邱若臻,苑紅濤,黃小原

(東北大學(xué)工商管理學(xué)院，遼寧 沈陽 110169)

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基于似然估計的零售商庫存魯棒均值-風(fēng)險模型

邱若臻,苑紅濤,黃小原

(東北大學(xué)工商管理學(xué)院，遼寧 沈陽 110169)

針對具有風(fēng)險厭惡的零售商，建立了權(quán)衡期望利潤和條件風(fēng)險值(CVaR)的均值-風(fēng)險庫存優(yōu)化模型,給出了離散需求分布不確定條件下能實現(xiàn)帕累托最優(yōu)但具有較高保守性和非帕累托最優(yōu)但具有較低保守性的兩種魯棒對應(yīng)。針對不確定需求分布,在僅知?dú)v史需求樣本數(shù)據(jù)情況下，應(yīng)用統(tǒng)計推斷理論構(gòu)建了滿足一定置信水平的基于似然估計的需求概率分布不確定集。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用拉格朗日對偶理論，將上述兩種魯棒對應(yīng)模型轉(zhuǎn)化為易于求解的凹優(yōu)化問題，并證明了其與原問題的等價性。最后，針對實際案例進(jìn)行了數(shù)值計算，分析了不同系統(tǒng)參數(shù)和樣本規(guī)模對零售商最優(yōu)庫存決策及其運(yùn)作績效的影響，并給出了零售商期望利潤和條件風(fēng)險值兩個目標(biāo)權(quán)衡的帕累托有效前沿。結(jié)果表明，采用基于似然估計的魯棒優(yōu)化方法得到的零售商庫存策略具有良好魯棒性，能夠有效抑制需求分布不確定性對零售商庫存績效的影響。而且，歷史需求樣本規(guī)模越大，魯棒庫存策略下的零售商運(yùn)作績效越接近最優(yōu)情況。進(jìn)一步，通過對比發(fā)現(xiàn)，兩種魯棒對應(yīng)模型雖然保守性不同，但在最終庫存策略上保持一致。

庫存；不確定性；均值-風(fēng)險模型；魯棒優(yōu)化；似然估計

1 引言

作為供應(yīng)鏈管理領(lǐng)域的基礎(chǔ)之一，零售商庫存控制問題長期以來一直是供應(yīng)鏈建模與優(yōu)化研究關(guān)注的重點(diǎn)[1-3]。然而，市場環(huán)境的復(fù)雜多變和產(chǎn)品生命周期的縮短，使得企業(yè)運(yùn)作過程中的不確定性日益增加，這種不確定性一方面加劇了經(jīng)營者對市場需求預(yù)測的難度，另一方面也對企業(yè)制定最優(yōu)庫存策略提出了挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)庫存方面的研究大多假設(shè)模型中需求參數(shù)服從某一已知分布，通過優(yōu)化期望利潤或成本方式獲取最優(yōu)策略。然而，在現(xiàn)實中通常難以獲得精確的需求分布信息，特別是對于短生命周期產(chǎn)品。Roy[4]指出，對于模型參數(shù)的任一錯誤假設(shè)，都可能引起最終績效的嚴(yán)重偏差。這就促使企業(yè)決策者在日常運(yùn)營中采取一種具有魯棒性的策略來應(yīng)對不確定性擾動。

作為有效解決不確定性問題的建模方法，魯棒優(yōu)化近年來廣受關(guān)注[5-6]。在庫存管理領(lǐng)域，Scarf[7]最早嘗試處理庫存控制問題中的需求分布自由(Distribution Free)問題，給出了僅知需求均值與方差條件下，基于最小最大魯棒建模準(zhǔn)則的零售商訂貨策略。在此基礎(chǔ)上，Perakis和Roels[8]在知道需求部分信息(區(qū)間、均值、方差等)下，采用最小最大后悔值準(zhǔn)則研究了魯棒訂貨策略。Zhang Muhong[9]采用同樣的方法研究了需求屬于區(qū)間不確定集下的魯棒訂貨批量問題。最近，Qiu Ruozhen等[10]采用魯棒優(yōu)化方法研究了離散需求概率分布隸屬于區(qū)間和橢球不確定集下的風(fēng)險厭惡報童訂貨問題。然而，無論是不確定參數(shù)相關(guān)矩信息還是不確定集的精確指定，通常需要企業(yè)決策者具備專業(yè)的知識，從而降低了其應(yīng)用性。近十年來，作為大數(shù)據(jù)革命的重要組成部分，數(shù)據(jù)可得性問題在運(yùn)作研究領(lǐng)域受到人們的普遍關(guān)注[11]。在這種日益增加的數(shù)據(jù)可得性驅(qū)使下，一些學(xué)者開始在運(yùn)營管理領(lǐng)域應(yīng)用數(shù)據(jù)驅(qū)動方法進(jìn)行研究。Klabjan等[12]將數(shù)據(jù)擬合和庫存優(yōu)化集成，提出了一種最小最大魯棒模型，給出了最優(yōu)庫存控制策略。Ben-Tal等[13]針對僅知需求歷史數(shù)據(jù)的報童問題，借助φ-散度函數(shù)構(gòu)建了一定置信水平下的未知參數(shù)的不確定集，給出了多物品報童魯棒優(yōu)化模型。Levi等[14]針對報童模型，在考慮抽樣成本基礎(chǔ)上，采用樣本平均近似方法分析了需求分布未知下的報童策略。由于在處理不確定性方面的有效性，魯棒優(yōu)化被廣泛用于具有有限需求信息的庫存控制問題[15-16]。

不確定性是一個與風(fēng)險息息相關(guān)的概念。根據(jù)Simangunsong等[17]，不確定性用來描述不知道確切產(chǎn)出的狀態(tài)，而風(fēng)險則是度量這一不確定性帶來的不利情況的概念。不確定性導(dǎo)致風(fēng)險，風(fēng)險屬于不希望不利產(chǎn)出發(fā)生的可能性[18]。為了應(yīng)對供應(yīng)鏈運(yùn)作中的風(fēng)險問題，不少學(xué)者給出了相應(yīng)的度量方法和應(yīng)對策略[19]。實證研究也進(jìn)一步表明，決策者實際采用的運(yùn)作策略并不總是與基于期望利潤或成本的策略一致[20]。這一觀點(diǎn)驅(qū)動決策者采用一定的風(fēng)險測度對不確定性導(dǎo)致的風(fēng)險進(jìn)行建模。在風(fēng)險度量方面，條件風(fēng)險值滿足一致風(fēng)險測度所要求的單調(diào)性、次可加性、平移不變性和正齊次性，近年來受到許多學(xué)者關(guān)注。Hanasusanto等[21]研究了多峰需求分布下基于CVaR的多物品魯棒訂貨問題，并給出了有效求解算法。Wu Meng等[22]研究了考慮隨機(jī)缺貨成本的報童問題，與基于風(fēng)險值(VaR)約束的訂貨量相比，CVaR準(zhǔn)則將導(dǎo)致更低的訂貨量。Wu Meng等[23]通過研究CVaR準(zhǔn)則下具有數(shù)量和價格競爭的報童問題發(fā)現(xiàn)，訂貨量、銷售價格和期望利潤隨著風(fēng)險厭惡程度的增加均呈下降趨勢。

對不確定性及其導(dǎo)致的風(fēng)險問題的關(guān)注，引發(fā)了供應(yīng)鏈風(fēng)險管理框架下的魯棒優(yōu)化問題研究。魯棒優(yōu)化研究的關(guān)鍵是針對原問題產(chǎn)生易于求解的魯棒對應(yīng)，這通常涉及到不確定性描述方法。與傳統(tǒng)采取7不確定參數(shù)矩信息或事先指定的不確定集描述方法不同，本文在歷史需求數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，采用基于似然估計的統(tǒng)計推斷方法構(gòu)建隨機(jī)需求概率的似然魯棒分布集合，在均值-CVaR準(zhǔn)則下研究零售商庫存控制問題，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為易于求解的數(shù)學(xué)規(guī)劃，分析系統(tǒng)參數(shù)對零售商庫存決策和運(yùn)作績效的影響。

2 不確定需求概率下基于均值-CVaR的零售商庫存魯棒對應(yīng)模型

考慮單周期環(huán)境下，銷售某一易逝品的風(fēng)險厭惡零售商庫存控制問題。零售商作為庫存管理者，面臨不確定的隨機(jī)市場需求d。在銷售季節(jié)開始前，零售商以單位價格c向制造商訂購q單位產(chǎn)品；銷售期開始，零售商以單位價格p出售產(chǎn)品；在銷售期末，對于未滿足市場需求的部分，零售商將招致單位缺貨損失h；而對于超出市場需求的部分，零售商以單位殘值s將其處理。不失一般性，假設(shè)p>c>s。

π(q;d)=pmin(q,d)+s(q-d)+-h(d-q)+-cq

(1)

其中，△+=max{△，0}。

在風(fēng)險中性條件下，零售商的最優(yōu)訂貨量為q*=argmax{E[π(q;d)]}(E[·]是期望算子)。本文考慮具有風(fēng)險厭惡態(tài)度的零售商，采用均值-CVaR衡量其績效。對于給定訂貨量q，零售商利潤π(q;d)不低于閾值α的概率為：

ψ(q,α)=Pr{π(q;d)≥α}

(2)

在給定水平1-β∈(0,1)下，零售商利潤的風(fēng)險值為：

VaRβ(q)=sup{α∈R|ψ(q,α)≥1-β}

(3)

式(3)表明零售商利潤將以不低于1-β的概率高于某一數(shù)值α。在式(3)基礎(chǔ)上，零售商利潤的條件風(fēng)險值定義為：

CVaRβ(q)=bVaRβ(q)+(1-b)CVaRβ(q)+

(4)

(5)

在均值-CVaR準(zhǔn)則下，零售商優(yōu)化問題為：

(6)

其中，λ(λ∈[0,1]為悲觀系數(shù)，λ越低，反映了決策者傾向于獲得高利潤。注意到，當(dāng)λ=0時，式(6)等價于期望利潤最大化問題；當(dāng)λ=1時，式(6)等價于條件風(fēng)險值最大化問題。為了給出不確定需求分布下式(6)的魯棒對應(yīng)，定義最壞分布下的條件風(fēng)險值和期望利潤分別為：

(7)

(8)

其中，Φ為不確定概率p的集合。則不確定概率分布下，問題(6)的魯棒對應(yīng)為：

(9)

式(9)體現(xiàn)了最壞情況條件風(fēng)險值和最壞情況期望利潤之間的權(quán)衡，因此，該決策準(zhǔn)則下的最優(yōu)策略滿足帕累托最優(yōu)。需要注意的是，對應(yīng)于最壞條件風(fēng)險值和最壞期望利潤的概率分布p可能并不相同。在不同參數(shù)λ下，可以計算出相應(yīng)的帕累托有效邊界。由于式(9)分別考慮了對應(yīng)于條件風(fēng)險值和期望利潤的最壞需求概率分布，因此，依此得到的最優(yōu)策略具有較高的保守性。進(jìn)一步，可以考慮下述具有較低保守性的問題(6)的魯棒對應(yīng)：

(10)

式(10)雖然要求存在一種最壞分布使得條件風(fēng)險值和期望利潤加權(quán)之和目標(biāo)最小，但由于這種最壞分布及對應(yīng)的條件風(fēng)險值和期望利潤將隨參數(shù)λ的變化而變化，因此，式(10)并不是帕累托有效的決策準(zhǔn)則。后面數(shù)值計算表明，通過優(yōu)化式(9)和式(10)，可以得到相同的最優(yōu)庫存策略。因此，本文選擇式(9)這一具有較高保守性，但能實現(xiàn)帕累托最優(yōu)的決策準(zhǔn)則。式(9)等價于如下問題：

ui≥α-π(q;di),i=1,…,n

ui≥0,i=1,…,n

(11)

其中，(q,θ,α,u)∈R×R×R×Rn。注意到，問題(11)中含有未知概率向量p，難以直接求解。下一節(jié)將結(jié)合統(tǒng)計學(xué)中的似然估計原理，針對不確定需求概率，構(gòu)建滿足一定置信水平的置信域，從而將問題(11)轉(zhuǎn)化為易于求解的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。

3 基于似然估計的不確定需求概率的置信域構(gòu)建

對于問題(11)第一個約束條件中的未知參數(shù)p，已有研究大多采用不確定集(區(qū)間、橢球或多面體等)進(jìn)行描述，這需要對不確定集的精確指定。本文借助隨機(jī)需求的歷史數(shù)據(jù)，結(jié)合似然估計原理，構(gòu)建滿足一定置信水平的不確定需求概率的置信域。

(12)

其中，p=(p1,p2,…,pn)T。隨機(jī)變量ε概率分布的極大似然估計可通過下面優(yōu)化問題得出：

(13)

然而，基于問題(13)的概率(極大似然)估計并不能保證與真實的概率分布一致。為了解決這一問題，定義包含真實概率分布的似然魯棒分布集如下：

(14)

其中，參數(shù)r的合理選取將使得式(14)具有統(tǒng)計學(xué)意義。Wang Zizhuo等[26]分析了式(14)所示似然魯棒分布集在統(tǒng)計學(xué)上的漸進(jìn)屬性，并給出了參數(shù)r最優(yōu)選取標(biāo)準(zhǔn)為

(15)

從而使得隨機(jī)變量ε的真實概率分布以1-φ的置信度落在式(14)集合內(nèi)，即

(16)

企業(yè)的合并重組，通常會對其經(jīng)營模式帶來改變，其財務(wù)管理機(jī)制也將受到影響。例如，生產(chǎn)型企業(yè)與銷售型企業(yè)合并后，新企業(yè)的經(jīng)營范圍將大幅擴(kuò)展。若生產(chǎn)型企業(yè)占據(jù)了主導(dǎo)地位，則財務(wù)部門的管理范圍將向銷售、儲運(yùn)等環(huán)節(jié)延展。反之亦然。但在這一過程中，財務(wù)資源會密集交接，人員變更將更為頻繁。傳統(tǒng)的財務(wù)管理機(jī)制，無法應(yīng)對規(guī)模擴(kuò)大、審核延長等管理體系的變化。

4 基于似然估計的零售商庫存魯棒優(yōu)化模型

假設(shè)零售商僅觀測到n個可能的需求情景d1,d2,…dn，并且得到關(guān)于需求情景的N個樣本，N=N1+N2+…+Nn，Ni(i=1,2,…,n)表示情景di發(fā)生的次數(shù)。根據(jù)式(14)，在置信水平1-φ下構(gòu)建需求概率分布p的置信域如下：

(17)

下述引理1給出了問題(11)中最小化約束條件的等價描述。

引理1：在式(17)需求概率置信域下，問題(11)約束中兩個最小化問題，即：

s.t. p∈ρ

(18)

和

s.t. p∈ρ

(19)

分別等價于如下問題(20)和(21)，即：

(20)

(21)

證明：對于問題(18)，其拉格朗日定義為：

相應(yīng)的拉格朗日對偶函數(shù)為：

考慮如下優(yōu)化問題：

ui≥α-π(q;di),i=1,…,n

ui≥0,i=1,…,n

w≥0,φ≥0.

(22)

其中，(θ,q,α,u,w,η,φ,ζ)∈R×R×R×Rn×R×R×R×R。

性質(zhì)1：如果利潤函數(shù)π(q;d)是一個凹函數(shù)，則問題(22)是一個凹優(yōu)化問題。

下述定理1表明，求解不確定需求概率分布下的零售商庫存魯棒均值-風(fēng)險問題(11)等價于求解問題(22)。

為了比較式(9)和式(10)兩種不同的魯棒對應(yīng)模型，根據(jù)朗格朗日對偶，將問題(10)轉(zhuǎn)化為如下等價性問題：

ui≥α-π(q;di),ui≥0,i=1,2,…,n

e≥0

(23)

5 數(shù)值算例與分析

為了驗證基于似然估計的魯棒庫存均值-風(fēng)險模型在處理需求概率分布不確定性方面的有效性，以某生鮮食品超市的某類海鮮產(chǎn)品為例，對問題(22)和(23)進(jìn)行數(shù)值計算。模型中相關(guān)參數(shù)取值如下：p=37，c=20,h=6,s=15,φ=0.05。根據(jù)超市提供的銷售記錄，隨機(jī)需求情景d={56,66,72,79,82,93,108,111,125,150}，即n=10。在歷史需求數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上估計概率向量為p0=(0.0684,0.1285,0.0567,0.0547,0.1395,0.1433,0.1356,0.1255,0.0567,0.0911)T。為了比較基于文中方法得到的庫存策略的魯棒性，不失一般性，假設(shè)p0為真實概率分布。

表1 真實需求分布p0下，不同參數(shù)λ和β下的最優(yōu)訂貨量

表2 真實需求分布p0下，不同參數(shù)λ和β下的均值-風(fēng)險績效

表3 不同參數(shù)樣本規(guī)模N和λ下魯棒訂貨量

(1) 對于真實需求概率分布p0，在不同參數(shù)λ和β下，通過優(yōu)化求解式(6),得最優(yōu)庫存策略和均值-風(fēng)險績效分別如表1和表2所示。由表1可以看出，在給定β下，最優(yōu)庫存策略隨著參數(shù)λ的增加總體上呈現(xiàn)下降趨勢，λ越大，說明決策者越悲觀，因此會持有較低的庫存量。然而，這種庫存量決策在某些λ和β數(shù)值下變化并不明顯，例如當(dāng)λ≤0.5時，最優(yōu)庫存量并不受參數(shù)λ和β的影響，這是由于在較低的λ下，決策者將更高的權(quán)重賦予期望利潤表達(dá)式，而零售商期望利潤明顯高于其條件風(fēng)險值，在這種情況下，零售商最終訂貨決策不受條件風(fēng)險值度量CVaRβ(π(q;d))影響。在較高的λ(λ≥0.6)下，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)庫存策略隨將受參數(shù)β影響，說明此時CVaRβ(π(q;d))表達(dá)式在整個決策中將起主要作用。由表2可以看出，在給定參數(shù)β下，整個系統(tǒng)績效隨λ的增加呈降低趨勢，這是由于λ越大，決策者更傾向于獲得較低的績效；而在給定參數(shù)λ下，系統(tǒng)績效隨參數(shù)β的增加而增加，注意到，在條件風(fēng)險值度量準(zhǔn)則下，β衡量了決策者的風(fēng)險厭惡程度，β越小，決策者風(fēng)險厭惡程度越高，越傾向于獲得較低的績效，反之亦然。特別地，λ=0時，對應(yīng)于期望利潤最大化問題，此時系統(tǒng)績效將不受參數(shù)β影響。

(2) 在不確定需求分布條件下，根據(jù)真實需求分布p0，在歷史銷售記錄基礎(chǔ)上隨機(jī)產(chǎn)生不同規(guī)模的需求樣本N，N=50, 100, 200, … ,1000。在不同規(guī)模的樣本下，通過求解問題(22)，分別計算了β=0.01和β=0.05，λ=0.3和λ=0.7時的零售商訂貨量及相應(yīng)系統(tǒng)績效，結(jié)果如表3和圖1-圖2所示。

圖1 β=0.01時不同樣本規(guī)模下的系統(tǒng)績效

圖2 β=0.05時不同樣本規(guī)模下的系統(tǒng)績效

由表3可以看出，在給定參數(shù)β下，λ值越大，零售商越傾向于依據(jù)條件風(fēng)險值這一風(fēng)險厭惡度量指標(biāo)進(jìn)行決策，因此訂貨量越小，反之亦然。特別地，在較大樣本規(guī)模N下，零售商訂貨量接近于真實分布下的最優(yōu)訂貨量(111和82)。由圖1和圖2可以看出，在相應(yīng)的β數(shù)值下，λ越大，系統(tǒng)績效越低。隨著樣本規(guī)模N的增加，系統(tǒng)績效變化趨勢趨向平穩(wěn)。特別地，對比表2發(fā)現(xiàn)，N越大，在真實需求分布下，采取魯棒訂貨決策時的系統(tǒng)績效越接近最優(yōu)情況(1189.22和931.95)，說明樣本規(guī)模的增加能夠顯著提高決策的精確度。進(jìn)一步，由于式(9)魯棒對應(yīng)是滿足帕累托最優(yōu)的決策準(zhǔn)則，為了獲得條件風(fēng)險值和期望利潤兩個指標(biāo)之間權(quán)衡的帕累托有效前沿，針對問題(22),計算了樣本規(guī)模N=100，β=0.05下，當(dāng)λ在[0.1，0.9]范圍內(nèi)變動時的條件風(fēng)險值和期望利潤，從而得到帕累托有效前沿如圖3所示。圖3中曲線上的任意一點(diǎn)對應(yīng)的決策都是帕累托最優(yōu)的。圖3同樣表明，隨著λ的增加，零售商利潤的條件風(fēng)險值越大，而對應(yīng)的期望利潤越低。根據(jù)文[24]，零售商利潤的條件風(fēng)險值總是低于其期望利潤，因此，λ越大，條件風(fēng)險值和期望利潤的加權(quán)之和越小，即系統(tǒng)總績效越低，與圖1和圖2結(jié)果一致。

圖3 條件風(fēng)險值和期望利潤權(quán)衡的帕累托有效前沿

(3)根據(jù)前文分析，式(9)魯棒對應(yīng)雖然是帕累托最優(yōu)決策準(zhǔn)則，但同式(10)相比，同樣具有較高的保守性。為了說明這一點(diǎn)，對式(10)的等價性問題(23)進(jìn)行求解。假設(shè)樣本規(guī)模N=100，β=0.05，λ在[0,1]范圍內(nèi)取值。與問題(22)的對比性結(jié)果如表4所示，其中，q22和q23分布表示問題(22)和(23)的最優(yōu)訂貨量決策,θ22和θ23分別表示問題(22)和(23)的最優(yōu)績效。由表4可以看出，式(9)和式(10)兩種魯棒對應(yīng)下的訂貨量決策相等，但式(9)得到的系統(tǒng)績效θ22要低于式(10)的系統(tǒng)績效θ23，與前文分析一致。

表4 不同魯棒對應(yīng)下的訂貨量和系統(tǒng)績效

6 結(jié)語

對于銷售單一商品的風(fēng)險厭惡零售商，在均值-CVaR準(zhǔn)則下研究了離散需求分布不確定條件下的零售商庫存優(yōu)化問題，給出了能實現(xiàn)帕累托最優(yōu)但具有較高保守性和非帕累托最優(yōu)但具有較低保守性的兩種魯棒對應(yīng)模型。對于不確定需求分布，在僅知需求歷史數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，運(yùn)用統(tǒng)計推斷理論構(gòu)建了滿足一定置信水平的基于似然估計的需求概率不確定集。通過拉格朗日對偶理論，將上述兩種魯棒對應(yīng)模型轉(zhuǎn)化為易于求解的凹優(yōu)化問題?；趯嶋H案例的數(shù)值結(jié)果表明，需求分布不確定性雖然會導(dǎo)致零售商庫存績效損失，但損失值很?。浑S著需求樣本規(guī)模增加，魯棒訂貨決策下的系統(tǒng)績效越接近最優(yōu)情況。進(jìn)一步，當(dāng)比較分析兩種具有不同保守性的魯棒對應(yīng)模型時發(fā)現(xiàn)，滿足帕累托最優(yōu)的魯棒對應(yīng)雖然具有較高的保守性，但其訂貨量決策與具有較低保守性的魯棒對應(yīng)模型一致。上述結(jié)果表明：①當(dāng)庫存決策者缺乏精確的需求分布信息時，文中提出的魯棒優(yōu)化方法將有助于庫存管理者制定有效的庫存策略，從而抑制不確定性對庫存績效的影響；②在日常經(jīng)營過程中，企業(yè)應(yīng)注重對需求數(shù)據(jù)的記錄，確保獲得足夠規(guī)模的樣本，從而實現(xiàn)改進(jìn)庫存策略的目的；③針對式(9)和(10)兩種魯棒對應(yīng)，管理者可選擇式(9)作為決策準(zhǔn)則，雖然其保守性較高，但依此做出的庫存策略與式(10)一致，并且通過優(yōu)化式(9)得到的任何一組期望利潤和條件風(fēng)險值都是pareto最優(yōu)的。未來，可以考慮多產(chǎn)品銷售情況，結(jié)合相應(yīng)的資金約束，或者考慮市場需求服從某一未知連續(xù)分布，構(gòu)建基于似然估計的魯棒優(yōu)化模型。此外，考慮多周期環(huán)境下的庫存動態(tài)運(yùn)作問題也是未來的研究方向。

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RobustMean-Risk Model for Retailer Inventory Problem Based on Likelihood Estimation

QIU Ruo-zhen, YUAN Hong-tao, HUANG Xiao-yuan

(School of Business Administration, Northeastern University, Shenyang, 110819)

The problem of inventory optimization for a risk-averse retailer with uncertain discrete demand distribution is studied in this paper. A mean-risk inventory model which can balance the retailer’s expected profit and the conditional value-at-risk (CVaR) of the profit by a pessimistic coefficient is developed. To overcome the difficulty of obtaining an inventory policy caused by the demand distribution uncertainty, two robust counterparts based on max-min robust criterion are proposed. The former which maximizes the trade-off between the worst-case expected profit and the worst-case CVaR is pareto efficient but more conservative; while the latter optimizes the worst-case trade-off between the expected profit and the CVaR, and then is non-pareto efficient but less conservative. For uncertain demand distribution, only some historical demand data are assumed to be known. Using statistical inference theory, an uncertain set to which the unknown demand probability belongs is constructed with a certain confidence level based upon the likelihood estimation. Such an uncertain set is then integrated into the above two robust counterparts and regarded as a constraint. By Lagrange dual theory, the two robust counterparts with an uncertain set constraint are transformed into two tractable concave optimization problems which can be solved efficiently. Moreover, a proof is presented to show the equivalence of the transformed tractable models with original ones. At last, some case-oriented numerical examples are executed to analyze the impact of the different system parameters and the demand sample size on the optimal inventory strategy and the operational performance of the retailer. A Pareto frontier between retailer’s expectation profit and its conational value-at-risk is also proposed. The results show that the uncertainty in demand distribution will inevitably lead to the inventory performance loss, however, the loss value is relatively small, which indicates the retailer’s inventory strategy based on the likelihood estimation is robust, and can effectively restrain the impact of the uncertain demand distribution on the retailer inventory performance. Besides, the more the historical demand samples, the closer the retailer’s operational performance under robust inventory strategy to its optimal level. Furthermore, it can be found that the optimal inventory strategies for the above two robust counterpart models are qualitatively equal, although they are different in conservation.

inventory; uncertainty; mean-risk model; robust optimization; likelihood estimation

2015-04-07；

2015-12-23

國家自然科學(xué)基金資助項目(71372186)； 中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助項目(N150604005)

簡介：邱若臻(1980-), 男(漢族), 山東青島人, 東北大學(xué)工商管理學(xué)院副教授, 博士， 研究方向: 供應(yīng)鏈管理與魯棒優(yōu)化，E-mail: rzqiu@mail.neu.edu.cn.

F253.4

A

1003-207(2016)08-0123-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.08.015