龐哲楠， 張國(guó)良， 羊 帆,2， 吳 戈， 陳志侃

(1. 第二炮兵工程大學(xué)，西安 710025； 2. 寶雞市高新技術(shù)研究所，寶雞 721000)

基于奇異攝動(dòng)法的FFFSR全局滑模跟蹤控制及ESO振動(dòng)抑制

龐哲楠1， 張國(guó)良1， 羊 帆1,2， 吳 戈1， 陳志侃1

(1. 第二炮兵工程大學(xué)，西安 710025； 2. 寶雞市高新技術(shù)研究所，寶雞 721000)

針對(duì)存在參數(shù)不確定性和有界干擾的情況，討論了自由漂浮柔性空間機(jī)器人(FFFSR)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制與柔性振動(dòng)主動(dòng)抑制的問題。利用奇異攝動(dòng)法將系統(tǒng)分解為關(guān)節(jié)軌跡跟蹤的慢變子系統(tǒng)和描述柔性振動(dòng)的快變子系統(tǒng)，進(jìn)而提出含慢、快變控制項(xiàng)的組合控制器;設(shè)計(jì)一種改進(jìn)的全局滑模函數(shù)，利用低通濾波器抑制滑模抖振，實(shí)現(xiàn)全局魯棒、快速收斂的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤;對(duì)于快變子系統(tǒng)，采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)對(duì)不易測(cè)量的柔性模態(tài)坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)和不確定擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，并結(jié)合LQR方法，對(duì)柔性振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)抑制。數(shù)值仿真表明，該組合控制器可以在有效抑制柔性振動(dòng)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)期望關(guān)節(jié)軌跡的穩(wěn)定跟蹤。

自由漂浮柔性空間機(jī)器人；奇異攝動(dòng)法；全局滑模控制；低通濾波器；擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器；不確定性

由于空間在軌作業(yè)要求機(jī)器人具有質(zhì)量輕、手臂長(zhǎng)和負(fù)載大等特點(diǎn)，將空間機(jī)器人的桿件設(shè)計(jì)為輕質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿件，既可減小發(fā)射質(zhì)量，又可節(jié)約發(fā)射成本。為獲得較好的控制精度和性能，需考慮空間機(jī)器人桿件的柔性[1-3]。在實(shí)際工程應(yīng)用中，柔性空間機(jī)器人必須具備在不確定條件下仍能實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤和柔性振動(dòng)抑制的能力。文獻(xiàn)[4]針對(duì)柔性空間機(jī)器人及參數(shù)不確定動(dòng)力學(xué)模型，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與傳統(tǒng)反饋PI控制相結(jié)合，提出一種混合性機(jī)器人逆模學(xué)習(xí)控制方法。文獻(xiàn)[5]針對(duì)參數(shù)不確定和外部擾動(dòng)的情況，提出一種任務(wù)空間內(nèi)自適應(yīng)控制與反步法結(jié)合的控制器設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的跟蹤控制。文獻(xiàn)[6]提出一種針對(duì)自由漂浮柔性空間機(jī)器人(Free-Floating Flexible Space Robot,FFFSR)模型不確定性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制方法。由于包含振動(dòng)模態(tài)的柔性機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程階數(shù)較高，且柔性桿件的振動(dòng)頻率一般比其關(guān)節(jié)或慣性空間的剛性運(yùn)動(dòng)頻率要高得多。而上述方法將剛性運(yùn)動(dòng)控制方案和柔性振動(dòng)抑制方案在同一時(shí)間尺度上進(jìn)行疊加，勢(shì)必會(huì)影響到剛性運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[7]建立了一類高階柔性機(jī)械臂的奇異攝動(dòng)模型并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。文獻(xiàn)[8]則運(yùn)用奇異攝動(dòng)法建立了基體振動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。上述研究主要將奇異攝動(dòng)法應(yīng)用于柔性地面機(jī)器人，對(duì)于基座與臂桿存在動(dòng)力學(xué)耦合關(guān)系的柔性空間機(jī)器人研究較少。同時(shí)，從節(jié)省控制燃料、增加空間機(jī)器人在軌壽命的角度考慮，對(duì)載體位置和姿態(tài)均不受控的研究非常必要[9-10]。本文采用奇異攝動(dòng)法將FFFSR系統(tǒng)降階分解為兩種時(shí)間尺度的奇異攝動(dòng)模型，避免了在同一時(shí)間尺度下關(guān)節(jié)軌跡跟蹤和柔性振動(dòng)抑制方案簡(jiǎn)單疊加的問題。

全局滑模控制(Global Sliding Mode Control,GSMC)具有對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾的不變性以及全局魯棒性，彌補(bǔ)傳統(tǒng)滑?？刂浦汹吔A段不具有魯棒性的不足[11]。文獻(xiàn)[12]利用全局滑模控制，通過設(shè)計(jì)非線性滑模面對(duì)一類不確定非線性系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)魯棒控制。文獻(xiàn)[13]則針對(duì)存在參數(shù)變化和外部擾動(dòng)的導(dǎo)彈伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)全局滑?？刂破?，并結(jié)合最優(yōu)線性狀態(tài)反饋控制器，使系統(tǒng)具有高精度和強(qiáng)魯棒性的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)不確定性的有效補(bǔ)償。文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)一種指數(shù)函數(shù)形式的全局滑模函數(shù)對(duì)MEMS陀螺儀進(jìn)行跟蹤控制，滑模面雖能快速收斂到零，但在初始階段存在明顯偏差，系統(tǒng)魯棒性無法保證。針對(duì)慢變子系統(tǒng)中存在參數(shù)不確定性和有界干擾的情況，本文提出一種改進(jìn)的全局滑模函數(shù)，將分段多項(xiàng)式函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相結(jié)合，加快跟蹤速度，實(shí)現(xiàn)全局魯棒的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤。為抑制滑模控制策略所產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象，常用方法有趨近率法[15]、干擾觀測(cè)器法[16]和動(dòng)態(tài)滑模法[17]等。本文采用濾波法[18]，即在滑?？刂破鬏敵龆思尤氲屯V波器，可消除未建模動(dòng)態(tài)造成的抖振，且設(shè)計(jì)簡(jiǎn)便，易于實(shí)現(xiàn)。平滑的控制力矩也保證了慢變子系統(tǒng)在跟蹤期望軌跡的同時(shí)，盡可能減小對(duì)柔性振動(dòng)的影響。

文獻(xiàn)[19]針對(duì)3-PRR并聯(lián)柔性機(jī)械臂的軌跡跟蹤與振動(dòng)抑制問題進(jìn)行研究，采用應(yīng)變率反饋(Strain Rate Feedback,SRF)控制有效地制了柔性振動(dòng)。文獻(xiàn)[20]采用線性觀測(cè)器對(duì)柔性模態(tài)進(jìn)行估計(jì)，并結(jié)合LQR(Linear Quadratic Regulator)方法，對(duì)柔性振動(dòng)進(jìn)行抑制。上述方案雖能抑制柔性振動(dòng)，但均未考慮柔性振動(dòng)的外界擾動(dòng)，不符合工程實(shí)際，會(huì)對(duì)精確控制帶來誤差。擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(Extended State Observer, ESO)可將系統(tǒng)包含的非線性動(dòng)態(tài)、系統(tǒng)不確定性以及外部干擾等當(dāng)作可觀測(cè)的擴(kuò)張狀態(tài)，無需具體的擾動(dòng)模型，是一種通用的擾動(dòng)觀測(cè)器。本文在描述系統(tǒng)柔性振動(dòng)的快變子系統(tǒng)中采用ESO對(duì)不易測(cè)量的柔性模態(tài)坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)和不確定擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，并結(jié)合最優(yōu)控制理論，對(duì)柔性振動(dòng)進(jìn)行抑制。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)證明所設(shè)計(jì)的組合控制器具有全局魯棒、快速收斂和零穩(wěn)態(tài)誤差等優(yōu)點(diǎn)。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

不失一般性，考慮做平面運(yùn)動(dòng)的FFFSR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)見圖1[21]。設(shè)系統(tǒng)由自由漂浮的載體B0、剛性桿B1和柔性桿B2組成。建立各分體的主軸連體坐標(biāo)系(Oi-xiyi)，其中O0與B0的質(zhì)心OC0重合，O1為連接B1與B0的轉(zhuǎn)動(dòng)中心，x0為桿B1的對(duì)稱軸。同時(shí)在O2建立坐標(biāo)系(O2-x2y2)，x2與未變形前的軸線一致。設(shè)O1在x0軸上與O0的距離為a0，B1的質(zhì)心OC1與O1在x1軸上的距離為a1，Bi(i=1,2)的長(zhǎng)度為l1，w(x2,t)為B2在t時(shí)刻x2(0≤x2≤l2)點(diǎn)處的橫向彈性形變。Bi(i=0,1)的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為mi，Ii(i=0,1)柔性桿B2的均勻質(zhì)量密度和彎曲剛度分別為ρ和EI。Oc為系統(tǒng)的總質(zhì)心，M=m0+m1+ρl2為系統(tǒng)的總質(zhì)量。

圖1 FFFSR系統(tǒng)

建立平動(dòng)的慣性坐標(biāo)系(O-xy)，設(shè)各分體在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。θ0、θ1和θ2分別表示系統(tǒng)載體姿態(tài)及機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)的相對(duì)轉(zhuǎn)角。質(zhì)心OCi(i=0,1)相對(duì)于慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)O的矢徑為ri，r2為B2上坐標(biāo)x2(0≤x2≤l2)點(diǎn)處的矢徑。

由于柔性桿B2在運(yùn)動(dòng)過程中必然會(huì)發(fā)生形變，考慮到B2的長(zhǎng)度比其截面半徑大的多，故可忽略其軸向形變和剪切形變的影響，僅考慮其彎曲形變，可將其視為EULER-BERNOULLI梁處理。由彈性振動(dòng)理論可知，柔性桿B2的彈性形變w(x2,t)可用如下的截?cái)嗄B(tài)方程描述：

(1)

式中：φi(x2)(i=1,2,…,n)為柔性桿第i階的模態(tài)函數(shù)，ηi(t)為φi(x2)對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)，n為截?cái)囗?xiàng)數(shù)。由于低階模態(tài)對(duì)柔性桿振動(dòng)幅值影響較大，在盡可能不影響精度的情況下簡(jiǎn)化計(jì)算，采用二階截?cái)嗄B(tài)，即取n=2進(jìn)行分析。

綜合考慮系統(tǒng)的基座和剛性桿件動(dòng)能Ti(i=0,1)以及柔性桿件動(dòng)能T2，系統(tǒng)總動(dòng)能為：

(2)

系統(tǒng)的彈性勢(shì)能V，即柔性桿的彈性勢(shì)能為：

(3)

式中：w″(x2,t)為w(x2,t)關(guān)于x2的二階偏導(dǎo)數(shù)。

忽略微重力梯度，由拉格朗日第二類方程和動(dòng)量守恒原理可得到，基座位置、姿態(tài)均不受控的自由漂浮柔性空間機(jī)器人欠驅(qū)動(dòng)形式的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：

(4)

2 奇異攝動(dòng)分解

本節(jié)利用奇異攝動(dòng)法，將FFFSR系統(tǒng)降階分解為兩種時(shí)間尺度下的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制慢變子系統(tǒng)和柔性振動(dòng)抑制快變子系統(tǒng)。

將式(4)寫成分塊矩陣形式：

(5)

(6)

(7a)

(7b)

由于系統(tǒng)主要的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制輸入τ使得機(jī)械臂關(guān)節(jié)能準(zhǔn)確地追蹤期望軌跡并使部分解耦系統(tǒng)(式(7b))的振動(dòng)得到抑制，因此該控制輸入τ可分解為兩個(gè)部分：

τ=τs(θ)+τf(η)

(8)

式中：τs(θ)為慢變控制部分;τf(η)為快變控制部分。由式(7a)和式(7b)知，關(guān)節(jié)軌跡跟蹤和柔性振動(dòng)抑制僅通過控制輸入τ耦合。一般來說，適當(dāng)?shù)剡x擇控制輸入τ可以達(dá)到關(guān)節(jié)跟蹤期望軌跡的預(yù)期控制效果，然而僅通過期望軌跡來選擇控制輸入并不能保證耦合振動(dòng)模態(tài)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定。故選擇奇異攝動(dòng)法來同時(shí)實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤和柔性振動(dòng)抑制。

令ε=0，并代入式(7b)可得：

(9)

式中:帶下標(biāo)S的向量表示其處于慢變子系統(tǒng)中。

將式(9)代入式(7(a))，可得如下形式的柔性空間機(jī)器人慢變子系統(tǒng)表達(dá)式：

(10)

(11)

引入新的時(shí)間尺度σ=t/ε，令ε=0，可得到快變子系統(tǒng)為：

(12)

3 組合控制器設(shè)計(jì)

組合控制器的設(shè)計(jì)目的是得到平滑控制力矩τs使關(guān)節(jié)鉸能穩(wěn)定跟蹤期望軌跡，同時(shí)獲得能有效抑制柔性振動(dòng)的控制力矩τf。由于使用兩種時(shí)間尺度，慢、快變子系統(tǒng)的控制力矩τs和τf可在不同的時(shí)間尺度內(nèi)分別進(jìn)行設(shè)計(jì)，最終得到同時(shí)使關(guān)節(jié)穩(wěn)定追蹤期望軌跡并能有效抑制柔性振動(dòng)的控制輸入力矩τ。控制系統(tǒng)的整體框圖見圖2。

圖2 控制系統(tǒng)整體框圖

3.1 慢變子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

為使全局滑?？刂破鬏敵龅目刂屏乇M可能平滑，抑制滑?？刂撇呗运a(chǎn)生的抖振現(xiàn)象，在滑?？刂破鬏敵龆思尤氲屯V波器(Low-Pass Filter,LPF)，將LPF與系統(tǒng)結(jié)合構(gòu)造虛擬平臺(tái)，設(shè)計(jì)虛擬滑?？刂坡蓇，見圖3。

圖3 虛擬控制系統(tǒng)框圖

虛擬控制信號(hào)u在切換函數(shù)的影響下，存在抖振現(xiàn)象，但經(jīng)LPF將高頻抖振控制信號(hào)有效濾除后，輸出的實(shí)際控制信號(hào)τ是連續(xù)光滑的。實(shí)際慢變子系統(tǒng)控制器見圖4。

圖4 實(shí)際控制系統(tǒng)框圖

采用如下的LPF形式：

(13)

式中：λi>0。由圖4可得：

(14)

式中：Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),λi>0,i=1,2,…,n。

考慮系統(tǒng)不確定性，自由漂浮柔性空間機(jī)器人的慢變子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式(10)可改寫為：

(15)

將式(15)代入式(14)得：

(16)

化簡(jiǎn)后可得：

(17)

設(shè)理想的角度指令為θd(t)，則跟蹤誤差為：

e(t)=θ(t)-θd(t)

(18)

設(shè)計(jì)滑模面函數(shù)為：

(19)

f(t)是為了達(dá)到全局滑模而設(shè)計(jì)的函數(shù)，且f(t)滿足以下三個(gè)條件[11]：

2)當(dāng)t→∞時(shí)，f(t)→0；

3)f(t)的一階導(dǎo)數(shù)存在且有界。

依據(jù)上述三個(gè)條件，將f(t)設(shè)計(jì)為：

f(t)=f(0)e-kt

(20)

式(20)滿足全局滑模條件，等價(jià)于給滑模面函數(shù)添加了指數(shù)趨近項(xiàng)。由圖5可知，f(t)在初始階段收斂速度過快，對(duì)于滑模面函數(shù)s(t)的作用并不明顯，使得無法完全消除滑?？刂频内吔A段，即無法滿足全局魯棒。

本文在此基礎(chǔ)上，提出一種分段多項(xiàng)式函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相結(jié)合的全局滑模函數(shù)形式，其表達(dá)式為：

圖5 全局滑模函數(shù)變化率對(duì)比圖

定義LYAPUNOV函數(shù)為：

(22)

將V對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得：

(23)

(24)

(25)

式中：

(26)

(27)

成立。

根據(jù)性質(zhì)2，H可寫為：

(28)

式中：φ為未知向量。存在已知向量φ0，使得：

(29)

式中：εi>0,i=0,1,…,n。則

(30)

設(shè)計(jì)滑?？刂坡蔀椋?/p>

(31)

定理1 針對(duì)含不確定參數(shù)的慢變子系統(tǒng)(15)，存在控制律(31)使得系統(tǒng)輸出漸近穩(wěn)定跟蹤期望軌跡，并一致最終有界。

證 將控制律u代入式(30)，進(jìn)行化簡(jiǎn)得到：

(32)

(33)

證畢。

為了進(jìn)一 步減弱抖振的影響，采用飽和函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)。將飽和函數(shù)設(shè)計(jì)為：

(34)

式中：δ>0。

u=-Λ-1[Γφ0+κsat(s)]

(35)

3.2 快變子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

為更加精確地進(jìn)行快變子系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)，需考慮柔性振動(dòng)系統(tǒng)中的不確定部分，式(12)改寫為：

(36)

定義快變子系統(tǒng)的輸出向量：

(37)

并假定輸出變量y可通過測(cè)量方式獲得。

由于(Af,Bf,C)可控可觀，則采用狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)值形成狀態(tài)反饋時(shí)，其系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)和觀測(cè)器設(shè)計(jì)可分別獨(dú)立進(jìn)行。

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)時(shí)，針對(duì)標(biāo)稱系統(tǒng)，采用線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)進(jìn)行柔性振動(dòng)抑制，即使系統(tǒng)狀態(tài)ζ調(diào)節(jié)到零。以減少柔性振動(dòng)和控制能量消耗為優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)造如下形式的最優(yōu)控制性能指標(biāo)函數(shù)：

(38)

式中：Q和R分別為狀態(tài)向量ζ和控制向量τf1對(duì)性能指標(biāo)影響的相對(duì)重要性所占權(quán)重。則快變子系統(tǒng)的最優(yōu)控制為：

(39)

式中：P為下列Riccati方程的解。

(40)

針對(duì)控制率中的不確定補(bǔ)償項(xiàng)τf2?。?/p>

τf2=-δ/b

(41)

將τf=τf1+τf2代入式(42)可得：

(42)

采用ESO方法，將δ視為一個(gè)擴(kuò)張狀態(tài)，在式(36)的基礎(chǔ)上得到狀態(tài)擴(kuò)張系統(tǒng)為：

(43)

針對(duì)系統(tǒng)式(43)設(shè)計(jì)ESO：

(44)

gi的選擇極其關(guān)鍵，目前大多數(shù)采用如下帶有線性區(qū)的非線性函數(shù)：

(45)

結(jié)合式(44)和式(45)，取gi(eo1)=eo1，可得：

(46)

式中：Hk=[β1,β2,β3]為待確定的觀測(cè)增益向量。

通過式(47)可完成對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)，此時(shí)快變子系統(tǒng)控制律為：

(47)

將慢變子系統(tǒng)的全局滑模控制部分τs與快變子系統(tǒng)最優(yōu)控制部分τf結(jié)合，利用式(8)，得到使關(guān)節(jié)穩(wěn)定跟蹤期望軌跡并能有效抑制柔性振動(dòng)的控制力矩τ。

4 仿真校驗(yàn)

以圖1所示平面FFFST為例，驗(yàn)證所提方法的有效性。系統(tǒng)慣性參數(shù)見表1所示。

B2桿單位長(zhǎng)度的密度為ρ=1 kg/m，均勻彎曲剛度為EI=200 Pa。仿真時(shí)假設(shè)柔性空間機(jī)器人關(guān)節(jié)鉸的期望運(yùn)動(dòng)軌跡為θd(t)=[costcost](rad)，初始角度為θ0=[0 0](rad)，柔性桿的初始、期望模態(tài)坐標(biāo)均為η0=ηd=[0,0](m)。選取慢變子系統(tǒng)控制參數(shù)κ=diag(6,5,5)，LPF參數(shù)Λ=diag(25,25,25)，滑模面參數(shù)Λ1=diag(5,5,5),Λ2=diag(50,50,50)，全局滑模函數(shù)參數(shù)T=1.1 s，k=7.9，不確定部分τd=[0.2sint0.15cost](rad)。

選取快變子系統(tǒng)權(quán)值陣Q(ζ)=104×diag{8,8,8,8}，R(ζ)=10-1×diag{2,2}，觀測(cè)器參數(shù)β1=β2=100，β3=200，μ1=μ2=μ3=0.5，α=0.01，不確定擾動(dòng)δ=[0.001sint0.001cost](rad)。仿真時(shí)間為10.0 s。仿真結(jié)果見圖6～圖15，其中圖6～圖12為關(guān)節(jié)軌跡跟蹤仿真結(jié)果；圖13～圖15為柔性振動(dòng)抑制仿真結(jié)果。

圖6 改進(jìn)前關(guān)節(jié)位置跟蹤軌跡圖Fig.6 The comparison between the desired angular position and the actual one before improved

表1 空間機(jī)器人模型慣性參數(shù)

圖7 改進(jìn)后關(guān)節(jié)位置跟蹤軌跡圖

圖6、圖7分別為全局滑模函數(shù)f(t)改進(jìn)前后，關(guān)節(jié)鉸位置跟蹤軌跡圖，表明采用基于低通濾波器的全局滑?？刂破髂軌蚩朔淮_定性的影響，實(shí)際軌跡均能穩(wěn)定跟蹤期望軌跡，但改進(jìn)f(t)后跟蹤速度明顯加快。

圖8、圖9分別表示全局滑模函數(shù)f(t)改進(jìn)前后s函數(shù)的變化。不難發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)前后s函數(shù)均能快速趨近滑模面，在零值附近微小波動(dòng)，但改進(jìn)前s函數(shù)在初始階段存在較大偏差，魯棒性無法保證；而改進(jìn)后s函數(shù)波動(dòng)范圍更小，魯棒性更強(qiáng)。

圖8 改進(jìn)前s函數(shù)變化圖

圖9 改進(jìn)后s函數(shù)變化圖

圖10為f(t)改進(jìn)前后關(guān)節(jié)鉸位置跟蹤軌跡誤差對(duì)比圖。對(duì)比圖6～圖9，說明全局滑模函數(shù)f(t)改進(jìn)后關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差收斂速度明顯加快，滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)更加穩(wěn)定，具有更強(qiáng)的魯棒性。

圖10 關(guān)節(jié)跟蹤軌跡誤差對(duì)比圖

圖11、圖12為改進(jìn)f(t)后，LPF濾波前后關(guān)節(jié)鉸的控制力矩，即虛擬控制力矩和實(shí)際控制力矩。表明經(jīng)LPF濾除高頻控制信號(hào)后的實(shí)際控制力矩有效抑制了抖振，在保證關(guān)節(jié)軌跡跟蹤精度的同時(shí)，盡可能減小了對(duì)柔性桿件的影響。

圖11 虛擬控制力矩

圖12 實(shí)際控制力矩

圖13以柔性桿一階振動(dòng)模態(tài)為例，在未經(jīng)過柔性振動(dòng)主動(dòng)抑制的情況下，對(duì)比虛擬和實(shí)際力矩控制下的模態(tài)坐標(biāo)。不難發(fā)現(xiàn)，實(shí)際力矩控制下的模態(tài)坐標(biāo)收斂速度更快，以更小振動(dòng)幅值趨于穩(wěn)態(tài)，說明經(jīng)LPF濾波后的實(shí)際控制力矩對(duì)柔性振動(dòng)的影響更小。

圖13 不同力矩下模態(tài)對(duì)比圖

圖14 未主動(dòng)抑制柔性模態(tài)

圖15 主動(dòng)抑制柔性模態(tài)

圖14、圖15分別為未經(jīng)過主動(dòng)抑制和主動(dòng)抑制后的柔性振動(dòng)一、二階模態(tài)。不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)主動(dòng)抑制后的柔性振動(dòng)模態(tài)幅值減小，收斂迅速，說明基于ESO的振動(dòng)抑制優(yōu)化控制器能夠?qū)θ嵝哉駝?dòng)進(jìn)行有效抑制。

5 結(jié) 論

對(duì)于存在參數(shù)不確定性與有界干擾的自由漂浮柔性空間機(jī)器人系統(tǒng)，本文利用奇異攝動(dòng)法提出了一種基于低通濾波器的改進(jìn)全局滑模關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制器和基于ESO的振動(dòng)抑制優(yōu)化控器相結(jié)合的組合控制器設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了關(guān)節(jié)軌跡的穩(wěn)定跟蹤和對(duì)柔性振動(dòng)的有效抑制。理論推導(dǎo)和仿真分析表明：

(1)引入低通濾波器對(duì)高頻控制信號(hào)進(jìn)行有效濾除，消除滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象，使關(guān)節(jié)在跟蹤期望軌跡的同時(shí)對(duì)柔性振動(dòng)帶來盡可能小的影響；

(2)提出一種分段多項(xiàng)式函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相結(jié)合的全局滑模函數(shù)形式，加快關(guān)節(jié)跟蹤速度，并保證響應(yīng)全程具有魯棒性，克服不確定性的影響；

(3)引入ESO對(duì)不易測(cè)量的柔性振動(dòng)模態(tài)坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)和未知擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，避免測(cè)量噪聲的干擾以及不確定干擾，更貼合工程實(shí)際，有效抑制了柔性振動(dòng)。

[ 1 ] JUNFENG L, ZHAOLIN W. Study on attitude dynamics of a liquid filled spacecraft with manipulator[J]. Journal of Astronautics, 1999, 20(2): 81-86.

[ 2 ] ANGEL O M. A review of space robotics technologies for on-orbit servicing [J]. Progress in Aerospace Sciences,2014,68(1):1-26.

[ 3 ] 劉正雄, 黃攀峰. 基于遞推差分進(jìn)化算法的空間機(jī)器人參數(shù)辨識(shí)[J]. 宇航學(xué)報(bào),2014, 35(10): 1127-1134. LIU Zhengxiong, HUANG Panfeng. Parameter identification of space robot based on recursive different evolution algorithm[J]. Journal of Astronautics, 2014, 35(10): 1127-1134.

[ 4 ] 洪在地, 贠超, 陳力. 漂浮基空間機(jī)器人及其柔性影響下逆模神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2007, 28(6):1510-1514. HONG Zaidi, YUN Chao, CHEN Li. Inverse-model neuro-control of free-floating space robot with rigid manipulators and rigid-flexible manipulators[J]. Journal of Astronautics, 2007, 28(6): 1510-1514.

[ 5 ] HU Q, XU L, ZHANG A. Adaptive backstepping trajectory tracking control of robot manipulator[J]. Journal of the Franklin Institute, 2012, 349(3): 1087-1105.

[ 6 ] 謝箭, 劉國(guó)良, 顏世佐,等. 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不確定性空間機(jī)器人自適應(yīng)控制方法研究[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2010,31(1):123-129. XIE Jian, LIU Guoliang, YAN Shizuo, et al. Study on neural network adaptive control method for uncertain space manipulator[J].Journal of Astronautics, 2010, 31(1): 123-129.

[ 7 ] WANG M, LI Y, REN X. Adaptive sliding mode control for hydraulic flexible manipulator based on two-parameter singular perturbation method[C]//Intelligent Human-Machine Systems and Cybernetics (IHMSC), 5th, International Conference on. IEEE, 2013, 2: 57-60.

[ 8 ] ZENG P L, WANG S X, QIU J J, et al. Flexible manipulator control based on singular perturbation theory study[C]//Applied Mechanics and Materials,2013, 346: 69-73.

[ 9 ] 翟光, 張景瑞, 周志成．靜止軌道衛(wèi)星在軌延壽技術(shù)研究進(jìn)展[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2012, 33(7):122-134. ZHAI Guang, ZHANG Jingrui, ZHOU Zhicheng. A review of on-orbit life-time extension technologies for GEO satellites[J]. Journal of Astronautics, 2012, 33(7): 122-134.

[10] 石蘇忠, 王永智. 基于多項(xiàng)式插值的自由漂浮空間機(jī)器人軌跡規(guī)劃粒子群優(yōu)化算法[J].宇航學(xué)報(bào),2011, 32(7):1516-1521. SHI Suzhong, WANG Yongzhi. A polynomial interpolation based particle swarm optimization algorithm for trajectory planning of free-floating space robot [J]. Journal of Astronautics, 2011,32(7):1516-1521.

[11] LU Y S, CHEN J S. Design of a global sliding-mode controller for a motor drive with bounded control[J]. International Journal of Control, 1994,62(5):1001-1019.

[12] MOBAYEN S. An LMI-based robust controller design using global nonlinear sliding surfaces and application to chaotic systems[J]. Nonlinear Dynamics, 2014, 79(2): 1075-1084.

[13] LIU X, WU Y, DENG Y, et al. A global sliding mode controller for missile electromechanical actuator servo system[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part G: Journal of Aerospace Engineering, 2014, 228(7): 1095-1104.

[14] CHU Y, FEI J. Adaptive global sliding mode control for MEMS gyroscope using RBF neural network[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2015,2015: 1-9.

[15] FALLAHA C J, SAAD M, KANAAN H Y, et al. Sliding-mode robot control with exponential reaching law[J]. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, 2011, 58(2): 600-610.

[16] YANG J, LI S, YU X. Sliding-mode control for systems with mismatched uncertainties via a disturbance observer[J]. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, 2013, 60(1): 160-169.

[17] YANG J, SU J, LI S, et al. High-order mismatched disturbance compensation for motion control systems via a continuous dynamic sliding-mode approach[J]. Industrial Informatics, IEEE Transactions on, 2014, 10(1): 604-614.

[18] ZHAO D, LI C, ZHU Q. Low-pass-filter-based position synchronization sliding mode control for multiple robotic manipulator systems[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part I: Journal of Systems and Control Engineering, 2011, 225(8): 1136-1148.

[19] ZHANG Q, MILLS J K, CLEGHORN W L, et al. Trajectory tracking and vibration suppression of a 3-PRR parallel manipulator with flexible links[J]. Multibody System Dynamics, 2015, 33(1): 27-60.

[20] 楊明, 董晨, 王松艷,等. 基于有限時(shí)間輸出反饋的線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào), 2015, 41(1):59-66. YANG Ming, DONG Chen, WANG Songyan, et al. Linear extended state observer based on finite-time output feedback[J]. Acta Automatica Sinica, 2015, 41(1):59-66.

[21] 于瀟雁, 陳力. 參數(shù)不確定與有界干擾自由漂浮柔性空間機(jī)械臂基于速度觀測(cè)器的奇異攝動(dòng)魯棒控制及振動(dòng)抑制[J].振動(dòng)與沖擊, 2015, 34(14): 85-92. YU Xiaoyan, CHEN Li. Velocity observer based singular perturbation robust control and vibration suppression for a free-floating space flexible manipulator with unknow payload parameters and bounded disturbances[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015,34(14):85-92.

[22] GAO Z Q. Scaling and bangwidth-parameterization based controller tuning.[C]//Proceedings of the American Control Conference, 2006,6: 4989-4996.

Global sliding mode tracking control and ESO vibration suppression for a FFFSR based on singular perturbation method

PANG Zhenan1, ZHANG Guoliang1, YANG Fan1,2, WU Ge1, CHEN Zhikan1

(1.The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China；2. Baoji New High Tech Research Institute, Baoji 721000, China)

Joints trajectory tracking control and flexible vibration active suppression techniques for a free-floating flexible space robot (FFFSR) were discussed under parameter uncertainties and bounded disturbance. A composite controller containing a slow control subsystem for joints trajectory tracking control and a fast control subsystem for describing flexible vibration was proposed using the singular perturbation method. In the slow subsystem, an improved global sliding mode function with a low-pass filter to suppress sliding mode chattering was designed to achieve global robust and fast convergence of joints trajectory tracking. The fast subsystem adopted an extended state observer (ESO) to estimate coordinate derivatives of flexible modes and uncertain disturbance measured hardly, and used LQR method to suppress the flexible vibration. Numerical simulation results demonstrated the feasibility and effectiveness of the proposed control strategy.

free-floating flexible space robot (FFFSR); singular perturbation method; global sliding mode control (GSMC); low-pass filter (LPF); extended state observer (ESO); uncertainty

中國(guó)工程院與國(guó)家自然科學(xué)基金委聯(lián)合資助(2014-zcq-10)

2016-01-13 修改稿收到日期：2016-03-20

龐哲楠 男，碩士，1992年生

張國(guó)良 男，博士，教授，1970年生

TP242