鄒飛，鄒金鋒

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考慮水?力耦合效應(yīng)時(shí)軟化圍巖解析

鄒飛1, 2, 3，鄒金鋒2

(1. 貴州省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)研究院股份有限公司，貴州貴陽，550081；2. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙， 410075；3. 貴州省交通建設(shè)工程質(zhì)量監(jiān)督局，貴州貴陽， 550000)

基于線性Mohr?Coulomb(M?C)強(qiáng)度準(zhǔn)則，改進(jìn)考慮水?力耦合作用下應(yīng)變軟化圍巖深埋圓形隧道的應(yīng)力與位移求解的逐步位移法。該方法全面考慮水?力耦合作用下圍巖強(qiáng)度和變形參數(shù)的劣化、剪脹角和塑性區(qū)內(nèi)彈性應(yīng)變的變化?；谄矫鎽?yīng)變的假設(shè)和改進(jìn)的逐步位移法，將整個(gè)塑性區(qū)分為個(gè)同心圓環(huán)，以彈塑性交界面處的應(yīng)力應(yīng)變作為塑性區(qū)的初始值，獲得塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力及位移解。同時(shí)，對(duì)水?力耦合作用下的強(qiáng)度及變形參數(shù)進(jìn)行分析。研究結(jié)果表明：在考慮水?力耦合作用下，應(yīng)力減小，收斂和塑性半徑均變大，位移與塑性半徑提高幅值分別為27.00%和3.17%。

水?力耦合；M?C強(qiáng)度準(zhǔn)則；應(yīng)變軟化；逐步位移法；深埋圓形隧道

在工程實(shí)踐中，在富水軟化圍巖中開挖隧道不可避免，了解富水軟化圍巖的應(yīng)力?應(yīng)變狀態(tài)對(duì)工程設(shè)計(jì)與建設(shè)具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值。對(duì)水?力耦合作用下的軟化圍巖受力特性及其穩(wěn)定性分析也是富水軟化圍巖工程設(shè)計(jì)的難點(diǎn)和重點(diǎn)問題之一。雖然滲透力以及水?力耦合作用對(duì)軟化圍巖的應(yīng)力和位移的影響至今沒有明確界定，但工程實(shí)踐表明，滲透力對(duì)水下隧道圍巖及其支護(hù)系統(tǒng)有顯著影響。雖然許多學(xué)者對(duì)隧道圍巖的應(yīng)力和位移進(jìn)行了大量研究，但考慮水?力耦合作用隧道圍巖尤其是軟化圍巖的理論解并不多見。BROWN等[1]提出了基于HOEK?BROWN屈服準(zhǔn)則的軟化隧道圍巖的理論解。在BROWN解的基礎(chǔ)上，PARK等[2?3]考慮了塑性區(qū)內(nèi)彈性應(yīng)變和剪脹角為變量的因素，改進(jìn)了BROWN的解，獲得了更嚴(yán)格的理論解。然而，這些研究并未考慮滲透力和水?力耦合作用。LEE等[4]提出了基于逐步應(yīng)力法的軟化圍巖應(yīng)力位移解析方法。該方法將塑性區(qū)分為許多同心圓環(huán)，每環(huán)的應(yīng)力和應(yīng)變?cè)隽靠梢酝ㄟ^應(yīng)力平衡方程和相容方程解得。WANG等[5?7]提出了分析圓形隧道應(yīng)變軟化圍巖應(yīng)力應(yīng)變的新方法，該方法針對(duì)線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的彈?脆?塑性巖體，獲得彈—脆—塑性應(yīng)變軟化圍巖的理論解。ZHANG等[8]提出利用多步彈—脆—塑性近似模擬軟化圍巖應(yīng)力應(yīng)變特性的分析模型。然而，他們均沒有考慮滲透力的影響。FAHIMIFAR等[9]提出了獲得地下水下開挖的圓形隧道簡(jiǎn)化閉合解的方法。KOLYMBAS等[10]推導(dǎo)出定常流動(dòng)時(shí)地下水滲入隧道滲流量及滲透力解析式。ALONSO 等[11]建立了軟化圍巖應(yīng)力應(yīng)變的通用求解方法。然而，上述研究也沒有考慮滲透力和水?力耦合的影響?，F(xiàn)有的研究主要集中在圓形隧道的理論或數(shù)值解[12]，且都只是考慮了滲透力的影響[13?16]，很少考慮滲透力作用下軟化圍巖的應(yīng)力應(yīng)變變化特性，而且未綜合考慮強(qiáng)度和變形劣化以及在塑性區(qū)剪脹角和彈性應(yīng)變的變化。為此，本文作者綜合考慮強(qiáng)度和變形劣化以及在塑性區(qū)剪脹角和彈性應(yīng)變的變化，同時(shí)考慮水?力耦合對(duì)軟化圍巖應(yīng)力應(yīng)變的影響規(guī)律，進(jìn)而改進(jìn)現(xiàn)有的軟化圍巖求解過程中的逐步位移法，利用改進(jìn)的逐步位移法，針對(duì)線性Mohr?Coulomb軟化圍巖，實(shí)現(xiàn)富水軟化圍巖應(yīng)力應(yīng)變的求解。

1 求解方法

1.1 問題定義

隧道圍巖受力狀態(tài)及計(jì)算分析模型如圖1所示，圖1中：σ和σ分別為大、小主應(yīng)力；c為完整巖石的單軸抗壓強(qiáng)度；為塑性區(qū)半徑；S為軟化區(qū)半徑。在連續(xù)、均勻、各向同性的彈性介質(zhì)中開挖半徑為0圓形深埋隧道。隧道圍巖初始地應(yīng)力為0，孔隙水壓力為w(，)，開挖后沿半徑方向均勻作用在隧道壁表面內(nèi)部支護(hù)力為in。在極坐標(biāo)系下，由于考慮到力學(xué)分析的軸對(duì)稱條件，可不考慮重力場(chǎng)，圍巖的應(yīng)力和位移僅是半徑的函數(shù)。在水力分析中，圍巖周圍的孔隙水壓力w(，)及滲透力r的分布是非軸對(duì)稱的，即孔隙水壓力w(，)和滲透力r均是和的函數(shù)。因此，由力學(xué)分析得到的是任意方向的應(yīng)力應(yīng)變，而由水力分析得到的是某一特定方向上的應(yīng)力 應(yīng)變。

圖1 隧道圍巖受力狀態(tài)及計(jì)算分析模型

1.2 基本假設(shè)

實(shí)際工程中工況復(fù)雜，為了便于力學(xué)分析，根據(jù)取重舍輕的原則進(jìn)行如下假設(shè)：隧道為深埋隧道，隧道圍巖初始地應(yīng)力各個(gè)方向的差異性較小，同時(shí)考慮到力學(xué)分析軸對(duì)稱條件，隧道圍巖受到的初始地應(yīng)力可簡(jiǎn)化為各個(gè)方向相同的壓力0；隧道圍巖視為均質(zhì)、各向同性的、連續(xù)的透水介質(zhì)。在水?力分析(滲透力和孔隙壓力分析)中，孔隙水壓力是徑向()和方向角()的函數(shù)，即w=w(，)。

1.3 孔隙水壓力和滲透力

孔洞周圍不同區(qū)域的滲透網(wǎng)如圖2所示，在地下水位線以下開挖具有恒定水頭的圓形隧道，孔隙水壓力用伯努利方程確定?；诜€(wěn)定流體狀態(tài)，并以隧道埋深作為基準(zhǔn)水平線。當(dāng)塑性區(qū)半徑與地下水位到隧道深度之比(/1)足夠小時(shí)，可假設(shè)流網(wǎng)在塑性區(qū)沿著徑向方向變化。彈性區(qū)與塑性區(qū)圓形邊界面上的水頭處處相等，假定向內(nèi)滲流速率為正。

圖2 孔洞周圍不同區(qū)域的滲透網(wǎng)

基于KOLYMBAS等[10]提出的圍巖中的孔隙水壓力公式，可推導(dǎo)出隧道彈性空間任何1點(diǎn)的孔隙水壓力公式：

式中：為隧道塑性半徑；1為地下水位到隧道的深度；()為極坐標(biāo)；為在隧道壁上最終孔隙壓力；為圍繞隧道壁在彈性?塑性交界面的最終水頭；為水容重。利用式(2)可得徑向滲透力表達(dá)式為

式中：為Biot–Willis多孔彈性耦合常數(shù)，在本文中假定為1。

1.4 水?力耦合方程

在考慮水?力耦合的軟化圍巖隧道穩(wěn)定性分析中，根據(jù)BROWN等[1]的研究成果，在彈性階段圍巖的滲透系數(shù)為常量0r，在圍巖的塑性范圍內(nèi)，其滲透系數(shù)可假設(shè)同圍巖的變形有關(guān)，即

式中：k為裂隙巖體的次生滲透系數(shù)；0r為巖體的初始滲透系數(shù)；或，為體積應(yīng)變；為比例常數(shù)(耦合常數(shù))。

由FAHIMIFAR等[9]的研究成果可知，孔隙水壓力[w(，)]和在水?力耦合作用下塑性區(qū)滲流量()可分別表示為：

1.5 強(qiáng)度和變形參數(shù)的演變方程

根據(jù)ALEJANO[11]的研究成果，可采用塑性剪應(yīng)變描述應(yīng)變軟化巖體的強(qiáng)度和變形參數(shù)的軟化規(guī)律：

式中：p為塑性偏應(yīng)變；和分別為大、小主塑性應(yīng)變。

利用塑性剪切應(yīng)變描述圍巖物理參數(shù)的雙線性函數(shù)為

式中：p為強(qiáng)度參數(shù)，本文考慮黏聚力，內(nèi)摩擦角，剪脹角隨塑性偏應(yīng)變p的變化；為臨界塑性偏應(yīng)變；下標(biāo)p和r分別表示峰值和殘余值；上標(biāo)p和e分別表示塑性區(qū)和彈性區(qū)。

1.6 Mohr?Coulomb屈服準(zhǔn)則

Mohr?Coulomb屈服準(zhǔn)則為

2 彈性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力與應(yīng)變求解

2.1 平衡方程與應(yīng)力邊界條件

考慮滲透力時(shí)，極坐標(biāo)中的軸對(duì)稱平衡方程為

2.2 應(yīng)力和應(yīng)變求解

式中：為彈性模量；為泊松比；ε和ε分別為徑向應(yīng)變和環(huán)向應(yīng)變。

當(dāng)考慮平面應(yīng)變條件時(shí)，應(yīng)力-應(yīng)變方程可以用胡克定律得到：

式中：為徑向位移；w為在徑向距離的孔隙水 壓力。

式(17)是線性差分方程，因此，可以應(yīng)用疊加原理進(jìn)行求解?？偽灰瓶梢苑纸獬蓋和b共2部分，分別表示由內(nèi)部滲流體的力和邊界的壓力導(dǎo)致的位移，即以及導(dǎo)致的位移。

求解式(17)可得處的徑向位移和應(yīng)變?yōu)椋?/p>

將式(19)和(20)代入式(15)和(16)，可得應(yīng)力和。

由邊界的壓力引起的位移和應(yīng)力可由下式計(jì)算獲得：

總的位移和應(yīng)變則可由下式表示：

3 塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力和位移求解

在應(yīng)變軟化巖體中，應(yīng)力和位移很難獲得解析解，尤其是考慮水?力耦合作用時(shí)。但可以構(gòu)造考慮水?力耦合作用的逐步位移迭代法(該耦合作用引入了強(qiáng)度破壞、變形、剪脹角以及塑性區(qū)彈性應(yīng)變的變化)，實(shí)現(xiàn)富水軟化圍巖的應(yīng)力位移求解。具體過程如下。

將總塑性區(qū)分為個(gè)同心環(huán)，如圖3所示。

圖3 塑性區(qū)的應(yīng)變軟化模型

因此，最外層環(huán)的應(yīng)力和位移由式(26)~(28)確定。在軸向?qū)ΨQ情況下，環(huán)可以足夠薄，應(yīng)變?位移關(guān)系可以由BROWN等[1]提出的求解方法獲得：

方程(30)可轉(zhuǎn)化為

半徑(j)處的位移可表示為

半徑(j)處的位移以及塑性半徑()的位移可利用逐步迭代法及MATLAB編程獲得。假設(shè)任意足夠小的環(huán)向應(yīng)變?cè)隽繛椋瑒t第環(huán)的應(yīng)變表示為：

對(duì)于第環(huán)，引入水?力耦合作用的平衡微分方程可由方程(9)和(10)求解。

對(duì)于第環(huán)，考慮水?力耦合作用的平衡差分方程可由式(3)，(5)，(9)和(10)獲得，具體如下：

環(huán)向應(yīng)力可以通過M?C屈服準(zhǔn)則公式得到：

每個(gè)環(huán)上的應(yīng)力通過利用遞歸關(guān)系從最外側(cè)環(huán)的初始值逐步獲得，而最外環(huán)的初始值可以通過方程式(27)和(28)得到。當(dāng)每個(gè)環(huán)厚度足夠小時(shí)，就可以得到應(yīng)變軟化區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變曲線。

4 驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文計(jì)算方法正確性，將本方法數(shù)值計(jì)算結(jié)果與ALONSO等[11]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，取參數(shù)如下：

隧道開半徑0=3.0 m，彈性模量=10 GPa，泊松比=0.25，初始地應(yīng)力0=20 MPa，黏聚力峰值和殘余值p=1.0，r=0.7，內(nèi)摩擦角峰值和殘余值p=30°，r=22°，剪脹角峰值和殘余值p=r=3.75°，臨界塑性偏應(yīng)變=0.004，水力耦合常數(shù)=1×105。計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

從圖4可見：本方法不考慮水力耦合作用時(shí)所得結(jié)果與ALONSO等[11]的計(jì)算結(jié)果基本一致，例如不考慮水力耦合作用時(shí)計(jì)算的臨界支護(hù)力ic=9.134 MPa，該結(jié)果與ALONSO等[11]計(jì)算結(jié)果一樣，由此可以證明本方法的正確性。在考慮水力耦合作用時(shí)，位移增大。例如考慮水力耦合i/0為28.9，6.7，2.8時(shí)，(/)(2)(0?ic)分別為28.9，6.7，2.8；當(dāng)在不考慮水力耦合作用時(shí)，(/)(2)(0?ic)分別為28.9，6.7，2.8，均小于考慮水?力耦合時(shí)相應(yīng)值，這也驗(yàn)證了在考慮水力耦合下圓形隧道收斂性增大的結(jié)論。

1—本文方法，考慮水力耦合；2—本文方法，不考慮水力耦合；3—ALONSO等[11]提出的方法。

圖4 軟化圍巖的地面響應(yīng)曲線

Fig. 4 Ground reaction curves of softening rock

5 算例分析

為了驗(yàn)證本文方法的正確性，同時(shí)分析相關(guān)參數(shù)對(duì)理論解的影響規(guī)律，取如下參數(shù)進(jìn)行計(jì)算(參考FAHIMIFAR等[4]的計(jì)算結(jié)果)：0=3.0 m，0=20 MPa，in=1.0 MPa，p=1.0，r=0.7，p=30°，r=22°，p=5°，r=3.75°，w=0.01，1=400 m，，c=10?6m/s，=0.004，=1×105。本文主要分析考慮水?力耦合和滲透力對(duì)本文理論解的影響，同時(shí)分析影響軟化特性的相關(guān)參數(shù)對(duì)理論解的影響規(guī)律。

5.1 滲透力的影響

為了分析滲透力的影響，考慮滲透力作用下與簡(jiǎn)化條件下應(yīng)力與位移的分布如圖5所示。

從圖5可見：考慮滲透力的應(yīng)力和位移比不考慮滲透力時(shí)的大；考慮滲透力后，塑性半徑與位移都相應(yīng)增大。其原因可能是滲透力使圍巖的強(qiáng)度減弱，導(dǎo)致塑性區(qū)擴(kuò)大。例如，在隧道內(nèi)壁處，考慮滲透力時(shí)隧道內(nèi)壁處位移=0.043 m，此時(shí)，塑性半徑= 8.770 m；不考慮滲透力時(shí)，位移=0.034 m，相對(duì)應(yīng)的塑性半徑=8.500 m。而位移與塑性半徑提高的幅值分別為3.17%及27.00%。因此，在隧道設(shè)計(jì)中，滲透力和水?力耦合作用不能被忽視。

5.2 應(yīng)變軟化的影響

為了分析考慮水?力耦合作用時(shí)應(yīng)變軟化參數(shù)對(duì)軟化圍巖應(yīng)力與位移的影響，分別取p為0.004，0.008以及0.012進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6所示。

從圖6可見：軟化參數(shù)取值變化時(shí)，位移與塑性半徑的變化很大，這說明軟化參數(shù)是決定軟化圍巖塑性區(qū)范圍的關(guān)鍵；隨著軟化參數(shù)增大，位移與塑性半徑均減小。例如，當(dāng)/0=1時(shí)，若p=0.004，則位移=0.043 m，塑性半徑=8.770 m；若p=0.008，則位移=0.033 m，塑性半徑=7.990 m；若p=0.012，則位移=0.026 m，塑性半徑=7.390 m。

5.3 強(qiáng)度參數(shù)的影響

為了分析考慮水?力耦合作用時(shí)強(qiáng)度參數(shù)對(duì)位移與應(yīng)力的影響，對(duì)于分以下情況討論：1)p=r=0.7；2)p=1，r=0.7；3)p=r=1。對(duì)于分以下3種情況討論：1)p=r=30°；2)p=30°，r=22°；3)p=r=22°。結(jié)果分別如圖7與圖8所示。

從圖7與圖8可見：當(dāng)強(qiáng)度參數(shù)增大時(shí)，塑性區(qū)徑向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力增大，位移與塑性半徑隨著強(qiáng)度參數(shù)的增大不斷減小；當(dāng)強(qiáng)度參數(shù)增大時(shí)，塑性區(qū)徑向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力均增大，位移與塑性半徑隨著強(qiáng)度參數(shù)的增大不斷減小。因此，考慮水?力耦合作用時(shí)，強(qiáng)度參數(shù)與對(duì)應(yīng)力與位移的影響趨勢(shì)相同，且對(duì)應(yīng)力與位移均具有顯著影響。

(a) 應(yīng)力；(b) 位移

1—σ，考慮滲透力；2—σ，考慮滲透力；3—σ，不考慮滲透力；4—σ，不考慮滲透力；5—，考慮滲透力；6—，不考慮滲透力。

圖5 不同滲透力作用下的應(yīng)力與位移分布

Fig. 5 Distribution of displacement and stress under different seepage forces

(a) 應(yīng)力；(b) 位移1—σ，p=0.004；2—σ，p=0.004；3—σ，p=0.008；4—σ，p=0.008；5—σ，p=0.012；6—σ，p=0.012；7—，p=0.004；8—，p=0.008；9—，p=0.012。

圖6 不同軟化參數(shù)下應(yīng)力與位移分布

Fig. 6 Distribution of stress and displacement under different critical values of strain-softening parameters

(a) 應(yīng)力；(b) 位移1—σ，p=r=1；2—σ，p=r=1；3—σ，p=1，=0.7；4—σ，p=1，r=0.7；5—σ，p=r=0.7；6—σ，p=r=0.7；7—，p=r=0.7；8—，p=r=0.7；9—，p=r=0.7。

圖7不同時(shí)應(yīng)力與位移分布

Fig. 7 Distributions of stress and displacement under different strength parameters

(a) 應(yīng)力；(b) 位移1—σ，p=r=30°；2—σ，p=r=30°；3—σ，p=30°，r=22°；4—σ，p=30°，r=22°；5—σ，p=r=22°；6—σ，p=r=22°；7—，p=r=30°；8—，p=30°，r=22°；9—，p=r=22°。

圖8不同時(shí)的應(yīng)力與位移分布

Fig. 8 Distributions of stress and displacement under different strength parameters

6 結(jié)論

1) 重構(gòu)了考慮強(qiáng)度和變形參數(shù)劣化、剪脹角和塑性區(qū)彈性應(yīng)變?yōu)樽兞康膽?yīng)變軟化圍巖的演化方程，同時(shí)在該方程中引入水?力耦合作用，提出了基于重構(gòu)的應(yīng)變演化方程的應(yīng)變軟化圍巖應(yīng)力位移求解的逐步位移法。該方法基于線性M?C巖體，可有效求解圓形隧道應(yīng)力位移，尤其是塑性區(qū)、軟化區(qū)及殘余區(qū)的應(yīng)力與位移。

2) 在考慮水?力耦合作用下，應(yīng)力約束減小，隧道圍巖的收斂、位移和塑性半徑均增大。滲透力、應(yīng)變軟化參數(shù)、強(qiáng)度參數(shù)對(duì)圍巖的收斂有顯著影響。

3) 在實(shí)際隧道工程中，該方法也可用于估算隧道圍巖的加固程度，也可用于現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)結(jié)果對(duì)比。

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(編輯 陳燦華)

Solution for strain-softening surrounding rock incorporating hydraulic-mechanical coupling

ZOU Fei1, 2, 3, ZOU Jinfeng2

(1. Guizhou Transportation Planning Survey & Design Academe, Guiyang 550081, China;2. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;3. Construction Engineering Quality Supervision Bureau of Guizhou Province, Guiyang 550000, China)

An improved numerical stepwise procedure for the stress and displacement of a deep-buried circular opening excavated in a strain-softening rock mass under hydraulic-mechanical coupling was proposed. It followed the generalized Mohr-Coulomb (M-C) failure criterion. This method considered the deterioration of the strength, deformation, dilation angle and the variation of elastic strain in the plastic region. The total plastic region was presumably divided intoconcentric annuli based on the assumption of plane strain and improved numerical stepwise procedure. The stress and displacement on each ring were expressed by the recursive relation from the initial value of the outermost annulus. Meanwhile, parametric studies were also conducted to highlight the influence of hydraulic-mechanical coupling on stress and displacement. The results show that the stress confinement is lower, and displacement and plastic radius are higher than those obtained when hydraulic-mechanical coupling is not considered. Displacement and plastic radius increase by 27.00% and 3.17%, respectively.

hydraulic-mechanical coupling; Mohr-Coulomb failure criterion; strain softening; numerical stepwise procedure; deep-buried circular opening

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.12.033

TU457

A

1672?7207(2016)12?4216?08

2016?03?14；

2016?05?10

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)項(xiàng)目(2013CB036004)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51208523) (Project(2013CB036004) supported by the National Basic Research Program(973 Program) of China; Project(51208523) supported by the National Natural Science Foundation of China)

鄒飛，博士，高級(jí)工程師，從事巖石動(dòng)力學(xué)和邊坡極限分析研究；E-mail：68870417@qq.com