袁 靜 ， 魏 穎， 訾艷陽， 王志誠， 倪修華

(1. 上海無線電設備研究所，上海 200090； 2. 西安交通大學 機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049)

自適應多小波混合構造方法及在故障診斷中應用

袁 靜1， 魏 穎1， 訾艷陽2， 王志誠1， 倪修華1

(1. 上海無線電設備研究所，上海 200090； 2. 西安交通大學 機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049)

小波理論中基函數(shù)的逼近階和消失矩特性都是信號處理中非常重要的性質。傳統(tǒng)自適應多小波構造方法僅能對逼近階或消失矩單一特性進行改造，并且所生成的多個基函數(shù)時頻特征和波形差異較小，難以有效實現(xiàn)復雜動態(tài)故障的自適應提取與識別。為此，提出基于兩尺度相似變換和提升方法相結合的自適應多小波混合構造框架，對原有多尺度函數(shù)和多小波函數(shù)進行線性與非線性組合，擴大多小波改造空間，獲得具有高階逼近階的多尺度函數(shù)和消失矩涵蓋多階次的多小波函數(shù)，增強多小波正則性、光滑性、信號逼近能力和局部定位能力，并提高信號分析精度，為復雜動態(tài)信號中微弱和復合故障特征提取與識別提供優(yōu)良性質的自適應基函數(shù)及診斷方法;為按需優(yōu)選自適應基函數(shù)，提出改進局部故障域譜熵最小化原則的自適應基函數(shù)優(yōu)選方法，實現(xiàn)軸系、齒輪和軸承故障的分門別類優(yōu)選，簡化故障分類模式。工程實例表明該方法可以有效識別復雜背景噪聲干擾下的軸承內圈微弱損傷，并成功診斷出空氣分離壓縮機組齒輪箱止推夾板碰撞與摩擦的多特征復合故障。

多小波；兩尺度相似變換；提升變換；特征提??；故障診斷

準確及時識別運行中萌生和演變的損傷故障，對于保障國民經(jīng)濟行業(yè)中的關鍵設備安全可靠運行，避免經(jīng)濟損傷和人員傷亡意義重大。然而工程實際中的關鍵設備結構復雜，部件眾多，采集到的故障動態(tài)信號是各部件響應的綜合反映，且復雜多變的傳遞途徑、惡劣工況下強背景噪聲干擾、多激勵源相互耦合等因素影響增加了動態(tài)信號的復雜程度。近年來，機械故障診斷內積變換方法為復雜動態(tài)信號中的故障特征提取與識別提供靈活有效方法。它運用與故障特征相似或相關的基函數(shù)匹配信號中的故障特征，獲得不同物理意義并符合工程實際的故障征兆，從而實現(xiàn)科學、正確的狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷[1]。

在內積變換原理的信號處理方法中，近年來興起的多小波變換是小波理論的新發(fā)展，其多分辨分析是由多尺度函數(shù)生成，通過多小波函數(shù)的伸縮和平移構成空間RIESZ基[2]。由于它兼?zhèn)鋯涡〔ㄋ荒芡瑫r具備的多種優(yōu)良性質[3]以及多個時頻特征有所差異的基函數(shù)，這使得多小波變換在早期和微弱故障特征提取、復合故障特征識別等方面展現(xiàn)顯著優(yōu)勢[4-6]。基于機械故障診斷內積變換原理，構造和選擇合適的多小波基函數(shù)是實現(xiàn)有效特征提取與合理故障診斷的關鍵。為此，國內外學者開展基于兩尺度相似變換[7-8]、對稱提升變換[9-10]、非對稱提升變換[11-12]和重數(shù)延長理論[13]的自適應多小波基函數(shù)構造方法研究，以獲得與故障特征波形相匹配的自適應基函數(shù)，并成功應用于齒輪軸承試驗臺、電力機車、連鑄連軋機組、煙氣輪機等關鍵設備故障診斷。

多尺度函數(shù)的逼近階和多小波函數(shù)的消失矩都是小波理論中重要特性，對故障特征準確提取與識別具有重要意義。以上這些構造方法中，兩尺度相似變換可構造出一對新的對稱雙正交多小波，但它在增強多尺度函數(shù)的逼近階同時，卻以削弱多小波函數(shù)的消失矩為代價。雖然提升方法可以改變多小波函數(shù)的消失矩，但多尺度函數(shù)本身及其逼近階卻保持不變，這使得多尺度函數(shù)性質不理想并且導致對蘊含故障征兆豐富的最低頻信號無法實施自適應故障提取。因此，難以通過單一多小波構造方法同時獲得兼?zhèn)鋬?yōu)良逼近階和消失矩特性的多小波。同時，現(xiàn)有多小波構造方法所生成的多個基函數(shù)時頻特征和波形差異并不大，難以有效匹配特征各異的復合故障。

因此，本文提出基于兩尺度相似變換和提升方法相結合的自適應多小波混合構造框架，對原有多尺度函數(shù)和多小波函數(shù)進行線性與非線性組合，擴大多小波改造空間，提高信號分解和重構精度，構造兼具優(yōu)越逼近階和多階消失矩特性的自適應多尺度函數(shù)和多小波函數(shù)，為復雜動態(tài)信號中微弱和復合故障特征最佳匹配提供優(yōu)良性質自適應基函數(shù)。為按需優(yōu)選自適應基函數(shù)，提出改進局部故障域譜熵最小化原則的自適應基函數(shù)優(yōu)選方法，實現(xiàn)軸系、齒輪和軸承故障的分門別類優(yōu)選，并通過多層次精細化的多小波包變換實現(xiàn)故障特征的有效提取與故障識別。最后，將該方法應用于電力機車軸承內圈微弱損傷識別和空氣分離壓縮機組復合故障診斷以驗證有效性與實用性。

1 多小波基礎理論

設Φ(t)=[φ1(t),φ2(t),…,φr(t)]和Ψ(t)=[ψ1(t),ψ2(t),…,ψr(t)]分別為r重多尺度函數(shù)和多小波函數(shù)，根據(jù)兩尺度矩陣方程，多小波包分解可表示為

式中:u2j-1,n和u2j,n分別為第2j-1頻帶和第2j頻帶的第n個分解樣本點，{Hk}和{Gk}分別為多小波低通和高通濾波器組。同樣，多小波包重構公式為

式中:符號*表示共軛轉置。相對于多小波變換，多小波包分析能對信號進行全頻帶多層次劃分，為信號提供一種頻帶更加精細的分析方法。

由于多小波包的分解和重構是一個多輸入多輸出系統(tǒng)，對實際采樣的一維輸入信號必須進行矢量化前處理以產生多輸入信號，其中重復采樣的前處理方法對信號降噪效果較好，故在本文中采用。為獲得故障特征信息的多維度豐富表征，本文采用改進的多小波后處理方法[14]，直接輸出多維矢量信號。

2 多小波混合構造方法

逼近階是刻畫多尺度函數(shù)最重要的性質之一，對于信號分解和重構具有重要價值。對應于逼近階，消失矩是多小波函數(shù)的重要性質之一，用于描述基函數(shù)光滑性與局部化能力。特別地，對于雙正交多小波而言，若多尺度函數(shù)具有n階逼近階，多小波函數(shù)具有p階消失矩，則其對偶多尺度函數(shù)具有p階逼近階，對偶多小波函數(shù)具有n階消失矩。下面將利用多小波混合構造框架同時改造多小波的逼近階和消失矩，為復雜動態(tài)信號中微弱和復合故障特征準確提取提供具有優(yōu)良特性的自適應多小波。

2.1 兩尺度相似變換

(3)

2.2 提升變換

(4)

2.3 基于兩尺度相似變換和提升方法相結合的多小波混合構造框架

針對以上構造理論的不足，本文提出基于兩尺度相似變換和提升方法相結合的多小波混合構造框架，采用兩尺度相似變換對現(xiàn)有多小波系統(tǒng)進行多次改造，獲得性能優(yōu)越多尺度函數(shù)，然后采用提升變換對改造后性能欠佳的多小波函數(shù)進行改善，最終獲得兼具優(yōu)良逼近階和消失矩特性的多小波，有效提高復雜動態(tài)信號中自適應故障特征匹配準確性與有效性。

在眾多多小波中，GHM多小波是最常用的二重多小波，具有緊支性、對稱性、正交性及2階逼近階和2階消失矩[15]。下面將以GHM多小波為研究對象，構建多小波混合構造框架。

根據(jù)兩尺度相似變換矩陣求解算法，對GHM多小波設計轉換矩陣M1(z)

(5)

式中:自由參數(shù)a和b為非零常數(shù)。

(6)

式中:參數(shù)c,d和e依舊為非零常數(shù)。

以兩次兩尺度相似變換中a=1，b=-0.8，c=1，d=2，e=1.5為例，計算得到7階消失矩的提升矩陣為

式中:x和y分別為提升自由參數(shù)?？梢?，混合構造方法生成的多小波受到自由參數(shù)a,b,c,d,e,x和y的共同作用。圖 1為a=1，b=-0.8，c=1，d=2，e=1.5，x=2和y=1的多小波算例。從圖 1可以看到，該基函數(shù)呈現(xiàn)出明顯的振蕩衰減形狀，非常類似于由局部故障所引起的沖擊響應波形。與初始GHM多小波相比，經(jīng)混合構造后的新多小波各基函數(shù)差異性擴大，同時逼近階和消失矩都得到改善，其正則性、光滑性和局部定位能力得到極大的增強，使得其綜合特性得到提升，有利于它們在信號特征提取中的應用。

(a) 多尺度函數(shù)φ1(b) 多尺度函數(shù)φ2

(c) 多小波函數(shù)ψ1(d) 多小波函數(shù)ψ2圖1 混合構造多小波算例

Fig.1 Multiwavelets example by the hybrid construction method

3 改進局部故障域譜熵最小化原則的自適應基函數(shù)優(yōu)選方法

譜熵顧名思義即是譜的熵。對于信號包絡譜F={f(k)}，其包絡譜熵Sh(F)可計算為

(8)

局部性故障發(fā)生時，其時域波形常表現(xiàn)為周期性沖擊的調制信號，通過包絡譜可以有效檢測出沖擊的周期性。因此，為獲取與故障特征相關的基函數(shù)，可根據(jù)包絡譜熵來判定基函數(shù)匹配性能的好壞。由于不同類機械故障，其包絡譜將表現(xiàn)出不同的故障特征。針對常見的軸系、齒輪和軸承故障特征進行分類，研究局部故障域譜熵最小化原則并在自適應基函數(shù)優(yōu)選及故障征兆識別中展現(xiàn)出優(yōu)勢。工程實際中，軸系和齒輪故障均表現(xiàn)為與轉頻相關的特征，為此本文將局部故障域譜熵最小化原則中的軸系故障和齒輪故障進行合并，提出改進局部故障域譜熵最小化原則，簡化故障分類模式并減少基函數(shù)優(yōu)選時間，從而最佳匹配出待測信號中的動態(tài)故障特征。

(1)軸系和齒輪故障的局部故障域譜熵最小化原則

軸系故障的包絡譜主要表征為轉頻及其次倍頻。齒輪故障的包絡譜主要表現(xiàn)為齒輪轉頻(即旋轉軸轉頻)和嚙合頻率及其倍頻。為獲得有利于故障診斷的轉頻及其次倍頻信息，將軸系和齒輪故障的局部故障域定義為包含轉頻次頻到倍頻范圍，避開齒輪信號中較為明顯的嚙合頻率的影響。假設軸和齒輪的轉頻為f，齒輪嚙合頻率為fm，則該局部故障域ff定義為

ff=[fmin,fmax]

(9)

式中:fmin≤f/3且2f≤fmax

(2)軸承故障的局部故障域譜熵最小化原則

軸承故障的包絡譜主要譜線分別為明顯的工頻、軸承故障特征頻率及其倍頻。為有效提取出隱藏在背景噪聲中的軸承故障特征頻率，將滾動軸承故障特征頻率涵蓋的頻域定義為軸承局部故障域，避免工頻對于軸承故障診斷的影響。假設滾動軸承保持架、外圈、內圈和滾動體故障特征頻率分別為fc、fo、fi和fel，軸承局部故障域定義為

ff=[fc-Δ,fc+Δ]∪[fmin-Δ,fmax+Δ]

(10)

式中:fmin=min(fo,fi,fel)且fmax=max(fo,fi,fel);Δ為一個小的鄰域。

因此，針對不同的研究對象，可根據(jù)式(9)和式(10)計算局部故障域ff，利用式(8)的譜熵計算公式獲得局部故障域的平方包絡譜熵值，以改進局部故障域譜熵值最小化原則優(yōu)選內積匹配過程中的自適應基函數(shù)。

綜上所述，為有效識別機械故障特征，基于多小波混合構造框架的自適應基函數(shù)構造和改進局部故障域譜熵最小化原則的自適應基函數(shù)選擇過程見圖2。其中，選擇經(jīng)典遺傳算法為優(yōu)化工具，a，b，c，d，e范圍均為[10,0)∪(0,10]，x、y范圍設定為[-50,50]，選用算術交叉算子和非均勻變異算子，種群規(guī)模和初始種群個數(shù)分別設置為30，交叉概率設定為0.6，變異概率設定為0.05。可見，通過自適應基函數(shù)構造和選擇流程，可獲得性能優(yōu)越且與信號自適應的基函數(shù)及其合適的消失矩，同時可選定適宜的多小波包分析頻帶。

4 試驗信號分析

大型復雜動力裝備的滾動軸承運行在高速、重載和強沖擊等惡劣環(huán)境下，極易發(fā)生擦傷、點蝕、剝落和磨損等損傷類故障。滾動軸承故障診斷是典型的非平穩(wěn)信號處理與微弱信號特征識別問題。特別是軸承內圈故障，由于傳遞途徑遠、特征強弱變化不均以及強背景噪聲干擾等因素，使得它成為滾動軸承故障識別難點之一。為保障裝備安全運行，預防重大事故發(fā)生，將自適應多小波混合構造方法應用于大型復雜動力裝備軸承監(jiān)測診斷。

圖3 電力機車軸承內圈輕微擦傷故障

某電力機車軸承552732QT存在內圈輕微擦傷故障，如圖 3所示。將該軸承在機車滾動軸承試驗臺上進行測試。為盡可能模擬實際工況，采用液壓系統(tǒng)來驅動和加載，振動加速度傳感器安裝于軸承外圈垂直方向的加載模塊上，通過加載模塊對故障響應信號實現(xiàn)傳遞和削弱。測試時，轉軸的轉速為602 r/min，采樣頻率為12.8 kHz。根據(jù)轉速和軸承幾何參數(shù)，計算得到軸承保持架、外圈、內圈和滾動體故障特征頻率分別為4.25 Hz、72.39 Hz、98.17 Hz和64.88 Hz。

采集測試軸承運行的振動信號如圖 4所示。其時域和頻域信號成分豐富，難以識別出與軸承內圈損傷相關的故障特征。對該信號采用圖 2的基于混合構造框架的自適應多小波方法進行分析，采用多小波包2層分解，根據(jù)式(10)計算得到軸承局部故障域ff=[3,5]∪[60,102]。由此構造和優(yōu)選的多小波具有4階逼近階和3階消失矩，參數(shù)a=-7.46，b=-0.87，c=-5.06，d=-0.83，e=4.97，x=30.42和y=-15.65，且最優(yōu)的分析信號為多小波包分解后的第1頻帶第2分支信號，其分解信號及平方包絡譜如圖5所示。可以清晰看到，圖 5(a)的時域分析結果出現(xiàn)較為明顯的轉頻為間隔的周期性沖擊(黑色三角形示意)，且各沖擊附近出現(xiàn)若干間隔約為Ti=0.01 s的內圈故障沖擊特征。同時，圖 5(b)的包絡譜分析結果中出現(xiàn)突出的內圈故障特征頻率98.44 Hz及其二倍頻197.7 Hz。除此之外，軸承的轉頻10.13 Hz及其倍頻也相當明顯。

采用非自適應GHM多小波、與自適應多小波消失矩相同的db3單小波對測試信號進行對比分析。為統(tǒng)一比較，對比基函數(shù)的分解輸出頻帶均與自適應多小波相同。由于包絡譜分析更利于軸承故障識別，為此將各對比方法的平方包絡譜顯示如圖 6所示。圖中除了明顯的軸承轉頻及其諧波分量外，沒有突出的軸承內圈故障特征頻率，無法為軸承故障的合理診斷提供有力依據(jù)?？梢姡疚乃岢龅淖赃m應多小波混合構造方法可以有效地提取與識別復雜背景干擾下的軸承內圈微弱損傷特征，同時軸承故障的局部故障域譜熵最小原則可以很好地避免工頻成分的干擾，有利于故障特征清晰提取與故障準確診斷。

圖4 測試軸承振動信號

圖5 測試軸承振動信號的自適應多小波分析結果

圖6 測試軸承振動信號的對比分析結果

5 工程實例

某煉油廠空氣分離壓縮機組由電機、齒輪箱、壓縮機等組成，并設計止推夾板用于斜齒輪嚙合傳動時軸向力傳遞，其結構簡圖如圖 7所示。機組在某次大修后開機發(fā)現(xiàn)齒輪箱振動劇烈，并伴隨尖叫聲，但機組整體軸向振動不大，并且軸瓦溫度正常。為此，采用加速度傳感器對機組進行監(jiān)測診斷，采樣頻率設置為15 000 Hz，齒輪箱低速軸和高速軸轉頻分別為49.75 Hz和212.99 Hz，齒輪嚙合頻率為6 815.75 Hz。圖 8為采集的齒輪箱5#測點的振動信號及其頻譜，其時域信號呈現(xiàn)強烈振蕩特性，頻譜中存在三個主頻率，并伴隨高速軸轉頻213 Hz的邊頻帶。據(jù)此只能推測該機組故障與齒輪箱高速軸或其小齒輪相關，無法獲得更為準確的故障信息。

圖7 空氣分離壓縮機結構圖

圖8 空氣分離壓縮機組振動信號

為更好地提取機組故障特征為故障確診提供依據(jù)，采用自適應多小波混合構造方法按照圖 2的分析流程對該機組振動信號進行分析，其中實施1層多小波包分解，根據(jù)式(9)設計軸系和齒輪故障的局部故障域ff=[60,500]。由此構造和選擇的多小波具有4階逼近階和7階消失矩，參數(shù)a=6.29，b=4.12，c=5.02，d=-8.21，e=-7.87，x=-8.26和y=4.54，且最優(yōu)分析結果為多小波分解后的第2頻帶第1分支信號，如圖 9 (a)所示。為利于故障特征的多維度表征，輸出同頻帶第2分支信號，如圖 9(b)所示。從圖 9 可以看到，最優(yōu)的第1分支結果中出現(xiàn)了一系列在間隔周期上具有規(guī)律性的沖擊特征I1和I2，其時間間隔以T1=4 ms和T2=5.4 ms交替出現(xiàn)。并且，T1和T2的平均周期為4.7 ms，對應于高速軸旋轉周期。更加重要的是，每組I1或I2之間的時間間隔T1+T2=9.4 ms恰好為高速軸旋轉周期的2倍，即對應于高速軸轉頻的1/2。同時，第2分支結果表現(xiàn)為明顯的幅值調制特征，其調制周期T3同為4.7 ms，而載波周期T4約為0.675 ms，即約為1 481.5 Hz，對應于圖 8(b)的三個主頻率之一。同樣，采用GHM多小波和db7單小波進行對比分析，兩者輸出頻帶均與自適應多小波相同，如圖10(a)和圖10(b)所示。對比分析結果較為雜亂，僅存在幾處不夠清晰的沖擊特征。同時，輸出對比結果的包絡譜如圖11(a)和圖11(b)所示。兩種包絡譜中轉頻及二倍頻均較為突出，雖然存在轉頻的1/2次諧波分量，但其在包絡譜中不是十分明顯。

圖9 空氣分離壓縮機組振動信號的自適應多小波分析結果

圖10 空氣分離壓縮機組振動信號的對比分析結果

圖11 空氣分離壓縮機組振動信號的對比分析結果包絡譜

由于頻譜中與齒輪局部故障相關的齒輪嚙合頻率并不明顯，且調制分析結果中調制頻率也并非齒輪嚙合頻率，因此可以推斷齒輪本身并沒有局部損傷，而是與其轉頻相關的故障。研究表面，旋轉機械的碰摩故障往往表征為1/2倍工頻的次諧波頻率特征[17]。結合現(xiàn)場齒輪箱劇烈振動、刺耳尖叫聲以及所提取的故障征兆，可以判斷該機組齒輪箱高速軸小齒輪附近存在碰摩故障，同時存在外力碰撞使得每旋轉一周出現(xiàn)一次沖擊特征，并激發(fā)幅值調制現(xiàn)象。

通過對圖7的機組結構仔細分析發(fā)現(xiàn)，止推夾板設計存在缺陷。由于加工和安裝誤差，小齒輪兩側的止推夾板與大齒輪端面不是嚴格平行，致使機組運行中大齒輪與止推夾板之間產生碰撞與摩擦，其中碰撞導致小齒輪每旋轉一周內出現(xiàn)一次沖擊，進而誘發(fā)信號中的幅值調制現(xiàn)象，而摩擦所衍生的非線性因素造成沖擊間隔的規(guī)律性變化以及1/2次諧波頻率的碰摩征兆。故障確診后，重新裝配齒輪箱并打磨止推夾板與大齒輪接觸面，開機后振動明顯降低，尖叫聲消失。以上機組故障現(xiàn)象與診斷分析結果一致，工程實例顯示基于自適應多小波混合構造方法可以有效提取沖擊和碰摩故障特征以及幅值調制的復合故障多重特征，而對比方法難以實現(xiàn)故障征兆的有效提取以及正確故障診斷。

6 結 論

(1)為實現(xiàn)優(yōu)良性質基函數(shù)的構造，本文提出基于兩尺度相似變換和提升方法相結合的自適應多小波混合構造框架。首先采用兩尺度相似變換對原始多小波進行多次改造，獲得具有高階逼近階的多尺度函數(shù)，提高多尺度函數(shù)逼近性能和分析精度。然后采用提升變換對改造后性能欠佳的多小波函數(shù)進行改善，獲得消失矩涵蓋多階次的多小波函數(shù)，增強多小波正則性、光滑性和局部定位能力。由此構造出兼具優(yōu)越逼近階和多階消失矩特性的自適應多尺度函數(shù)和多小波函數(shù)，為復雜動態(tài)信號中微弱和復合故障特征提取與識別提供優(yōu)良性質自適應基函數(shù)及診斷手段。

(2)鑒于軸系和齒輪的故障特征相似性，提出改進局部故障域譜熵最小化原則，實現(xiàn)軸系、齒輪和軸承故障的分門別類優(yōu)選，簡化故障分類模式并減少基函數(shù)優(yōu)選時間，從而優(yōu)選出與待測動態(tài)信號故障特征相匹配的最優(yōu)基函數(shù)，實現(xiàn)基于內積變換原理的故障特征準確提取與合理診斷。

(3)將本文方法應用于電力機車軸承故障識別，有效地提取與識別復雜背景噪聲干擾下的軸承內圈微弱損傷特征，同時軸承故障的局部故障域譜熵最小化原則可以很好地避免工頻成分的干擾，有利于故障特征清晰提取與準確診斷。同時將該方法應用于空氣分離壓縮機組故障診斷，有效提取出1/2次諧波的規(guī)律性沖擊序列特征以及幅值調制特征，成功診斷出齒輪箱止推夾板碰撞與摩擦的多特征復合故障。

(4) 特別需要指出的是，優(yōu)化時間較長是自適應多小波構造中最大缺點。因此本方法更加適合離線精密故障診斷，在工程實踐中可通過選用更快捷的優(yōu)化算法來提升運算速度。同時，當診斷分析精度要求不高時，建議將提升變換中消失矩優(yōu)選范圍縮小為5～7階。

[ 1 ] 何正嘉，袁靜，訾艷陽. 機械故障診斷的內積變換原理與應用[M]. 北京：科學出版社，2012.

[ 2 ] 程正興，張玲玲. 多小波分析與應用[J]. 工程數(shù)學學報，2011，18(1)：99-107. CHENG Zhengxing, ZHANG Lingling. Analysis of multiwavelet and application[J]. Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2011，18(1)：99-107.

[ 3 ] Daubechies I. Ten lectures of wavelets[C]//CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics. Society for Industrial and Applied Mathematics: Philadelphia, 1992.

[ 4 ] 吳宏鋼，秦毅，秦樹人.基于重分配配算法和奇異值分解的多小波脊線提取[J].振動與沖擊, 2009, 28(12): 9-11. WU Honggang, QIN Yi, QIN Shuren. Multiwavelet ridge extraction based on reassigning algorithm and singular value decomposition[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(12): 9-11.

[ 5 ] 張建宇，李文斌，張隨征，等. 多小波自適應閾值降噪在故障診斷中的應用[J]. 北京工業(yè)大學學報，2013，39(2)：166-173. ZHANG Jianyu, LI Wenbin, ZHANG Suizheng, et al. Application of multiwavelet adaptive threshold denoising in fault diagnosis[J]. Journal of Beijing University of Technology, 2013，39(2)：166-173.

[ 6 ] JIANG H H, Li C, L H. An improved EEMD with multiwavelet packet for rotating machinery multi-fault diagnosis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2013, 36: 225-239.

[ 7 ] STRELA V. Multiwavelets: theory and application[D]. Cambridge: Massachusetts Institute of Technology, 1996.

[ 8 ] YUAN J, HE Z J, ZI Y Y, et al. Adaptive multiwavelets via two-scale similarity transforms for rotating machinery fault diagnosis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2009, 23 (5): 1490-1508.

[ 9 ] DAVIS G, STRELA V, TURCAJOVA R. Multiwavelet construction via the lifting scheme[C]// Wavelet Analysis and Multiresolution Methods, T-X He, Ed New York: Marcel Dekker,1999, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, 1999.

[10] WANG X D, ZI Y Y, HE Z J. Multiwavelet construction via an adaptive symmetric lifting scheme and its applications for rotating machinery fault diagnosis[J]. Measurement Science and Technology, 2009, 20, 045103.

[11] KEINERT F. Raising multiwavelet approximation order through lifting[J]. SIAM. J. MATH. ANAL, 2001, 32: 1032-1049.

[12] YUAN J, HE ZJ, ZI YY, et al. Construction and selection of lifting-based multiwavelets for mechanical fault detection[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2013, 40: 571-588.

[13] CHEN J L, ZUO M J, ZI Y Y, et al. Construction of customized redundant multiwavelet via increasing multiplicity of fault detection of rotating machinery[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2014, 42: 206-224.

[14] 袁靜，何正嘉，訾艷陽. 基于提升多小波的機電設備復合故障分離和提取[J]. 機械工程學報，2010, 46 (1): 79-85. YUAN Jing, HE Zhengjia, ZI Yanyang. Separation and extraction of electromechanical equipment compound faults using lifting multiwavelets[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010, 46 (1): 79-85.

[15] GERONIMO J S, HARDIN D P, MASSOPUST P R. Fractal functions and wavelet expansions based on several scaling functions[J]. Journal of Approximation Theory, 1994, 78:373-401.

[16] 屈梁生. 機械故障的全息診斷原理[M]. 北京：科學出版社，2007.

[17] CHU F L, LU W X. Experimental observation of nonlinear vibrations in a rub-impact rotor system[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 283(3/4/5)：621-643.

Adaptive multiwavelet hybrid construction method and applications in fault diagnosis

YUAN Jing1, WEI Ying1, ZI Yanyang2, WANG Zhicheng1, NI Xiuhua1

(1. Shanghai Radio Equipment Research Institute，Shanghai 200090, China；2. State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Vanishing moments and approximation orders of basis functions are both the important properties in the wavelet theory. The traditional adaptive multiwavelet construction methods can only reform either vanishing moments or approaching orders. Meanwhile, their time-frequency characteristics and waveform differences among the new multiple basis functions are quite small to lead to difficulties of efficiently adaptive extraction and identification of complex dynamic faults. Thus, the adaptive multiwavelet hybrid construction method combined with the two-scale similarity transformation and the lifting transformation was proposed. Using linear and nonlinear combinations of multi-scaling wavelet functions to extend the construction space, the multi-scaling functions with higher approximation orders and the multi-wavelet functions covered with multiple vanishing moments were obtained to enhance the regularity, smoothness, capability of signal approaching and local positioning, and to improve the signal analysis accuracy. It provided adaptive basis functions with super properties and a diagnosis method for weak and compound fault features extraction and identification. For the optimal selection of adaptive basis functions, the improved local fault field spectral entropy minimization rules were proposed to classify typical shaft systems, gear and rolling bearing faults and to simplify fault-classifying modes. The engineering applications showed that the method can effectively identify bearing weak inner-race damages under complex background noise, and successfully diagnose impact and rubbing compound faults with multiple features from thrust splints of gearbox in air-compressors.

multiwavelet; two-scale similarity transformation; lifting transformation; feature extraction; fault diagnosis

國家自然科學基金(51405301);上海市青年科技啟明星計劃(16QB1403700)

2015-09-14 修改稿收到日期：2015-11-10

袁靜 女，博士，高級工程師，1983年生

TH17