劉解放，劉思峰，方志耕

(1.河南科技學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453003；2.南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，江蘇 南京 210016)

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一類調(diào)節(jié)強度可變的弱化緩沖算子及其應(yīng)用研究

劉解放1，2，劉思峰1，方志耕1

(1.河南科技學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453003；2.南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，江蘇 南京 210016)

在灰色系統(tǒng)緩沖算子公理體系下，根據(jù)灰色系統(tǒng)的“新信息優(yōu)先原理”，構(gòu)造了一類調(diào)節(jié)強度可變的弱化緩沖算子，并對其特性進行了研究。針對不同的建模背景，通過調(diào)整緩沖算子的參數(shù)，可以生成具有不同弱化效果的序列。最后，利用本文提出的緩沖算子，對兩個實際案例進行了建模計算，計算結(jié)果表明，這類新的弱化緩沖算子能夠有效提高GM(1,1)模型的預(yù)測精度，解決定量預(yù)測結(jié)果與定性分析結(jié)論不符的問題。

緩沖算子；緩沖強度；弱化算子；預(yù)測精度

1 引言

灰色系統(tǒng)是通過對原始數(shù)據(jù)的挖掘、整理來尋求其變化規(guī)律的?；疑到y(tǒng)理論認(rèn)為，盡管客觀系統(tǒng)表象復(fù)雜，數(shù)據(jù)離亂，但它總是有整體功能的，因此必然蘊含某種內(nèi)在規(guī)律，關(guān)鍵在于如何選擇適當(dāng)?shù)姆绞饺ネ诰蛩屠盟黐1]。對于沖擊擾動系統(tǒng)預(yù)測，模型選擇理論也將失去其應(yīng)有的功效，因為問題的癥結(jié)不在模型的優(yōu)劣，而是由于系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)因系統(tǒng)本身受到某種沖擊波的干擾而失真。這時候，系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)已不能正確地反映系統(tǒng)的真實變化規(guī)律[2]，基于此，劉思峰[3-4]教授提出了緩沖算子理論，對原始數(shù)據(jù)序列經(jīng)過某種生成，弱化序列的隨機性，使得序列呈現(xiàn)出應(yīng)有的規(guī)律性，減弱沖擊擾動系統(tǒng)的干擾，進而使得到的灰色預(yù)測模型更加符合事物的發(fā)展變化規(guī)律。

為減弱沖擊因素的干擾，劉思峰教授[3]提出了緩沖算子的概念，并構(gòu)造了一種得到較廣泛應(yīng)用的實用緩沖算子。黨耀國等學(xué)者[5-12]構(gòu)造了若干個弱化緩沖算子，并對其性質(zhì)進行了研究?，F(xiàn)有的弱化緩沖算子可以對受沖擊因素干擾的系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)進行弱化緩沖，在一定程度上提高了GM(1,1)模型的預(yù)測精度。但不足之處在于，上述緩沖算子較少討論緩沖算子的緩沖強度，且都是基于一種固定的緩沖強度，無法根據(jù)系統(tǒng)的特點進行緩沖強度的調(diào)節(jié)，還原系統(tǒng)的真實面貌，這在一定程度上限制了上述弱化緩沖算子的應(yīng)用。基于此，根據(jù)灰色系統(tǒng)的“新信息優(yōu)先原理”和“最少信息原理”，本文提出一種緩沖強度可以調(diào)節(jié)的弱化緩沖算子，新提出的弱化緩沖算子只需用到系統(tǒng)的當(dāng)前信息和最新信息，充分考慮了系統(tǒng)最新信息的重要性，而且，通過調(diào)節(jié)強度參數(shù)，可以使緩沖后的序列更加能夠反映系統(tǒng)的真實運行規(guī)律，減弱系統(tǒng)的沖擊擾動，從而可以有效提高GM(1，1)模型的預(yù)測精度，可以有效拓展弱化緩沖算子的應(yīng)用范圍。最后，通過實例驗證了所提出的緩沖算子的有效性和實用性。

2 基本概念

定義1 設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X=(x(1),x(2),…,x(n))

(1)若?k=2,3,…,n,x(k)-x(k-1)>0,則稱X為單調(diào)增長序列；

(2)若?k=2,3,…,n,x(k)-x(k-1)<0,則稱X為單調(diào)衰減序列；

(3)若存在k，k′∈(2,3,…,n)，有

x(k)-x(k-1)>0,x(k′)-x(k′-1)<0

則稱X為隨機振蕩序列。設(shè)

M=max{x(k)|k=1,2,…,n}，m=min{x(k)|k=1,2,…,n}

稱M-m為序列X的振幅。

公理1[3](不動點公理)設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列，D為序列算子，則D滿足

x(n)d=x(n)

公理2[3](信息充分利用公理)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個數(shù)據(jù)都應(yīng)充分的參與算子作用的全過程。

公理3[3](解析化、規(guī)范化公理)任意的x(k),k=1,2,…,n,皆可由一個統(tǒng)一的x(1),x(2),…,x(n)的初等解析式表達。

定義3 稱上述三個公理為緩沖算子三公理，滿足緩沖算子三公理的序列算子稱為緩沖算子。

定義4 設(shè)X為原始數(shù)據(jù)序列，D為緩沖算子，當(dāng)X分別為增長序列、衰減序列或振蕩序列時，若緩沖序列XD比原始序列X的增長速度(或衰減速度)減小或振幅縮小，則稱緩沖算子D為弱化算子。

定理1[3]設(shè)X=(x(1),x(2),…,x(n))為系統(tǒng)行為序列，XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)為其緩沖序列，則有:

(1)X為單調(diào)增長序列，D為弱化緩沖算子?x(k)≤x(k)d,k=1,2,…,n。

(2)X為單調(diào)衰減序列，D為弱化緩沖算子?x(k)≥x(k)d,k=1,2,…,n。

(3)X為振蕩序列，D為弱化緩沖算子，則

上述定理表明，單調(diào)增長序列在弱化算子作用下數(shù)據(jù)膨脹，單調(diào)衰減序列在弱化算子作用下數(shù)據(jù)萎縮，震蕩序列在弱化算子作用下振幅減小。

3 一類新的弱化緩沖算子的構(gòu)造

定理2 設(shè)X=(x(1),x(2),…,x(n))(x(k)>0),為系統(tǒng)行為序列，XD1=(x(1)d1,x(2)d1,…,x(n)d1)為其緩沖序列，其中：

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列和震蕩序列時，D1皆為弱化緩沖算子。

證明 不難驗證，D1滿足緩沖算子三公理，顯然D1為緩沖算子，以下證明D1是弱化緩沖算子。

(1)設(shè)X為單調(diào)增長序列，則:

x(k)d1>x(k)

因為0<α<1，所以1-α>0，又因為X是單調(diào)增長序列，所以x(k)

x(k)d1-x(k+1)d1=x(n)α(x(k)1-α-x(k+1)1-α)<0，這說明緩沖算子D1作用后的序列和原始序列的單調(diào)性保持一致。

(2)設(shè)X為單調(diào)衰減序列，則：

x(k)d1

且：

因為0<α<1，所以1-α>0，又因為X是單調(diào)衰減序列，所以x(k)>x(k+1)，因此：

x(k)d1-x(k+1)d1=x(n)α(x(k)1-α-x(k+1)1-α)>0，這說明緩沖算子D1作用后的序列和原始序列的單調(diào)性保持一致。

(3)設(shè)X為震蕩序列，若：

x(M)=max{x(k)|k=1,2,…,n}，x(m)=min{x(k)|k=1,2,…,n}

所以，x(M)d1x(m)，由定理1可知，D1為弱化緩沖算子。

定理3 設(shè)X=(x(1),x(2),…,x(n))(x(k)>0)為系統(tǒng)行為序列，XD2=(x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d2)為其緩沖序列，其中：

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列時，D2皆為弱化緩沖算子。

證明 不難驗證，D2滿足緩沖算子三公理，顯然D2為緩沖算子，以下證明D2是弱化緩沖算子。

(1)設(shè)X為單調(diào)增長序列，則：

因此x(k)d2>x(k)。由定理1可知，D2為弱化緩沖算子。

(2)設(shè)X為單調(diào)衰減序列，則：

因此x(k)d2

從緩沖算子的構(gòu)造過程可以看出，新的緩沖算子充分的利用了最新的信息x(n)，符合灰色系統(tǒng)理論的“新信息優(yōu)先原理”，同時，由于新的緩沖算子含有調(diào)節(jié)參數(shù)，因此，其緩沖強度可以根據(jù)建模的需要進行調(diào)節(jié)，使得調(diào)節(jié)后的緩沖算子更加符合系統(tǒng)的發(fā)展規(guī)律。

4 實例分析

實例1 為了驗證新的弱化緩沖算子的作用，以2003-2009年河南省能源消費總量為原始數(shù)據(jù)來構(gòu)建預(yù)測模型。

表1 2003-2009年河南省能源消費總量 (單位：萬噸標(biāo)準(zhǔn)煤)

本文以2003-2008年河南省能源消費總量的數(shù)據(jù)序列作為模擬數(shù)據(jù)，2009年數(shù)據(jù)序列作為預(yù)測數(shù)據(jù)。計算河南省能源消費總量增長率依次為23.40%，11.86%，11.00%，9.88%，6.38%，4.08%?？梢钥闯觯啾戎?，2004-2007年的增長速度較快，2008-2009年的增長速度較慢，若直接利用原始數(shù)據(jù)建立灰色預(yù)測模型，則會導(dǎo)致所建立的模型無法準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的變化情況，所得到的預(yù)測結(jié)果偏低。為了提高模型的預(yù)測精度，需要對原始數(shù)據(jù)序列進行平滑，以削弱沖擊擾動系統(tǒng)的干擾，凸顯數(shù)據(jù)的規(guī)律性。

因此，以本文所提出的弱化緩沖算子對原始數(shù)據(jù)序列進行弱化處理，并選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)α的值，建立預(yù)測模型，并與直接利用原始數(shù)據(jù)建立的模型進行對比，結(jié)果見表2。

表2 弱化緩沖算子作用前后的GM(1，1)模型的計算結(jié)果對比

從表2可以看出，當(dāng)α=0.7的時候，預(yù)測相對誤差最小，預(yù)測精度為99.33%，隨著α值的減小，算子的弱化效果減弱，隨著α的值增大，算子的弱化效果增強。對于不同的模型，可以調(diào)節(jié)α的值，以達到最佳的預(yù)測效果，也可以借助智能優(yōu)化算法，如粒子群算法，遺傳算法等尋找最優(yōu)的參數(shù)α的值，以達到最優(yōu)的預(yù)測效果。

實例2以黨耀國[7]中的數(shù)據(jù)為例，來驗證本文提出的緩沖算子的優(yōu)越性。原始數(shù)據(jù)X=(0.33,0.9,10.24,42.24,88.24,104.10).增長率依次為172.73%，1037.78%，312.50%，108.90%，17.97%，序列的變化率呈現(xiàn)出明顯的先快后慢的特點。以前5個數(shù)據(jù)為模擬數(shù)據(jù)，以第6個數(shù)據(jù)為預(yù)測數(shù)據(jù)，直接建模和對于緩沖后的序列建模的計算結(jié)果，如表3所示，其中D為黨耀國[7]研究中采用的二階緩沖算子。

表3 弱化緩沖算子作用前后的GM(1，1)模型的計算結(jié)果對比

從表3可以看出，經(jīng)過本文提出的弱化緩沖算子的調(diào)節(jié)，有效的減少了系統(tǒng)的沖擊擾動，經(jīng)過緩沖強度的優(yōu)化，可以使得預(yù)測誤差大幅減少。

5 結(jié)語

在已有研究的基礎(chǔ)上，根據(jù)灰色系統(tǒng)的“新信息優(yōu)先原理”，本文提出一種緩沖強度可以調(diào)節(jié)的弱化緩沖算子，并分析了其性質(zhì)。以2003年-2009年河南省能源消費總量為原始數(shù)據(jù)，利用本文構(gòu)造的弱化算子對原始序列與經(jīng)過弱化后的數(shù)據(jù)序列分別進行建模，比較所建模型的預(yù)測精度。實例的運算結(jié)果表明：(1)經(jīng)過弱化緩沖算子作用后的數(shù)據(jù)序列在預(yù)測精度上比用原始數(shù)據(jù)序列預(yù)測精度均有顯著提高；(2)通過調(diào)節(jié)參數(shù)α的值，可以調(diào)節(jié)弱化緩沖算子的弱化效果，使得弱化效果增強或者減弱，以達到最佳的預(yù)測效果。針對不同的數(shù)據(jù)，如何選擇不同的弱化緩沖算子，使得弱化后的序列更加符合系統(tǒng)的發(fā)展變化規(guī)律，以及如何選擇緩沖算子的階數(shù)，都是未來值得研究的課題。

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A Class of New Weakening Buffer Operators Whose Adjustable Intensity Can be Changed and Their Applications

LIU Jie-fang1,2，LIU Si-feng1，F(xiàn)ANG Zhi-geng1

(1.School of Mathematical Science, Henan Institute of Science and Technology, Xinxiang 453003,China;2.College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016,China)

buffer operator; buffer intensity; weakening operator; forecast precision

2014-10-29；

2015-11-09

國際人才引進計劃資助項目(FP7-PIIF-GA-2013-629051)；國家自然科學(xué)基金資助項目(91324003, 71171113，71401051)；國家自然科學(xué)基金與英國皇家學(xué)會國際合作交流項目(71111130211)；國家科技重大專項(2009ZX11002)；國家社會科學(xué)基金資助重點項目(12AZD102)

簡介：劉解放(1980-)，男(漢族)，河南周口人，河南科技學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院講師，博士，研究方向：灰色系統(tǒng)理論、裝備研制管理等，E-mail:liujf101@126.com.

N94

A

1003-207(2016)08-0172-05

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.08.021