王敏

摘 要： 為了培養(yǎng)高中生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的科學(xué)研究能力，針對(duì)高中數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)，本文提出了基于遺傳算法的教學(xué)設(shè)計(jì)。該教學(xué)設(shè)計(jì)分為引入問題、介紹算法、熟悉源代碼、編寫程序、討論結(jié)果，共五部分。研究性學(xué)習(xí)按這五部分的順序依次進(jìn)行，使學(xué)生能夠了解遺傳算法的原理，并掌握如何使用遺傳算法解決實(shí)際問題。這一教學(xué)設(shè)計(jì)表明，學(xué)生可以在遺傳算法的學(xué)習(xí)中提高科學(xué)研究能力。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 研究性學(xué)習(xí) 遺傳算法

1.引言

高中數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)是教學(xué)研究的熱點(diǎn)[1]，[2]。高中數(shù)學(xué)包括很多基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，高中生可以利用這些基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)開展一些科學(xué)研究工作。在進(jìn)行科學(xué)研究工作的過程中，學(xué)生可以學(xué)習(xí)一些基本的研究方法，掌握一些現(xiàn)代的研究技術(shù)，并解決生活中的實(shí)際問題。研究性學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力。學(xué)生通過研究性學(xué)習(xí)，利用所學(xué)知識(shí)解決了實(shí)際問題，對(duì)高中階段的教學(xué)有著重要意義。

高中數(shù)學(xué)的教科書[3]介紹了算法的基本概念和知識(shí)。算法是計(jì)算機(jī)科學(xué)和技術(shù)的理論基礎(chǔ)。目前，計(jì)算機(jī)已經(jīng)進(jìn)入了人們的日常生活，人們利用計(jì)算機(jī)解決了各種各樣的實(shí)際問題。建立某個(gè)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，然后利用已有的算法和相應(yīng)的計(jì)算機(jī)程序求解數(shù)學(xué)模型，就可以解決這個(gè)實(shí)際問題。因此，在高中階段開展算法的研究性學(xué)習(xí)有著廣闊的前景。下面我們討論基于遺傳算法的研究性學(xué)習(xí)，并提出相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)。

2.對(duì)遺傳算法的認(rèn)識(shí)

人們?nèi)粘Ｉ钪械暮芏鄦栴}本質(zhì)上都是優(yōu)化問題。比如，在大量商品里選擇質(zhì)量最好的商品，或者選擇最適合自己的商品。一般來說，優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為優(yōu)化模型。在求解優(yōu)化模型的眾多算法中，遺傳算法具有突出的計(jì)算效率。因此，遺傳算法已經(jīng)成為一個(gè)熱門的科學(xué)研究方向[4]。

遺傳算法模擬生物種群的進(jìn)化過程，通過種群中個(gè)體的交叉、變異和選擇，實(shí)現(xiàn)了種群的進(jìn)化和最優(yōu)解的尋找。它的尋優(yōu)能力很強(qiáng)。此外，如果優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)值是離散的數(shù)值，遺傳算法適用于求解這類數(shù)學(xué)模型。對(duì)于實(shí)際優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，目標(biāo)函數(shù)值一般都是離散的數(shù)值。因此利用遺傳算法可以解決很多實(shí)際問題。

在遺傳算法中，交叉、變異和選擇的計(jì)算方法較容易理解，高中生可以學(xué)習(xí)和掌握。一般優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型也較容易建立，高中生可以進(jìn)行研究。因此，針對(duì)高中數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)，我們提出一種基于遺傳算法的研究性教學(xué)設(shè)計(jì)。

3.基于遺傳算法的研究性教學(xué)設(shè)計(jì)

基于遺傳算法的研究性教學(xué)設(shè)計(jì)分為引入問題、介紹算法、熟悉源代碼、編寫程序、討論結(jié)果，共五個(gè)部分依次展開。

3.1引入問題

教師：如果我們打算去購(gòu)買衣服或者鞋，那么有很多同類的商品可以選擇。這些商品的質(zhì)量不同，適合我們的程度也不同。我們根據(jù)質(zhì)量或者適合程度選擇商品，就是選擇最好的商品，它本質(zhì)上是一個(gè)優(yōu)化問題。把所有同類的商品依次編號(hào)為1、2、3…，選擇的商品號(hào)碼就是決策變量。對(duì)所有同類的商品依次打分，選擇的商品得分就是目標(biāo)函數(shù)。如果同類商品的數(shù)量很少，我們就可以用大腦進(jìn)行選擇。如果同類商品的數(shù)量有幾百個(gè)，甚至幾千個(gè)，我們就很難用大腦進(jìn)行選擇了。遺傳算法可以幫助我們解決這個(gè)問題。

3.2介紹算法

學(xué)生：什么是遺傳算法？

教師：遺傳算法是尋找優(yōu)化問題最優(yōu)解的一種方法。它通過模擬生物種群的進(jìn)化過程，產(chǎn)生生物的最優(yōu)個(gè)體，即找到最優(yōu)的決策變量。多個(gè)決策變量組成一個(gè)種群，一個(gè)決策變量就是一個(gè)個(gè)體。通過兩個(gè)個(gè)體的交叉計(jì)算，一個(gè)個(gè)體的變異計(jì)算，以及選擇較好的個(gè)體，使種群越來越好。最后，得到了一些很好的決策變量，并在其中得到一個(gè)最優(yōu)的決策變量。

學(xué)生：遺傳算法是怎樣計(jì)算的？

教師：第一步，隨機(jī)選擇一定數(shù)量的決策變量組成一個(gè)種群。第二步，選擇種群中兩個(gè)較好的個(gè)體進(jìn)行交叉計(jì)算，得到兩個(gè)新個(gè)體。按此方法產(chǎn)生一些新個(gè)體。選擇種群中一個(gè)較好的個(gè)體進(jìn)行變異計(jì)算，得到一個(gè)新個(gè)體。按此方法產(chǎn)生另一些新個(gè)體。其中，通過交叉得到的新個(gè)體較多，通過變異得到的新個(gè)體較少。所有的新個(gè)體組成了一個(gè)臨時(shí)種群。臨時(shí)種群中的個(gè)體數(shù)量與原種群中的個(gè)體數(shù)量相同。第三步，在臨時(shí)種群和原種群中，選擇一些較好的個(gè)體組成一個(gè)新種群。新種群中的個(gè)體數(shù)量與原種群相同。第四步，新種群重新進(jìn)入第二步的計(jì)算，直到循環(huán)計(jì)算的次數(shù)達(dá)到給定的最大值。

3.3熟悉源代碼

學(xué)生：如何使用遺傳算法進(jìn)行計(jì)算？

教師：調(diào)用遺傳算法的程序，就可以計(jì)算數(shù)學(xué)模型了。由于matlab程序語言較容易學(xué)習(xí)和理解，我們選用遺傳算法的matlab程序進(jìn)行學(xué)習(xí)和實(shí)驗(yàn)。在進(jìn)行遺傳算法的計(jì)算時(shí)，需調(diào)用表1中的m文件。

文件1調(diào)用了數(shù)學(xué)模型，輸出結(jié)果是目標(biāo)函數(shù)值。文件2隨機(jī)產(chǎn)生了初始種群，輸出結(jié)果是初始種群，文件3在種群中選擇了一些較好的個(gè)體，輸出結(jié)果是一些較好的個(gè)體。文件4通過交叉和變異得到了臨時(shí)種群，輸出結(jié)果是臨時(shí)種群。文件5在臨時(shí)種群和原種群中選擇得到了新種群，輸出結(jié)果是新種群。文件6通過調(diào)用文件1，對(duì)種群中所有個(gè)體按照優(yōu)劣排序，輸出結(jié)果是所有個(gè)體的次序。

學(xué)生：遺傳算法的主文件是什么？

其中，chromosome表示一個(gè)種群，pop是種群中決策變量的數(shù)量，gen是循環(huán)計(jì)算的最大次數(shù)。顯然，pop和gen越大，計(jì)算的效果越好，計(jì)算的復(fù)雜度也越高，計(jì)算所需時(shí)間也越長(zhǎng)。因此，我們對(duì)pop和gen選取合適的值就可以了。

3.4編寫程序

學(xué)生：怎樣建立數(shù)學(xué)模型呢？

其中，x是決策變量，Y（x）是其目標(biāo)函數(shù)值，文件dataY.mat包含了一個(gè)數(shù)列Y，這個(gè)數(shù)列就是我們建立的數(shù)學(xué)模型。在選購(gòu)商品的實(shí)際問題中，數(shù)列中的數(shù)值是任一商品的得分，該數(shù)值的順序號(hào)是商品的代號(hào)。這樣，我們就建立了選購(gòu)商品的數(shù)學(xué)模型。通過編寫數(shù)列Y，我們可以建立很多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。

3.5討論結(jié)果

教師：從以上學(xué)習(xí)內(nèi)容可以看出，遺傳算法的理論和計(jì)算機(jī)程序都較容易理解。生活中的很多實(shí)際問題都可以轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型。這樣，我們就可以采用遺傳算法解決這些問題，初步開展科學(xué)研究工作。

4.結(jié)語

基于遺傳算法的研究性教學(xué)設(shè)計(jì)，理論內(nèi)容較適合高中教學(xué)。遺傳算法的matlab程序簡(jiǎn)單易學(xué)，高中生可以較快掌握。解決的實(shí)際問題和建立的數(shù)學(xué)模型，都適用于高中數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)。因此，學(xué)生可以在遺傳算法的學(xué)習(xí)中提高科學(xué)研究能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]倪紅升.新課程高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的若干選題[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，46（06）：31-33.

[2]邱福強(qiáng).探求有效途徑形成科學(xué)模式——關(guān)于實(shí)施高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的思考及途徑[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（5）：21-22.

[3]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修3[M].人民教育出版社，2012.

[4]鄭金華.多目標(biāo)進(jìn)化算法及其應(yīng)用[M].科學(xué)出版社，2007.