物理與工程，2015,25(3):79-83.TangAQ,ChenG,ZhuGB,etal.GravityPendulumandHarmonicVibrationintheFieldofPointCharge[J].PhysicsandEngineering, 2015, 25(3): 79-83.

[3] 陳奎孚.機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)[M].北京:中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2011:29-31.

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ON THE MICRO-AMPLITUDE VIBRATION OF A PENDULUM IN THE SIMULTANEOUS FIELD OF THE GRAVITY AND POINT CHARGE BY THE ENERGY METHOD

Chen Kuifu1Chen Lei1Cai Chun2

(1College of Science, China Agricultural University, Beijing 100083；2College of Arts and Science, Beijing Union University, Beijing 100191)

The simple pendulum is a typical teaching case. To enrich teaching materials, we studied the micro-amplitude pendulum vibration caused by the simultaneous point charge and gravity fields. The system is described by the natural coordinate system, which is apt to the single-degree-of-freedom case investigated here. The dynamics equation is evolved from the energy method, which is more concise than the free-body-diagram method for the complex system in this study. After a general analysis, we focus on a particular case wherein the point charge is at the vertical line passing through the pendulum suspension point. Theoretical analysis indicates that this particular case is characterized with three types of stable balance. The three types are the ordinary, the inverted and the oblique distinguished by the pendulum rope’s inclination. Their parametric domains are delimited.

pendulum; point charge; vibration; energy method; natural coordinate system

2015-09-08；

2016-03-03

北京市屬高等學(xué)校高層次人才引進(jìn)與培養(yǎng)計(jì)劃項(xiàng)目(CIT&TCD201404080)．

陳雷，男，碩士研究生，力學(xué)專業(yè).

蔡春，女，教授，主要從事數(shù)學(xué)科研和教學(xué)工作．caichun@buu．edu．cn

陳奎孚，陳雷,蔡春. 能量法分析重力和點(diǎn)電荷雙場(chǎng)聯(lián)合作用下的微幅擺動(dòng)[J]. 物理與工程，2016，26(6)：25-30.