張 續(xù)， 齊樂華， 舒 揚， 付前剛， 李賀軍

(1.西北工業(yè)大學 機電學院,陜西 西安710072；2.西北工業(yè)大學 材料學院,陜西 西安710072)

含空位缺陷單壁碳納米管斷裂行為的有限元模擬

張 續(xù)1， 齊樂華1， 舒 揚1， 付前剛2， 李賀軍2

(1.西北工業(yè)大學 機電學院,陜西 西安710072；2.西北工業(yè)大學 材料學院,陜西 西安710072)

提出了碳碳鍵的斷裂準則，建立了含空位缺陷碳納米管的有限元模型，基于此斷裂準則采用有限元方法對單壁碳納米管的斷裂行為進行了模擬研究，計算得到了碳納米管的抗拉強度和極限應變，并研究了單原子空位缺陷對碳納米管抗拉強度和極限應變的影響。結果表明理想單壁碳納米管的抗拉強度約為100 GPa，極限應變約為20%。單原子空位缺陷顯著降低了碳納米管的抗拉強度和極限應變，使抗拉強度降低了20%～30%，極限應變降低了12%～18%，這也正是碳納米管極限強度的實驗結果遠低于理論預測結果的原因。

單壁碳納米管； 空位缺陷； 有限元法； 抗拉強度； 極限應變

1 前言

碳納米管作為備受研究人員關注的納米材料，具有優(yōu)異的力學性能，在諸多領域應用潛力巨大?；诿芏确汉碚?DFT)[1-3]、分子動力學方法(MD)[2, 4]以及分子力學方法(MM)[5,6]理論計算表明，碳納米管的抗拉強度為85～220 GPa，顯著高于Yu等[7]的實驗結果(11～63 GPa)，這可能是由于實際制備的碳納米管中存在的缺陷所造成的[5]。

目前，實驗手段尚不能觀測到碳納米管的斷裂過程，因此采用數(shù)值模的方法對碳納米管斷裂行為進行研究是一種有效的手段[8]。采用量子力學方法[3]、分子動力學方法[4]以及分子力學方法[5]對含缺陷碳納米管研究表明：空位缺陷使得碳納米管的抗拉強度下降20%～40%，極限應變下降10%～50%。然而上述方法都未對碳碳鍵的斷裂進行定量描述。本文采用Morse勢函數(shù)描述碳碳鍵的拉伸作用，通過分析其力-位移曲線的特性，提出了描述碳碳鍵斷裂的數(shù)學公式，建立了含空位缺陷單壁碳納米管的有限元模型，采用有限元方法對碳納米管的斷裂行為進行了模擬研究，為深入研究碳納米管的斷裂性質奠定了基礎。

2 建模方法及分析

2.1 碳納米管數(shù)學模型

碳納米管分子結構的基本構成單元為碳原子形成的六邊形網(wǎng)格結構(圖1)。

圖 1 碳納米管結構的有限元模型Fig. 1 FEM model of a SWCNT.

將碳碳鍵看做是承載梁單元，碳原子看做是梁單元的節(jié)點，由此可以采用梁單元建立整個碳納米管結構。其中梁單元的長度等于碳碳鍵長度ac-c(ac-c=0.142 nm[8])，梁單元的直徑d等于碳碳鍵直徑d0。以下是梁單元各項材料參數(shù)的確定。

由分子力學方法的原理知，化學鍵伸縮能Ur、化學鍵彎曲能Uθ、圍繞單鍵的扭轉能Uτ可以采用簡單的諧和勢函數(shù)表示[9]：

(1)

(2)

(3)

式中,kr、kθ和kτ分別表示化學鍵拉伸常數(shù)、化學鍵彎曲常數(shù)和化學鍵扭轉常數(shù)[9]，Δr、Δθ和Δφ分別表示化學鍵拉伸增量、鍵角轉動增量和鍵扭轉增量。

由經(jīng)典結構力學理論，長度為L的均勻梁在純軸向拉力N、純彎矩M、純扭矩T作用下的應變能分別表示為：

(4)

(5)

(6)

式中,E、G分別為梁單元彈性模量和剪切模量；I、J分別為截面慣性矩和截面極慣性矩；ΔL、Δα、Δβ分別表示梁軸向拉伸變形量、梁端點的轉角、梁端點的扭轉角；A為橫截面積。

由式(1)～式(6)可以得到如下的表達式：

(7)

由式(7)可以得到以下關系式：

(8)

將kr、kθ和kτ的值[8]帶入式(8)便可以得到梁單元的各項參數(shù)：d=0.1466 nm，E=5.12 TPa，G=0.87 TPa。

2.2 碳碳鍵斷裂準則

碳納米管的斷裂本質上是碳碳鍵的斷裂[5]，因此研究碳納米管的斷裂行為，關鍵在于描述碳碳鍵的斷裂機制。由Morse勢函數(shù)[10]表達的化學鍵拉伸作用如下：

(9)

式中De、β為碳碳鍵的常數(shù)[11]，De=6.030 1510-19N·m，β=2.6251010m-1，r0=0.142 nm為變形前碳碳鍵鍵長，r為變形后碳碳鍵鍵長。將式(9)中碳碳鍵位移(r-r0)記作Δr，等式兩邊同時對Δr微分得碳碳鍵力-位移關系表達式：

(10)

由式(10)得到的碳碳鍵拉伸作用下力-位移曲線如圖2所示。可以發(fā)現(xiàn)碳碳鍵的拉伸曲線表現(xiàn)出脆性材料的特性，即只有彈性階段和斷裂階段：在力F達到最大值A點之前，力與位移成正比例關系，對應彈性階段；在A點之后，力隨位移增大迅速減小，而后逐漸消失，對應斷裂階段。對比脆性材料的特性，文中假設碳碳鍵在A點發(fā)生斷裂失效，并將模擬加載過程中對梁單元的斷裂準則定義為：一旦梁單元內某一點處的最大伸長線應變ε1達到簡單拉伸時的破壞伸長應變εu時，梁單元便發(fā)生斷裂失效，用公式表示為：

ε1=εu

(11)

圖2中A點對應碳碳鍵應變?yōu)?8.3%，故式中梁單元的破壞伸長應變εu=18.3%。

圖 2 碳碳鍵拉伸作用下力-位移曲線Fig. 2 Force-displacement curve of C—C bond under axial force.

2.3 碳納米管有限元分析中空位缺陷的實現(xiàn)

原子空位缺陷是碳納米管中最常見的一種缺陷，是由于晶格原子的缺失形成的[12]。碳納米管在制備、純化或其他實驗過程中都可能會引入空位缺陷[13,14]。文中僅考慮單原子空位缺陷對碳納米管性質的影響。空位缺陷的處理方式為：在模擬加載前，將與缺失碳原子相連的三個碳碳鍵的剛度矩陣乘以一個很小的因子(默認為10-6)，因而其單元載荷可視為0，從而不對整個碳納米管結構的載荷向量生效。圖3是本文建立的含單原子空位缺陷單壁碳納米管模型。模擬時，將碳納米管一端原子固定，另一端原子施加軸向載荷。

圖 3 含單原子空位缺陷碳納米管模型 (a) (20, 0)鋸齒型單壁碳納米管; (b) (12, 12)扶手椅型單壁碳納米管Fig. 3 Models of SWCNTs with single atom vacancy: (a) (20, 0)Zigzag SWCNT and (b) (12, 12)Armchair SWCNT.

3 計算結果與分析

在模擬加載過程中，將碳納米管完全斷裂之時的應力和應變分別稱為碳納米管的抗拉強度(σb)和極限應變(εb)，即：

(12)

式中,F為碳納米管軸向力，dc為碳納米管直徑，h為碳納米管厚度(此處取0.34 nm[15])，L0為碳納米管變形前長度，Ld為碳納米管變形后長度。表1為本文采用有限元方法與其他方法模擬結果的對比。從表1的數(shù)據(jù)中可以看出，本文采用的有限元方法得到的數(shù)據(jù)和文獻[3,6,11]中各種方法模擬得到的數(shù)據(jù)誤差在0.9%～18%之間，其差異是由于不同模擬方法所采用的數(shù)學模型不同而造成的。

表 1 本文有限元方法與其它方法模擬結果對比Table 1 The simulation results by FEM and other simulation methods.

表2為采用本文方法計算的鋸齒型和扶手椅型單壁碳納米管的抗拉強度和極限應變。從表2可以看出：理想鋸齒型碳納米管抗拉強度在93 GPa左右、極限應變在22%左右；理想扶手椅型碳納米管抗拉強度在110 GPa左右、極限應變在21%左右。單原子空位缺陷使鋸齒型碳納米管的抗拉強度和極限應變分別下降了30%和18%；使扶手椅型單壁碳納米管的抗拉強度和極限應變分別下降了20%和12%。由此表明：在相同尺寸下，扶手椅型碳納米管的抗拉強度略大于鋸齒型碳納米管的抗拉強度；單原子空位缺陷對鋸齒型碳納米管的抗拉強度和極限應影響更大。由于石墨烯在小變形下表現(xiàn)出各向同性性質，而在大變形下則表現(xiàn)出各向異性性質。單壁碳納米管可以看做是由石墨烯卷曲而成，在大變形情況下其強度呈現(xiàn)各向異性性質，因此，缺陷對不同手性碳納米管強度的影響程度有所差異[5]。

從圖4可以看出：在應變大于10%以后，隨著碳納米管中應變的增大，手性對碳納米管中應力的影響也逐漸變大。另外，對比圖4中同一碳納米管在含空位缺陷和不含缺陷時的應力-應變曲線可以看出，單原子空位缺陷極大地降低了碳納米管的抗拉強度和極限應變，對其彈性模量影響甚小，這與文獻[5]得出的結論相一致。

表 2 單壁碳納米管抗拉強度和極限應變Tabel 2 Tensile strength and ultimate strain of SWCNTs.

Note： Defect style： 0: Perfect； 1: Single atomic vacancy.

圖 4 單壁碳納米管應力-應變曲線Fig. 4 Stress-strain curves of SWCNTs.

4 結論

理想單壁碳納米管抗拉強度在100 GPa左右，極限應變在20%左右；單原子空位缺陷使單壁碳納米管的抗拉強度下降了20%～30%、極限應變下降了12%～18%?？瘴蝗毕輰μ技{米管抗拉強度和極限應變影響較大，對彈性模量影響較小。隨著碳納米管中應變的增大，手性對碳納米管抗拉強度和極限應變的影響變大。

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Simulation of the fracture behavior of single-walled carbon nanotubes with a single atom vacancy by the finite element method

ZHANG Xu1, QI Le-hua1, SHU Yang1, FU Qian-gang2, LI He-jun2

(1.SchoolofMechanicalandElectricalEngineering,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China;2.SchoolofMaterialsScienceandEngineering,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China)

A finite element model of single-walled carbon nanotubes (SWCNTs) was established using ANSYS parametric design language, by which their fracture behavior was simulated on the platform of ANSYS using the criterion of the fracture of a carbon-carbon bond based on the Morse potential. The influence of a single atomic vacancy on the tensile strength and ultimate strain of SWCNTs was investigated. Results showed that the tensile strength and ultimate strain of perfect SWCNTs are about 120 GPa and 22%, respectively. Values for SWCNTs with the single vacancy are 20-30% and 12-18% less than those of the perfect ones. This is why the experimental tensile strengths of SWCNTs are far less than the theoretical predicted values. In addition, the tensile strengths of SWCNTs are anisotropic at large deformations, which agrees well with the simulation results obtained using molecular mechanics.

Single-walled carbon nanotubes; Finite element method; Vacancy; Tensile strength; Ultimate strain.

QI Le-hua, Ph. D, Professor. E-mail: qilehua@nwpu.edu.cn.

1007-8827(2016)06-0646-05

TB332

A

2016-07-20；

2016-12-06

國家自然科學基金(51275417,51221001).

齊樂華，博士，教授.E-mail： qilehua@nwpu.end.cn

張 續(xù)，碩士研究生.E-mail： zhangxu7513@163.com

FoundationItems: National Natural Science Foundation of China (51275417, 51221001).

Authorintroduction: ZHANG Xu, Master Student. E-mail: zhangxu7513@163.com.