何霞

摘要：數(shù)形結(jié)合就是充分利用"形"的直觀性和"數(shù)"的準(zhǔn)確性，充分理解題意，化抽象為直觀，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、廣闊性是初中數(shù)學(xué)中值得探索的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)形；結(jié)合；形成

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2016）11-0237-02

"數(shù)形結(jié)合"就是把抽象的"數(shù)"轉(zhuǎn)化為具體的"形"，通過解決具體的"形"而達(dá)到解決抽象的"數(shù)"，這種思想正符合初中生的心理特點(diǎn)，樂于被他們接受。因此，作為一項(xiàng)教學(xué)改革，需要我們教師在教學(xué)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練指導(dǎo)，也需要我們的中學(xué)生加強(qiáng)這方面的練習(xí)。中學(xué)階段，數(shù)形結(jié)合中的"形"是數(shù)軸、函數(shù)圖像、幾何圖形等組合表達(dá)式。"數(shù)"是指代數(shù)、三角形、平行四邊形等直觀標(biāo)注。

1.數(shù)形結(jié)合數(shù)形能培養(yǎng)學(xué)生哪些方面的能力

數(shù)形結(jié)合就是充分利用"形"的直觀性和"數(shù)"的準(zhǔn)確性，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、廣闊性是初中數(shù)學(xué)中值得探索的方法，那么學(xué)好數(shù)形結(jié)合究竟能提高學(xué)生哪些方面的能力呢？

1.1數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)解題思維的獨(dú)創(chuàng)性。思維的獨(dú)立創(chuàng)造性是指敢于超越傳統(tǒng)習(xí)慣的束縛，擺脫原有知識范圍和思維定勢的禁錮，善于把頭腦中已有的知識信息重新組織，產(chǎn)生具有進(jìn)步意義的新設(shè)想和新發(fā)現(xiàn)。利用形的直觀性，探尋到具有創(chuàng)新意識的簡捷妙法，可避開繁瑣運(yùn)算，簡捷解題，提高解題速度，達(dá)到培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性之目的。

1.2數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)解題思維的準(zhǔn)確性。問題均可根據(jù)其題設(shè)與結(jié)論的特征通過觀察、聯(lián)想構(gòu)造出相應(yīng)的幾何模型，然后根據(jù)圖形的性質(zhì)得到一種簡捷的解法。在解題過程中，準(zhǔn)確是解題的關(guān)鍵。數(shù)形結(jié)合，可用利用"形"的直觀性提高"數(shù)"的準(zhǔn)確性。

1.3數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)解題思維的廣闊性。思維的廣闊性是指思維活動中避開單一狹隘的思維模式，對所學(xué)知識融會貫通，多角度、全方位思考問題、解決問題的程度。思維越廣解決處理的方法越多。利用數(shù)形結(jié)合，用大樹知識解決幾何問題，或用幾何知識解決代數(shù)問題，避免以代數(shù)解代數(shù)，幾何解幾何的單一模式。數(shù)形結(jié)合解題就是根據(jù)數(shù)量的特征與圖形結(jié)構(gòu)，使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，開辟解題新途徑。

1.4數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)解題思維的靈活性。思維的靈活性是指思維活動具有較高的靈活程度，能善于沿著不同角度，順著不同方向，選擇不同方法，對同一問題從多方位、多側(cè)面的認(rèn)識。數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生多方位思考，審時(shí)度勢，適時(shí)突破常規(guī)的思維定勢，有利于培養(yǎng)解題思維的靈活性。

2.中學(xué)生怎樣去形成用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力

在中學(xué)階段數(shù)形結(jié)合思想具體體現(xiàn)在用代數(shù)方法解決幾何問題或幾何方法解決代數(shù)問題。代數(shù)方法精確深刻，幾何方法形象直觀，兩者的結(jié)合開辟了新的解題思路，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展?，F(xiàn)在中學(xué)學(xué)生在代數(shù)中已經(jīng)學(xué)過代數(shù)式、方程、函數(shù)，在幾何中已經(jīng)學(xué)過點(diǎn)、線、三角形、四邊形、圓的知識，這兩種學(xué)科間聯(lián)系密切，是互相統(tǒng)一的。因此，我們必須重視數(shù)形結(jié)合的教學(xué)。

2.1加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合概念的理解。代數(shù)和幾何兩種學(xué)科間的聯(lián)系、兩種知識面的統(tǒng)一是隨著數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)的深入學(xué)習(xí)，才逐漸溝通與深化的。所以在這一段的教學(xué)中為使學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的統(tǒng)一意識，教師就要講清數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)圖像等的性質(zhì)，應(yīng)在知識領(lǐng)域理凸顯數(shù)形結(jié)合的思想方法。

2.2坐標(biāo)系的建立為數(shù)形結(jié)合開拓了思路。數(shù)形結(jié)合的載體是數(shù)軸，數(shù)軸能反映出數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，這是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大飛躍。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法思考問題，能給抽象的數(shù)量關(guān)系以形象的幾何凸顯，也能把幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題去解決。通過數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來學(xué)習(xí)相反數(shù)、絕對值的定義、有理數(shù)大小比較的法則、函數(shù)等，可以大大降低學(xué)生這些知識的難度。數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的是始終。

2.3注意培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法分析問題、解決問題的能力。不論用代數(shù)方法研究幾何問題，還是用幾何圖形研究代數(shù)式，都貫穿著數(shù)形結(jié)合方法分析問題和解決問題的思想。因此教師應(yīng)加強(qiáng)對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識的滲透和能力的培養(yǎng)。我們可通過數(shù)量關(guān)系的討論來研究幾何圖形的性質(zhì)，比如解析幾何這門學(xué)科就是建立在這種思想方法的基礎(chǔ)上，另一方面是利用幾何圖形的直觀性，揭示數(shù)量關(guān)系的許多特征，深刻理解這一觀點(diǎn)，有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如列一元一次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵在于分析題中的數(shù)量關(guān)系，可以通過畫直線形（或圓形）示意圖直觀地顯示出來。一旦學(xué)生掌握了這種數(shù)形結(jié)合的分析方法，對較為復(fù)雜的習(xí)題就能獨(dú)立分析和解決了。

2.4善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。觀察是人們認(rèn)識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，是認(rèn)識、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進(jìn)程。

2.4.1正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時(shí)，僅畫出示意圖是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系。

2.4.2切實(shí)把握"數(shù)"與"形"的對應(yīng)關(guān)系，以圖識性以性識圖。數(shù)形結(jié)合的核心是"數(shù)"與"形"的對應(yīng)關(guān)系，熟知這些對應(yīng)關(guān)系，深化兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個(gè)研究對象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)圖形的特征之間的關(guān)聯(lián)，以求相輔相成，相互轉(zhuǎn)化。

2.4.3靈活運(yùn)用"數(shù)"與"形"的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)得最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖像之間，復(fù)數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法。通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對于關(guān)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強(qiáng)化這種轉(zhuǎn)化訓(xùn)練的則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段。

總之，在教學(xué)中教師應(yīng)充分利用圖形、圖像，使學(xué)生正確理解和掌握所學(xué)的概念和知識，通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀，深入淺出，巧妙的技巧應(yīng)用，讓學(xué)生逐步理解數(shù)與形間的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的辯證。

3.實(shí)施數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)時(shí)主要可分四個(gè)階段進(jìn)行

第一階段是滲透孕育起期。由于學(xué)生剛升入中學(xué)，他們對數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識主要還停留在用線段圖解應(yīng)用題這種簡單淺顯的層次，因此這一時(shí)期的要求不能太高，因以"數(shù)軸"、"相反數(shù)"、"絕對值"、"有理數(shù)是計(jì)算"等內(nèi)容為載體，以數(shù)軸為結(jié)合點(diǎn)。在數(shù)學(xué)中提出數(shù)與形的問題，使學(xué)生感受到"數(shù)"與"形"間存在著相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系。并且通過問題的解決，察覺到數(shù)軸的作用。

第二階段是體會領(lǐng)悟期。代數(shù)以"不等式"的知識為載體繼續(xù)向?qū)W生介紹數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生明白如果不借助"數(shù)軸"這個(gè)工具，就不容易找出不等式組的解集。由此而領(lǐng)悟到，數(shù)形結(jié)合對解決數(shù)學(xué)問題不是可有可無的，而是一種非常重要的辦法。

例1如圖1，已知∠AOB=90°，∠AOC為銳角，ON平分∠AOC， 平分∠COB，求∠MON的度數(shù)。

第三階段是形成嘗試期。以平面幾何知識為載體。由于知識深化"數(shù)"與"形"之間的因果關(guān)系不那么明顯，因此學(xué)生在解決問題時(shí)很難將"數(shù)"與"形"有效的結(jié)合進(jìn)行思考。

①理解遷移。深刻理解數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，找出概念、定理、性質(zhì)中"數(shù)"與"形"的特征。如勾股定理，代數(shù)的特征是一個(gè)數(shù)的平方等于兩個(gè)數(shù)的平方和.幾何的特征是這三個(gè)數(shù)是某直角三角形的三邊。解決相關(guān)問題時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生與已有的知識經(jīng)驗(yàn)"直角三角形——求線段長——解方程"產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，找出解題途徑。

例2.如圖，P是長方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD

分析：求線段的長度需要有直角三角形，但圖中沒有現(xiàn)成的直角三角形，故需添輔助線。

解： 如圖，過P作AD、AB的平行線，原矩形被分成四個(gè)小矩形；

由勾股定理得：

PA2 =a2+b2，PC2 =c2+d2；

PB2 =b2 +c2，PD2 =a2+d2；

因此：PA2+PC2=PB2+PD2，

即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18。

②提煉方法。作為第二層次的教學(xué)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從解決問題的技巧中提煉出蘊(yùn)含數(shù)、形結(jié)合思想且又易于操作的辦法。進(jìn)而理解這些辦法的實(shí)質(zhì)。比如在一些問題的解決中，都用到從面積的角度去思考探索證明途徑。這一技巧其實(shí)質(zhì)就是利用公式（方程的思想）為問題的解決鋪平道路。

例3.如圖3在等腰ΔABC中，AB=AC=5，BC=6，P是底邊上任一點(diǎn)，求P到兩腰的距離的和。

解過P作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，過B作BF⊥AC于F，連接AP，SΔABC=SΔAPB+SΔAPC，即

第四階段是應(yīng)用發(fā)展期。這個(gè)階段主要以方程、函數(shù)和知識為載體，以解決問題為主要教學(xué)方式，突出數(shù)形結(jié)合思想在解題中的指導(dǎo)作用（見例12）。指導(dǎo)學(xué)生正確、迅速地找出問題中數(shù)形轉(zhuǎn)化的等價(jià)關(guān)系，展現(xiàn)由"數(shù)"思"形"，由"形"定"數(shù)"的思維過程。

例4（由"數(shù)"思"形"）解方程x-y=1____________（1）x+1+y-2=5_____（2）

分析方程（2）可變形為：（x+1）2-（y-2）2=（15）2______（3），顯然x+1>0，y-2>0。由于（3）與勾股定理形式類似，因此可構(gòu)造（圖3）RtΔABC，使∠C=90°，并延長CA至D使AD=AB，CA=x+1，就把題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖中的幾何關(guān)系

由于"數(shù)形結(jié)合"具有形象直觀、易于接受的優(yōu)點(diǎn)，它對于溝通知識間的聯(lián)系，活躍課堂氣氛，開闊學(xué)生的思路，發(fā)展學(xué)生的智能，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平有著獨(dú)到的作用。這種教學(xué)方法能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力和開拓精神，使學(xué)生充分張揚(yáng)個(gè)性，充分發(fā)揮潛能，真正實(shí)現(xiàn)個(gè)體的最優(yōu)化發(fā)展。

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