董焱章 李 鑫 曾紅燕

(汽車動(dòng)力傳動(dòng)與電子控制湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北汽車工業(yè)學(xué)院汽車工程系，湖北 十堰 442002)

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圓柱剛體滾動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析

董焱章 李 鑫 曾紅燕

(汽車動(dòng)力傳動(dòng)與電子控制湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北汽車工業(yè)學(xué)院汽車工程系，湖北 十堰 442002)

剛體滾動(dòng)是理論力學(xué)中常見的問題，其摩擦力的分析一直受到研究者關(guān)注.筆者對(duì)圓柱剛體滾子受到任意集中力作用下的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行了分析，事實(shí)上只要圓柱剛體未離開支撐面，起實(shí)質(zhì)作用的只有平行于支撐面的集中力分量，進(jìn)而得到了相應(yīng)情形下滾子的角加速度和質(zhì)心加速度表達(dá)式，并研究了滾子角加速度和質(zhì)心加速度的極值問題,從而提出了摩擦類型判別函數(shù)式；并對(duì)無摩擦條件下圓柱剛體的滾動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行了探討；最后對(duì)滾子靜止不動(dòng)、原地打滑、純滑動(dòng)等特殊運(yùn)動(dòng)情況作了討論.

圓柱；剛體滾動(dòng)；摩擦力；角加速度；質(zhì)心加速度

Hubei University of Automotive Technology, Shiyan, Hubei 442002)

剛體滾動(dòng)問題分析一直是理論力學(xué)平面運(yùn)動(dòng)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).圓柱剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，存在滑動(dòng)和滾動(dòng)兩種基本的運(yùn)動(dòng)形式，其中摩擦力的分析是關(guān)鍵.摩擦力又分為靜摩擦力和動(dòng)摩擦力.對(duì)于圓柱剛體滾動(dòng)來說，圓柱純滾動(dòng)時(shí)通常受到靜摩擦力的作用，而靜摩擦力的方向往往難以直觀判斷，不少學(xué)者對(duì)其展開了分析[1-7]；圓柱剛體又滾又滑時(shí)所受的摩擦力為滑動(dòng)摩擦力，其方向與接觸點(diǎn)處的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反，此時(shí)不同于純滾動(dòng)時(shí)的靜摩擦力分析[8-11]；此外，研究者還對(duì)摩擦力做功[12-15]、側(cè)向摩擦力[16]、支撐面滾動(dòng)摩阻[17-19]甚至柱面曲率[20]等情形進(jìn)行了探索.在圓柱剛體滾動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析中，主動(dòng)力的大小、方向、作用點(diǎn)都是影響剛體滾動(dòng)狀態(tài)的重要因素，研究者對(duì)此分析相對(duì)較少，本文將從理論力學(xué)基本理論[21]出發(fā)，分別按照純滾動(dòng)和又滾又滑兩種運(yùn)動(dòng)情形，對(duì)圓柱剛體滾子在一般力作用下的動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行系統(tǒng)分析.

1 問題介紹

如圖1所示，初始時(shí)刻一質(zhì)量為m、半徑為r的剛性圓柱靜止于水平地面上，現(xiàn)施加一力F1作用于A點(diǎn)，使其在地面上發(fā)生滾動(dòng)，已知該力方向與水平方向的夾角為θ，且作用點(diǎn)A與圓柱質(zhì)心C點(diǎn)的距離為e，圓柱的回轉(zhuǎn)半徑為ρ，又圓柱與地面間動(dòng)、靜摩擦因數(shù)相等fd=fs=f.試分析圓柱的角加速度α和質(zhì)心加速度aC.

圖1 純滾動(dòng)時(shí)圓柱的受力分析和運(yùn)動(dòng)分析(橫截面圖)

分析圓柱剛體滾動(dòng)的角加速度和質(zhì)心加速度的關(guān)鍵是滾子所受摩擦力方向的判定，下面將按照純滾動(dòng)和又滾又滑兩種運(yùn)動(dòng)情形，系統(tǒng)分析圓柱剛體滾子在任意集中力作用下的動(dòng)力學(xué)問題.

2 圓柱剛體純滾動(dòng)情形的動(dòng)力學(xué)分析

如圖1所示，此時(shí)靜摩擦力Fs方向可任設(shè)(此處不妨設(shè)與F1水平方向分量反向).由剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程可得

(1)

(2)

(3)

若mg小于F1sinθ，則圓柱會(huì)離開地面，而這與其在地面上發(fā)生滾動(dòng)的前提不符，因此圓柱在地面作純滾動(dòng)需保證mg大于F1sinθ，此時(shí)地面對(duì)圓柱有支撐力作用，即FN>0；此時(shí)起實(shí)質(zhì)作用的只有平行于地面的集中力水平分量(F1cosθ).

又純滾動(dòng)存在運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為

(4)

聯(lián)立可得圓柱角加速度為

(5)

相應(yīng)的圓柱質(zhì)心加速度為

(6)

式(6)表明，θ與e為可分離的因變量，分離后α和aC關(guān)于θ為三角函數(shù)，而關(guān)于e是線性函數(shù).由簡單的函數(shù)單調(diào)性分析可知，當(dāng)e=r(F1作用于圓柱最高點(diǎn))且θ=0°(F1水平方向施加)時(shí)α(aC)取最大值(θ=180°時(shí)，取反向最大值)，此時(shí)

(7)

特別地，當(dāng)e=-r(F1作用于B點(diǎn))或θ=90°(F1豎直方向施加)時(shí)，aC=0，α=0，又圓柱初始狀態(tài)靜止，故該條件下圓柱靜止不動(dòng)！

而在e≠-r且θ≠90°時(shí)，α方向均取決于θ：θ<90°時(shí)，α沿順時(shí)針(圖1假設(shè)方向)；θ>90°時(shí)，α沿逆時(shí)針；相應(yīng)的aC方向與集中力水平分量同向.此時(shí)由式(5)結(jié)合式(3)可得靜摩擦力為

(8)

又由|Fs|≤fFN可得圓柱做純滾動(dòng)的摩擦條件

(9)

式中,Ψ(θ,e)為摩擦類型判別函數(shù).

由式(8)可推知：當(dāng)-r0，這與前面Fs假設(shè)方向相一致，此時(shí)上述推論全部成立；當(dāng)ρ2/r

這里需要對(duì)3類特殊情況的動(dòng)力學(xué)分析進(jìn)行討論：

(1)θ=0°(F1水平方向施加)此時(shí)前述結(jié)論式可退化為

(10)

(11)

相應(yīng)的參數(shù)特征與文獻(xiàn)相關(guān)闡述[21]保持一致.

(2)e=0(F1作用于圓柱質(zhì)心)此時(shí)相應(yīng)結(jié)論式可退化為

(12)

(13)

此時(shí)α、aC、Fs均關(guān)于θ為余弦函數(shù).

(3)f=0(地面光滑)此時(shí)剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程退化為

(14)

(15)

進(jìn)而可直接求得

(16)

可知，當(dāng)且僅當(dāng)e=ρ2/r時(shí)，才能滿足圓柱作純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式aC=rα，這恰好是純滾動(dòng)摩擦條件(9)的特例.

3 圓柱剛體又滾又滑情形的動(dòng)力學(xué)分析

圓柱又滾又滑時(shí)受到滑動(dòng)摩擦力，而滑動(dòng)摩擦力是以絕對(duì)值出現(xiàn)在動(dòng)力學(xué)方程中，因此需要分左、右兩種情形預(yù)設(shè)滑動(dòng)摩擦力的方向.

3.1 滑動(dòng)摩擦力方向向左(如圖2所示)

圖2 又滾又滑時(shí)圓柱的受力分析和運(yùn)動(dòng)分析 (滑動(dòng)摩擦力向左)

(17)

同樣地，要使圓柱在地面上又滾又滑，也需保證mg大于F1sinθ，即FN>0；對(duì)于又滾又滑，也存在庫倫定律

Fd=fFN

(20)

聯(lián)立可得，圓柱的角加速度為

(21)

圓柱的質(zhì)心加速度為

(22)

令α=0，得

(23)

令aC=0，得

(24)

(1) 若α=0，aC=0，又圓柱初始狀態(tài)靜止，此時(shí)圓柱靜止不動(dòng)；

(2) 若α≠0，aC=0，此時(shí)圓柱原地打滑，有

(25)

(3) 若α=0，aC≠0，此時(shí)圓柱純滑動(dòng)(平動(dòng))，有

(26)

將式(22)對(duì)θ求一階導(dǎo)，得

(27)

令式(27)等于零，可得，

(28)

又aC關(guān)于θ的三角函數(shù)關(guān)系如圖3所示，可知當(dāng)θ=arctanf時(shí)，aC取正向最大值，有

(29)

圖3 質(zhì)心加速度aC隨θ變化的函數(shù)圖

而當(dāng)θ=π+arctanf時(shí)，aC取反向最大值，有

(30)

類似式(6)的分析，由式(21)可知，α在(0°,r)及(180°,-r)處均取最大值，即

(31)

由前提條件(圓柱受到向左的滑動(dòng)摩擦力)，加之圓柱初始時(shí)刻速度為零，因此地面接觸點(diǎn)B有向右滑動(dòng)的趨勢，如圖4所示，aB=aC+aBC方向向右為

(32)

從而可得圓柱受到向左的滑動(dòng)摩擦力條件為

(33)

動(dòng)摩擦因數(shù)f為非負(fù)值，因此式(33)右邊需要保證為正，即θ≠90°、e≠ρ2/r且當(dāng)0°≤θ<90°時(shí)，-r ≤e <ρ2/r，當(dāng)90°<θ ≤180°時(shí)，ρ2/r

圖4 B點(diǎn)加速度矢量合成圖

同樣地，這里也對(duì)3類特殊情況的動(dòng)力學(xué)分析展開討論：

(1) θ=0°(F1水平方向施加)此時(shí)相應(yīng)地前述結(jié)論式可退化為

(34)

(35)

(2) e=0(F1作用于圓柱質(zhì)心)此時(shí)相應(yīng)地前述結(jié)論式可退化為

(36)

(37)

(3) f=0(地面光滑)此時(shí)剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程退化為

(38)

最后的情形(3)，若e=0，則α=0，aC≠0，即圓柱作純滑動(dòng)(平動(dòng))！

3.2 滑動(dòng)摩擦力方向向右(如圖5所示)

圖5 又滾又滑時(shí)圓柱的受力分析和運(yùn)動(dòng)分析 (滑動(dòng)摩擦力向右)

與滑動(dòng)摩擦力Fd方向向左情形相比，摩擦力方向向右的情形需要對(duì)涉及Fd的平衡方程相應(yīng)項(xiàng)作反號(hào)處理，故情形3.1含有“f”的結(jié)論只需做同樣的反號(hào)處理即可適應(yīng)于情形3.2，此時(shí)，保證圓柱剛體受到向右滑動(dòng)摩擦力的條件為

(39)

4 結(jié)語

初始靜止在地面的圓柱剛體，在任意集中力作用下滾動(dòng)，若已知?jiǎng)傮w所受主動(dòng)力的大小(F1)、方向(θ)、作用點(diǎn)(e)及其自身相關(guān)物理參數(shù)(m、r、ρ)時(shí)，通過比較摩擦因素f與摩擦類型判別函數(shù)Ψ(θ,e)的大小關(guān)系，即可快速判定圓柱所受摩擦力的情形，進(jìn)而確定圓柱剛體滾動(dòng)的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)量(質(zhì)心加速度和角加速度)：

(1) 當(dāng)f≥|Ψ(θ,e)|時(shí)，圓柱作純滾動(dòng)，一般存在靜摩擦力，其方向取決于作用點(diǎn)的位置、圓柱體半徑及慣性矩等因素，但靜摩擦力的存在并不是圓柱作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的必要條件，在光滑地面上，滿足條件(e=ρ2/r)的圓柱剛體依舊可作純滾動(dòng)；

(2) 當(dāng)f<Ψ(θ,e)時(shí)，圓柱作又滾又滑，動(dòng)摩擦力方向與主動(dòng)力的水平分量同向，并得到了圓柱剛體靜止不動(dòng)、原地打滑、純滑動(dòng)等特殊情況的摩擦條件；

(3) 當(dāng)f<-Ψ(θ,e)時(shí)，圓柱作又滾又滑，動(dòng)摩擦力方向與主動(dòng)力的水平分量反向，此時(shí)與情形(2)類似，相應(yīng)的公式中摩擦因數(shù)f反號(hào).

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審稿人意見摘錄：

1. 作者對(duì)圓柱剛體滾子受到任意集中力作用下的運(yùn)動(dòng)分情況進(jìn)行了完整討論，對(duì)該內(nèi)容教學(xué)有一定的意義;

2. 兩個(gè)參量e和θ是可分離因素，而且分離之后對(duì)e是線性函數(shù)，對(duì)θ是三角函數(shù)；這兩者的極值都無需要求導(dǎo)。這樣分析的數(shù)學(xué)成本就低多了，文字也會(huì)簡潔一些;

3. 只要圓柱沒離支撐面，應(yīng)該起作用的是力平行于支撐面的分量在起作用;

4. 其他見批注稿(請(qǐng)仔細(xì)斟酌).

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DYNAMIC ANALYSIS FOR THE ROLLING OF CYLINDRICAL RIGID BODY

Dong Yanzhang Li Xin Zeng Hongyan

(Hubei Key Laboratory of Automotive Power Train and Electronic Control, Department of Automobile Engineering,

Rolling of rigid body is a common problem in theoretical mechanics, and the analysis of friction has attracted researchers. In this paper, a cylindrical rigid roller under an arbitrary concentrated load is analyzed according to different cases. In fact, as long as the cylindrical rigid roller is not away from its support, only the parallel component of the concentrated load plays an essential role. Then the angular acceleration and the acceleration of mass center of the roller are derived, and their extreme value results are obtained. Sequentially the general form of friction discrimination function is proposed. Rolling state of cylindrical rigid body under the frictionless case is also explored. Finally, statics, in-situ slipping, pure sliding and other special movement cases are discussed.

cylinder； rigid body rolling； friction force； angular acceleration； acceleration of mass center

2016-03-16

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金(11502075)，湖北省自然科學(xué)基金(2014CFB629)，湖北汽車工業(yè)學(xué)院博士科研啟動(dòng)基金(BK201501)資助項(xiàng)目.

董焱章，男，講師，主要從事工程力學(xué)、結(jié)構(gòu)與多學(xué)科優(yōu)化、超材料設(shè)計(jì)等方面的研究.dongyz@huat.edu.cn

董焱章，李鑫，曾紅燕. 圓柱剛體滾動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析[J]. 物理與工程，2016，26(6)：34-38.