王春華●

江蘇省泰州市姜堰區(qū)羅塘高級中學(xué)(225500)

合情推理在三角函數(shù)解題中的應(yīng)用研究

王春華●

江蘇省泰州市姜堰區(qū)羅塘高級中學(xué)(225500)

為加強(qiáng)高中生的三角函數(shù)解題能力的培養(yǎng)，本文對合情推理在三角函數(shù)解題中的應(yīng)用問題展開了研究，具體探討了歸納推理、類比推理和特殊化推理幾種合情推理方法的應(yīng)用問題.

合情推理；高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)解題；應(yīng)用

作為重要的數(shù)學(xué)解題工具，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)對高中生至關(guān)重要.但就實際情況而言，高中生大多對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)缺乏信息，無法較好地應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)和公式解題.而在三角函數(shù)解題中應(yīng)用合情推理，則能夠幫助學(xué)生完成三角函數(shù)中的變量關(guān)系的主動探究，從而更好地完成三角函數(shù)公式的記憶和運(yùn)用.

一、歸納推理在三角函數(shù)解題中的應(yīng)用

所謂的歸納總結(jié)推理方式，其實就是結(jié)合實例對三角函數(shù)中的自變量和因變量的關(guān)系進(jìn)行理解，從而幫助學(xué)生順利完成函數(shù)表達(dá)式的推導(dǎo)和理解.采取該種方式，能夠使學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實函數(shù)問題中的各個變量間的關(guān)系，從而完成函數(shù)的歸納.

例1f(x)在R上為奇函數(shù)，滿足f(a-x)=f(x)，證明f(x)為周期函數(shù)，并且周期為2a.

證明 ∵f(a+x)=f[a-(-x)]=f(-x)=-f(x),

∴f(2a+x)=-f(a+x)=f(x).

由誘導(dǎo)公式可知，若奇函數(shù)y=sinx滿足sin(π-x)=sinx，則y=sinx為周期函數(shù)，周期為2π.

通過解答例題，則能夠幫助學(xué)生理解誘導(dǎo)公式是如何推導(dǎo)出來的.進(jìn)一步證明函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，滿足f(a-x)=f(x)，則f(x)為周期函數(shù)，并且周期為2a.進(jìn)而能夠通過歸納掌握“奇變偶不變，符號看象限”這一基本的三角函數(shù)規(guī)律.

二、類比推理在三角函數(shù)解題中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中，將接觸到正弦函數(shù)、正切函數(shù)、余弦函數(shù)和余切函數(shù)這四個主要函數(shù).通過類比分析，則可以發(fā)現(xiàn)這四個函數(shù)都有奇偶性、周期性和對稱性等函數(shù)特性.在類比推理的過程中，不僅能夠掌握不同三角函數(shù)的相同點，還能夠?qū)崿F(xiàn)不同函數(shù)的區(qū)分，從而避免在三角函數(shù)解題中出現(xiàn)錯誤.

例2 函數(shù)f(x)在R上的圖象如果分別關(guān)于直線x=a和x=b對稱，且a>b，則g(x)為周期函數(shù)，并且周期為T=2(a-b).

分析 正弦函數(shù)y=sinx的特性可以發(fā)現(xiàn)，sinx為周期函數(shù)，圖象為軸對稱圖形.在函數(shù)y=sinx的對稱軸上，若存在x=π/2和x=-π/2兩條直線，則函數(shù)周期為T=2[π/2-(-π/2)].通過對三角函數(shù)圖象性質(zhì)進(jìn)行類比推理，則可以完成例題的求解.

證明 由題可知，f(x)=f(2a-x)，f(x)=f(2b-x)，

∴f[x+2(a-b)]=f[2a-(2b-x)]=f(2b-x)=f(x).

∴2(a-b)為f(x)的一個周期.

例3 函數(shù)f(x)和g(x)在R上不恒為0，并且滿足f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)和f(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)，則函數(shù)f(x)和g(x)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù).

在求解該問題時，可以利用三角函數(shù)進(jìn)行類比推理，從而利用三角函數(shù)解題.因為，正弦函數(shù)y=sinx滿足sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx和sin(x-y)=sinxcosy-sinycosx，并且sinx為奇函數(shù)，cosx為偶函數(shù).

證明 ∵f(0-0)=f(0)g(0)-f(0)g(0),

∴f(0)=0.

∴f(x+0)=f(x)g(0)-f(0)g(x)=f(x)g(0),

且f(0-x)=f(0)g(x)-f(x)g(0)=-f(x)g(0),

可得f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).

∵f(x+(-x))=f(x)g(-x)+f(-x)g(x)

=f(x)[g(-x)-g(x)]=0,且f(x)不恒為零，

∴g(-x)=g(x)，所以g(x)為偶函數(shù).

三、特殊化推理在三角函數(shù)解題中的應(yīng)用

在學(xué)生難以理解三角函數(shù)表達(dá)形式的情況下，教師可以結(jié)合特殊例子幫助學(xué)生通過特殊化推理研究函數(shù)性質(zhì).在推導(dǎo)一些三角函數(shù)性質(zhì)時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生取特殊角，從而幫助學(xué)生更好地掌握這部分內(nèi)容.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何運(yùn)用三角函數(shù)解題一直是困擾高中生的問題.為幫助學(xué)生更好地掌握和運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)，教師還要應(yīng)用合情推理的方法幫助學(xué)生理解具體的函數(shù)知識，并且掌握函數(shù)中的各個變量的關(guān)系，從而更好地進(jìn)行三角函數(shù)解題.

[1]黃春雷.類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J].成功(教育),2013,20:72.

[2]殷瑞鑫.合情推理在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的應(yīng)用研究[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)(教師通訊),2015,24:78.

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