盧玉才

一、面積、體積和距離的計算

重要知識

類型名稱側(cè)面積表面積體積備注柱體圓柱S側(cè)=2πrhS側(cè)=2πrh

+2πrV=πr2hr是底面半徑

h是圓柱的高棱柱S側(cè)=ch

（直棱柱）S側(cè)=ch′

（正棱柱）S全=S側(cè)

+2S底V=Shc為底面的周長

h′為斜高

S為底面積

h為幾何體的高錐體圓錐S側(cè)=πrlS側(cè)=πrl

+πr2V=13πr2hr是底面半徑

l是母線長棱錐各側(cè)面

積之和各面面

積之和V=13ShS為底面積

h為幾何體的高球S球=4πR243πR3R為球的半徑題型分析

例1（1）如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，O為BD1的中點，三棱錐OABD的體積為V1，四棱錐OADD1A1的體積為V2，則V1V2的值為.

（2）已知圓錐的底面半徑為1，高為22，則該圓錐的側(cè)面積為.

解析：（1）設(shè)AB=a，AD=b，A1A=c.

則V1=13S△ABD·12A1A=abc12.

V2=13SADD1A1·12AB=abc6.∴V1V2=12.

（2）∵底面半徑為1，高為22，母線長

l=（22）2+12=3，∴圓錐的側(cè)面積為：

S側(cè)=12·2πr·l=12×2π×1×3=3π，故該圓錐的側(cè)面積為3π.

評注：三棱錐體積的計算，只需找到合適的頂點和底面，而四棱錐體積的計算，關(guān)鍵在高的計算，圓錐中的半徑、高和母線長，它們的關(guān)系可以通過一個直角三角形來溝通計算.

二、平行關(guān)系、垂直關(guān)系

重要知識

1.平行關(guān)系

類型證明方法直線與直線平行若a∥b，b∥c，則a∥c若a∥α，aβ，α∩β=l，則a∥l若a⊥α、b⊥α，那么a∥b若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a∥b直線與平面平行若aα，a∥b，bα，則a∥α若α∥β，mα，則m∥β平面與平面平行若aα，bα，α∥β，b∥β，a∩b=A，則α∥β若a⊥α，a⊥β，則α∥β2.垂直關(guān)系

類型證明方法直線與直線垂直若a，b所成的角為90°，則a⊥b若a⊥α，bα，那么a⊥b直線與平面垂直若l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b=A，則l⊥α若α⊥β，aα，α∩β=b，a⊥b，那么a⊥β平面與平面垂直若aα，bα，a∥β，b∥β，a∩b=A，則α∥β若a⊥α，a⊥β，則α∥β題型分析

例2如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（1）證明：PA⊥BD；

（2）設(shè)PD=AD=2，求點D到面PBC的距離.

解析：（1）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=3AD.從而BD2+AD2=AB2，∴BD⊥AD，又由PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，可得BD⊥PD.∴BD⊥面PAD，PA面PAD，∴PA⊥BD.

（2）法1：在平面PDB內(nèi)作DE⊥PB，垂足為E.∵PD⊥底面ABCD，BC面ABCD，∴PD⊥BC，由（1）知BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD，又AD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，又DE面PBD，∴BC⊥DE.又DE⊥PB，PB∩BC=B，則DE⊥平面PBC.由題設(shè)知，PD=AD=2，則BD=23，PB=4，根據(jù)DE·PB=PD·BD，得DE=3，即點D到面PBC的距離為3.

法2：設(shè)點D到平面PBC的距離為d，由（1）得BD⊥AD，∴AB=4，VPBCD=12VPABCD=12×13×SABCD×PD=16×2×4×32×2=433，又VPBCD=VDPBC=13S△PBC×d，由PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，DC面ABCD，△PBD，△PCD為Rt△，∴PC=PD2+CD2=25，PB=PD2+DB2=4，又BC=AD=2，∴△PBC為Rt△且S△PBC=12×2×4=4，∴d=3.

評注：異面直線間的垂直問題，一般要通過合適的線面垂直得到，題設(shè)中已有PD⊥底面ABCD，故有PD⊥BD，因此我們選擇證明BD⊥平面PAD.點到平面的距離的計算一般要利用已有的垂直關(guān)系構(gòu)建面面垂直進(jìn)而得到線面垂直，如果構(gòu)建垂直關(guān)系比較困難，則可利用等積法求距離.

例3如圖幾何體中，矩形ACDF所在平面與梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M為AB的中點.

（1）證明：EM∥平面ACDF；

（2）證明：BD⊥平面ACDF.

解析：（1）法1：延長BE交CD與G，連接AG，∵E，M為中點，∴EM∥AG，EM平面AFDC，AG平面AFDC，∴EM∥面ACDF.

法2：取BC的中點N，連接MN、EN.

在△ABC中，M為AB的中點，N為BC的中點，∴MN∥AC，又因為DE∥BC，且DE=12BC=CN，∴四邊形CDEN為平行四邊形，∴EN∥DC，又∵M(jìn)N∩EN=N，AC∩CD=C.∴平面EMN∥平面ACDF，又∵EM面EMN，∴EM∥面ACDF.

（2）∵平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF∩平面BCDE=DC，又AC⊥DC，∴AC⊥平面BCDE，∴AC⊥BD，又BD⊥AD，AC∩AD=A，∴BD⊥平面ACDF.

評注：（1）中的線面平行問題可由線線平行或面面平行得到，前者要在平面中找一條線和已知的直線平行，面中找線的方法是利用平形四邊形或三角形（如題中的平行四邊形EMCD和△ABG），后者需要構(gòu)造一個過已知直線且與已知平面平行的平面，通過證面面平行得線面平行.（2）中要證線面垂直，但題設(shè)中給出了面面垂直，我們找出一個面中垂直于交線的直線可以得到線面垂直，進(jìn)而找到證明線面垂直中所需要的線線垂直.

例4已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2，AD=2，AB=1，如圖1所示，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，如圖2所示.

（1）當(dāng)平面PBD⊥平面PBC時，求三棱錐PBCD的體積；

（2）在圖2中，E為PC的中點，若線段BQ∥CD，且EQ∥平面PBD，求線段BQ的長.

解析：（1）當(dāng)平面PBD⊥平面PBC時，因為PB⊥PD，且平面PBD∩平面PBC=PB，PD平面PBD，所以PD⊥平面PBC，因為PC平面PBC，所以PD⊥PC.因為在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2，AD=2，AB=1，所以BD=BC=3，DP=2.所以CP=CD2-PD2=2.又因為BP=1，所以BP2+CP2=BC2，所以BP⊥CP.所以S△PBC=12PB×PC=22.所以三棱錐PBCD的體積等于VDPBC=13S△PBC·PD=13×22×2=13.

（2）取PD的中點F，連接EF，BF，如上圖所示.又因為E為PC的中點，所以EF∥CD，且EF=12CD.又因為BQ∥CD，所以EF∥BQ.所以B，F(xiàn)，E，Q共面.因為EQ∥平面PBD，EQ平面BFEQ，且平面BFEQ∩平面PBD=BF，所以EQ∥FB.又因為EF∥BQ，所以四邊形BFEQ是平行四邊形.所以BQ=EF=12CD=1.

評注：立體幾何中的翻折問題，要注意翻折前后變化的量與不變化的量，本題中DP⊥BP總是不變的，結(jié)合平面PBD⊥平面PBC就由線面垂直從而得到∠DPC=90°，通過勾股定理得到∠BPC=90°，最終利用公式得到體積.（2）中已知線面平行，利用其性質(zhì)可以得到一個EF∥BQ，據(jù)此得到平行四邊形EFBQ也就得到BQ的長度.

三、空間角的計算

重要知識

角的計算公式

名稱計算公式備注異面直線所成的角αcosα=|a1·a2|a1|×|a2||a1，a2為直線的方向向量直線與平面所成的角αsinα=|a·n|a|×|n||a為直線的方向向量，n為平面的法向量二面角α|cosα|=

|n1·n2|n1|×|n2||n1，n2為平面的法向量，要判斷二面的平面角為鈍角還是銳角例5如圖，四棱錐PABCD的底面為矩形，PA是四棱錐的高，PB與DC所成角為45°，F(xiàn)是PB的中點，E是BC上的動點.

（1）求異面直線AF與PE所成的角；

（2）若BC=2BE=23AB，①求直線AP與平面PDE所成角的大?。虎谇蠖娼荂PDE的平面角的余弦值.

解析：（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AP=AB=2，BE=a，則A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F(xiàn)（0，1，1），E（a，2，0），于是，PE=（a，2，-2），AF=（0，1，1），則PE·AF=0，所以AF，PE所成的角為90°.

（2）①若BC=2BE=23AB，則D（43，0，0），PD=（43，0，-2），PE=（23，2，-2），設(shè)平面PDE的法向量為n=（x，y，z），由n·PD=0

n·PE=0，得：43x-2z=0

23x+2y-2z=0，令x=1，則z=23，y=3，于是n=（1，3，23），而AP=（0，0，2），設(shè)AP與平面PDE所成角為θ，所以sinθ=|n·AP||n||AP|=32，所以AP與平面PDE所成角θ為60°.

②設(shè)平面PCD的法向量為m=（x，y，z），C（43，2，0），DC=（0，2，0），DP=（-43，0，2），所以-43x+2z=0

2y=0，令x=1，則y=0，z=23，m=（1，0，23），設(shè)m，n所成的角為α，則cosα=m·n|m||n|=134，又二面角CPDE的平面角為銳角，所以其余弦值為134.

評注：空間角的計算，要借助于直線的方向向量和平面的法向量，注意異面直線所成的角應(yīng)為銳角或直角.若記直線與平面所成的角α，而該直線的方向向量與該平面的法向量所成的角為β，則α，β滿足關(guān)系式sinα=|cosβ|.又二面角的平面角與法向量所成的角之間是相等或互補，在實際計算中要判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角.