高延安, 楊慶山

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)風工程與城市風環(huán)境北京市重點實驗室,北京 100044)

行走人群-結(jié)構(gòu)相互作用模型研究

高延安, 楊慶山

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)風工程與城市風環(huán)境北京市重點實驗室,北京 100044)

人群中每個行人簡化為一個集中質(zhì)量和兩個彈簧阻尼器腿的模型，利用拉格拉日方程建立了多人行走狀態(tài)下的人群-結(jié)構(gòu)相互作用模型。首先利用該模型研究了人群引起結(jié)構(gòu)的響應(yīng)和人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)特性改變，然后分析了結(jié)構(gòu)響應(yīng)和系統(tǒng)模態(tài)隨著人群數(shù)量的變化而改變，最后比較了在隊列和并排兩種不同行走狀態(tài)下人群結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的響應(yīng)和模態(tài)特性的變化。數(shù)值分析表明結(jié)構(gòu)的響應(yīng)和模態(tài)特性隨著人群數(shù)目增加而變化增大，然而行人在結(jié)構(gòu)上分布較為均勻的縱向行走方式能夠有效降低結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，為減輕結(jié)構(gòu)的劇烈波動，在人行橋設(shè)計時建議采用窄的截面寬度或者在橋面上設(shè)置縱向疏導(dǎo)設(shè)施以避免人流集中對結(jié)構(gòu)的不利影響。

數(shù)值模擬；人群-結(jié)構(gòu)相互作用；模態(tài)特征；結(jié)構(gòu)響應(yīng)；人群行走方式

隨著材料科學(xué)的發(fā)展和人們生活質(zhì)量的提高，在滿足規(guī)范的條件下設(shè)計的結(jié)構(gòu)質(zhì)量越來越輕，跨度越來越大，其導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼耗能能力降低[1]。BACHMANN等[2]研究表明隨著結(jié)構(gòu)跨度的增加，自身的阻尼和頻率會急劇下降。承受人群活動的低阻尼和頻率結(jié)構(gòu)往往容易發(fā)生共振引起結(jié)構(gòu)的劇烈波動。據(jù)不完全資料統(tǒng)計，20世紀由人類活動引起的橋梁垮塌事故達40多起。在2000-06-10，倫敦千禧橋[3]開放當天由于行人經(jīng)過該橋梁時引起結(jié)構(gòu)的劇烈側(cè)向振動而被迫關(guān)閉，該起事故后來引起了全世界1 000多家的媒體廣泛關(guān)注和報道。為理解人與結(jié)構(gòu)的相互作用，許多學(xué)者做了大量的研究工作。HAUKSSON[4]分別使用多自由度和單自由度模型分析了倫敦千禧橋的動力性能。NIKKHOO等[5]研究了簡支梁在承受移動質(zhì)量塊作用下的動力響應(yīng)和結(jié)構(gòu)振動控制的方法。ZHOU等[6]用分布的彈簧質(zhì)量塊模擬人群研究了人群與結(jié)構(gòu)的相互作用。簡方梁等[7]考慮有序排列人群荷載、BS5400荷載和隨機人群荷載三種模式下的人致振動響應(yīng)，研究表明步頻對結(jié)構(gòu)的加速度影響最大。陳建英等[8]用單質(zhì)量-彈簧-阻尼器作為人的模型，研究了5個人分布于簡支梁上的結(jié)構(gòu)與人相互作用，其數(shù)值模擬表明人會顯著降低結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)頻率和增大對應(yīng)阻尼比。王海等[9]用一個具有分布質(zhì)量、阻尼和剛度的動力學(xué)模型模擬附著于梁上的人體，其研究表明人能夠顯著影響結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼比，人位于梁中跨時對結(jié)構(gòu)的阻尼比和頻率影響最大，其也研究了人群數(shù)量的增長對梁的動力特性影響。QIN等[10]用質(zhì)量-阻尼-彈簧雙腿動力學(xué)模型模擬行人，研究了簡支梁與行走行人的相互作用。宋志剛等[11]從社會力模型角度和人橋相互作用的機理出發(fā)探索了人橋相互作用的動力放大系數(shù)，該法考慮了負阻尼的影響且與時程分析結(jié)果基本一致。目前多數(shù)研究集中在不考慮人的移動下的人群-結(jié)構(gòu)模型或者單人-結(jié)構(gòu)模型，鮮有學(xué)者研究多人行走下的人群-結(jié)構(gòu)相互作用。

采用一個集中質(zhì)量和考慮兩條無質(zhì)量的彈簧-阻尼腿模擬行人，多個具有該模型組成的人群通過簡支梁的行走人群-結(jié)構(gòu)相互作用作為研究對象，考慮實際情況中行人的水平位移和速度不依賴于動力方程，利用拉格拉日方程建立行走人群-結(jié)構(gòu)相互作用的動力方程，數(shù)值分析了行走人群下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)以及對結(jié)構(gòu)模態(tài)特性的影響。動力方程物理符號見表1。

表1 動力方程物理符號

1 行走人群結(jié)構(gòu)相互作用模型

通過用一個質(zhì)量和兩個具有彈簧阻尼器組成的腿模型建立單人行走下的行人-結(jié)構(gòu)模型，他們的數(shù)值研究表明該行人模型能夠很好的模擬行人-結(jié)構(gòu)相互作用。本文首先利用上述行人模型建立了多人行走下的人群-結(jié)構(gòu)模型，根據(jù)實際行走中行人的行走速度不依賴于動力方程，故文中模型的行人水平自由度考慮為已知量，其不僅更加符合實際情況而且降低了方程的自由度。人群-結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，假設(shè)有χ個人行走于一個簡支的Euler-Bernoulli梁上，從中任意挑選出第(q)個人(如圖1下部的局部放大圖所示)，該行人簡化為一個集中質(zhì)量加兩個彈簧-阻尼器模型。該行人的集中質(zhì)量用m(q)表示，行人腿的模態(tài)特性用附著于腿上的彈簧和阻尼器模擬。設(shè)定梁左端為行人-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的坐標原點，水平右方向為x軸向，向上豎直方向為y軸方向。假定行人在行走過程中兩條中至少有一條腿始終與梁接觸，每個行人行走的水平位移和水平速度時程是已知的，行人只與結(jié)構(gòu)發(fā)生相互作用，行人之間相互獨立互不影響。

圖1 行走人群-結(jié)構(gòu)運動模型

人行橋用一個等截面簡支的Euler-Bernoulli梁模擬，根據(jù)Lagrange方程，可以獲得如下行走人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動能和勢能

(1a)

(1b)

(2)

式中:{φi(x),i=1,2,…}為滿足結(jié)構(gòu)邊界條件的梁振型函數(shù);{Yi(t),i=1,2,…}為滿足初始條件的結(jié)構(gòu)廣義位移;行人的前腿和后腿長度分別可以表達為

(3a)

(3b)

(4)

(5a)

(5b)

前后腿的軸向虛位移可以表示為：

(6a)

將式(5)帶代入式(4), 系統(tǒng)虛功可以表達為

(7)

利用Lagrange方程，可得到系統(tǒng)能量與系統(tǒng)廣義力之間的關(guān)系式如下

(8)

將式(1)代入式(8)后利用式(4)以及式(8)的變量對應(yīng)關(guān)系，最終可以獲得行走人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力方程如下：

(9)

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

(10-e)

式中的系數(shù)如下所示：

Φi,j(N(q))=φi(N(q))φj(N(q))(i,j=1,2,…,n)

(i=1,2,…,n;q=1,2,…,χ)(q=1,2,…,χ)

2 人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)分析

由于所建立的人群-結(jié)構(gòu)動力方程中的阻尼和剛度矩陣是隨時間變化的，行人腿的阻尼比結(jié)構(gòu)本身阻尼要高很多，系統(tǒng)方程中行人和結(jié)構(gòu)形成的新阻尼為非比例阻尼，系統(tǒng)的模態(tài)特性不能再采用RAYLEIGH阻尼，采用狀態(tài)空間法[14]進行瞬時模態(tài)分析。定義狀態(tài)空間矩陣和向量如下

(11a)

狀態(tài)空間中，系統(tǒng)動力方程(9)可以變?yōu)?/p>

(11b)

利用對矩陣A的特征值求解，可以獲得系統(tǒng)的模態(tài)特性如下所示

A{φ}i=λi{φ}i

(11c)

式中:λi和 {φ}i分別為矩陣A第i階的特征值和特征向量，系統(tǒng)的第i階頻率fi和阻尼比ξi可以獲得如下式所示

(11d)

顯然，根據(jù)式(10b)和式(10c)可知，系統(tǒng)的阻尼和剛度矩陣是時變的，故可以求得系統(tǒng)的阻尼和頻率時程曲線。

3 數(shù)值模擬

3.1 人群-結(jié)構(gòu)相互作用分析

表2 空梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率和阻尼比

(a) 人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的頻率變化曲線

(b) 人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)阻尼比變化曲線

從圖2可知，隨著人群從梁端向一端行走時，系統(tǒng)的頻率先減小后增大，而系統(tǒng)的阻尼比卻呈現(xiàn)出相反的趨勢，當人群走到梁中跨位置時，系統(tǒng)的頻率達到最小，而阻尼比達到最大。而在人群全部進入結(jié)構(gòu)前后離開結(jié)構(gòu)后，梁的頻率恢復(fù)到結(jié)構(gòu)自然頻率，阻尼比同樣恢復(fù)到結(jié)構(gòu)的自然阻尼比?？梢娙巳鹤饔糜诮Y(jié)構(gòu)上時整個系統(tǒng)的頻率和阻尼會隨著行人的位置不同而有所改變。整個系統(tǒng)柔性變大，而阻尼耗能能力有所增加，數(shù)值分析表明人群位于結(jié)構(gòu)中跨時能夠顯著提高系統(tǒng)的阻尼耗能能力，然后帶來不利的影響是使系統(tǒng)變得柔性增大，易于引起共振。該結(jié)論與文獻[9-10]的研究一致，受人群作用下結(jié)構(gòu)在中跨的撓度、速度和加速度時程曲線分別見圖3、圖4和圖5。從上述三幅的結(jié)構(gòu)響應(yīng)圖可以看出，人群位于跨中時結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度響應(yīng)都達到最大。圖6中結(jié)構(gòu)的加速度反應(yīng)譜顯示前兩個峰值的頻率分別為2.734 Hz和4.297 Hz，其低于結(jié)構(gòu)的第一階自振頻率4.50 Hz。

圖3 結(jié)構(gòu)中跨的位移-時程曲線

圖4 結(jié)構(gòu)中跨的速度-時程曲線

圖5 結(jié)構(gòu)中跨的加速度-時程曲線

圖6 加速度的功率譜密度

3.2 考慮不同行走狀態(tài)下的數(shù)值模擬

為了進一步研究人群數(shù)量和人群行走狀態(tài)對系統(tǒng)的模態(tài)特性的影響，選擇了5～21個人之間人群數(shù)量為研究對象，分別以5人增幅為一組和2人增幅為一組進行了人群組合，行人參數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)與上述算例相同；然后分別按照隊列行走(行人位于梁的縱向軸線上)和并排行走(行人位于梁的橫向軸線上)的兩種方式對人群-結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性和跨中加速度響應(yīng)進行比較研究。為了突出研究整個人群-結(jié)構(gòu)之間的相互作用，隊列行走時初始時刻的行人從梁的左端向右以0.5 m的間隔站立，整體人群在開始時都位于梁外。并排行走時，整個人群“一”字形站立于梁左端開始向右行走(見圖7～圖8)。

圖7 行人的地面反應(yīng)力

圖8 行人質(zhì)心豎向反應(yīng)

3.2.1 隊列行走

以5人增幅為一組的系統(tǒng)模態(tài)隨時間變化如圖9所示。人群在隊列行走狀態(tài)下，系統(tǒng)的頻率隨著人群數(shù)量的增長而減小，阻尼隨著人群數(shù)量的增大而增大，但是隨著人群以相等數(shù)目增加時，系統(tǒng)的頻率和阻尼的變化幅值卻逐漸出現(xiàn)平緩的趨勢。系統(tǒng)的頻率和阻尼的改變都表現(xiàn)出在人群大概位于梁的中跨時，二者的變化都最大。人群引起結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)的均方根值隨時間的變化如圖10所示，圖10中以每2 s為時長計算。由圖10可知，隨著人群數(shù)目的改變，加速度響應(yīng)與結(jié)構(gòu)模態(tài)特性表現(xiàn)出較一致的規(guī)律，行人大概位于跨中位置時結(jié)構(gòu)的響應(yīng)最大。

(a) 隊列行走狀態(tài)下系統(tǒng)的頻率變化

(b) 隊列行走狀態(tài)下系統(tǒng)的阻尼比變化

圖10 加速度響應(yīng)的均方根值

3.2.2 并排行走

由數(shù)值模擬結(jié)果的圖11可知，人群在并排行走狀態(tài)下，系統(tǒng)的頻率隨著人群數(shù)量的增長而減小，阻尼隨著人群數(shù)量的增大而增大，隨著人群以相等數(shù)目的增加，系統(tǒng)的頻率和阻尼的變化幅值并沒有表現(xiàn)出平緩的趨勢，而是呈現(xiàn)出等比例趨勢的變化，系統(tǒng)的頻率和阻尼的改變都表現(xiàn)出在人群大概位于梁的跨中位置時，二者的變化都最大。從圖12給出結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)的均方根值可知，人群接近跨中位置時，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)最大，同樣隨著人群相等數(shù)量的增加，加速度峰值呈現(xiàn)出近似于等幅值的增加。

3.2.3 兩種行走方式比較

為進一步研究行人的不同行走分布方式引起人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模態(tài)和加速度響應(yīng)的變化，將行人以5個人為起始組，以每2個人增量為一組共9組人群的不同行走方式研究了結(jié)構(gòu)行為的變化。然后以系統(tǒng)的模態(tài)頻率和阻尼比峰值以及加速度最大值為對象進行了比較分析。從圖13可以看出隨著人群數(shù)量的增加，并排分布的行走方式引起系統(tǒng)的頻率下降幅值比隊列分布方式更大。相應(yīng)對于圖14中不同行走方式引起人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼比的變化可以看出等人數(shù)條件下并排行走方式引起系統(tǒng)的阻尼比增加幅值更大。圖15結(jié)構(gòu)跨中的加速度峰值顯示隨著人群數(shù)量的增加，隊列行走方式能有效減輕結(jié)構(gòu)的振動。

(a) 并排行走狀態(tài)下系統(tǒng)的頻率變化

(b) 并排行走狀態(tài)下系統(tǒng)的阻尼變化

圖12 加速度響應(yīng)的均方根值

圖13 不同行走方式下系統(tǒng)的最小頻率值

由此可以見，人行橋的寬度變窄時，人群趨于列隊的方式行走能夠減小人群對結(jié)構(gòu)動力性能的影響和降低波動峰值；而當人行橋的寬度足足夠大，多個人集中并排行走時能夠增大人群對結(jié)構(gòu)動力性能的影響同樣也更易于增強結(jié)構(gòu)的波動峰值，可見在人行橋設(shè)計時為避免過度振動，應(yīng)考慮減小入口寬度或者減小橋板截面的寬度。

圖14 不同行走方式下系統(tǒng)的最大阻尼比

圖15 不同行走方式下結(jié)構(gòu)跨中的加速度峰值

4 結(jié) 論

本文采用一個集中質(zhì)量和具有剛度和阻尼器形成的兩條腿模擬人體的動力模型施加于梁上，考慮行人的水平速度為已知條件下建立行走人群-結(jié)構(gòu)相互作用的動力學(xué)模型，分析了行走人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力特征，根據(jù)數(shù)值模擬可以得到以下結(jié)論：

(1) 研究人對結(jié)構(gòu)的影響，將人作為具有質(zhì)量、阻尼和彈簧的動力雙腿模型作用于結(jié)構(gòu)上是合理的。文中利用Lagrange方程建立了5個人從梁的左端行走到右端的相互作用動力學(xué)模型，通過數(shù)值模擬與已有文獻的對比，模擬結(jié)果是合理的。

(2)數(shù)值分析表明行走人群下會對結(jié)構(gòu)的動力特性有顯著改變，主要表現(xiàn)在人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼比增大，頻率減小，相對而言阻尼比變化幅值更明顯。

(3)通過不同人群數(shù)量在兩種行走狀態(tài)下對人群-結(jié)構(gòu)模態(tài)特性的影響分析表明，相比而言人群按照縱向排開的行走方式比橫向排開的行走方式能夠有效降低對結(jié)構(gòu)模態(tài)特性的影響和減小結(jié)構(gòu)振動幅值，故在人行橋設(shè)計時建議在滿足使用要求的條件下減小橋板的橫向?qū)挾然蛘咴跇虬迳显O(shè)置縱向疏導(dǎo)設(shè)施。

[ 1 ] HUANG Minghui. Dynamic characteristics of slender suspension footbridges[D]. The Ph. D thesis, Queensland University of Technology, May 2006.

[ 2 ] BACHMANN H, AMMAN W. Vibrations problems in structures: Practical guidelines[M]. 2nd ed., Birkh?user, Basel, Switzerland, 1997.

[ 3 ] DALLARD P. The london millennium footbridge[J]. The Structural Engineer, 2001, 79 (22): 17-31.

[ 4 ] HAUKSSON F, Dynamic behavior of footbridges subjected to pedestrian-induced vibrations[D]. Master’s Dissertation of Lund University of Sweden, 2005.

[ 5 ] NIKKHOO A, ROFOOEI F R,SHADNAM M R. Dynamic behavior and modal control of beams under moving mass[J]. Journal of Sound and Vibration,2007(306):712-724.

[ 6 ] ZHOU Ding, JI Tianjian. Dynamic characteristics of a beam and distributed spring-mass system[J]. International Journal of Solids and Structures,2006(43):5555-5569.

[ 7 ] 簡方梁，吳定俊，李奇. 上海虹橋車站人行走廊人致振動分析[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(8): 136-140. JIAN Fangliang, WU Dingjun, LI Qi, The vibrational analysis of pedestrian corridor about Shanghai Hongqiao station[J].Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(8): 136-140.

[ 8 ] 陳建英，方之楚. 人-結(jié)構(gòu)相互作用動力學(xué)建模研究[J]. 振動與沖擊, 2007, 26(6):10-15. CHEN Jianying, FANG Zhichu. Study on modeling of human occupants-structure dynamic interaction[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(6): 10-15.

[ 9 ] 王海，周叮，王曙光. 人-梁相互作用動力學(xué)模型研究[J].工程力學(xué), 2010, 27(5): 14-20. WANG Hai, ZHOU Ding, WANG Shuguang, Modeling of the dynamic interaction of human occupants and beam[J]. Engineering Mechanics, 2010, 27(5): 14-20.

[10] QIN J W, LAW S S, YANG Q S,et al. Pedestrian-bridge dynamic interaction, including human participation[J]. Journal of Sound and Vibration,2013(332):1107-1124.

[11] 宋志剛，張堯. 人-橋側(cè)向動力相互作用下的動力放大系數(shù)分析[J].振動與沖擊, 2015, 34(1):19-23. SONG Zhigang, ZHANG Yao, Analysis of the dynamic amplification factor of lateral structural vibration induced by crowd-bridge interaction[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(1): 19-23.

[12] 克拉夫，J·彭津.結(jié)構(gòu)動力學(xué)[M]. 王光遠等譯. 2版.北京:高等教育出版社，2006.

[13] Juang J N, Applied system identification[M]. Englewood Cliffs, NJ, USA: Prentice Hall, 1994.

[14] 聶建國，陳宇，樊健生. 步行荷載作用下單跨人行橋振動的均方根 加速度反應(yīng)譜法 [J]. 土木工程學(xué)報, 2010，43(9): 109-117. NIE Jianguo, CHEN Yu, FAN Jiansheng, RMS acceleration response spectrum method for single span footbridges under pedestrian load[J].China Civil Engineering Journal, 2010, 43 (9): 109-117.

A walking crowd-structure interaction model

GAO Yanan, YANG Qingshan

(Beijing Municipal Key Laboratory of Structural Wind Engineering and Urban Wind Environment, School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)

Each pedestrian was simplified as a lump mass and two spring-damper legs and a walking crowd-structure interaction (CSI) model was established using Lagrange’s equations. First of all, the structural responses and dynamic characteristics of the crowd-structure system were studied. Secondly, the structural responses and the modal changes versus the number of people were analyzed. Finally, under two different walking styles including queue and side by side, different structural responses were compared. The simulation analysis showed that the changes of the structural response and modal features of the crow-structure system increase with increase in number of people; however, the walking style of queue with a more uniform crowd distribution can effectively reduce dynamic responses of the structure; in order to avoid resonance or excessive fluctuation, a narrow cross-section and longitudinal dredging facilities on a bridge deck are recommended for footbridge designs.

numerical simulation; crowd-structure interaction; modal characteristics; structural response; walking styles of crowd

國家自然科學(xué)基金重大研究計劃重點支持項目(51338001)

2015-04-23 修改稿收到日期：2015-11-30

高延安 男，博士生，1986年生

楊慶山 男，博士,教授，1968年生

TU311.3; O 313