曹家勇，張婧茹，代欣，梁慶華

?

包含磁力齒輪的位置伺服系統(tǒng)的極點配置與積分校正控制

曹家勇1，張婧茹2，代欣2，梁慶華2

(1. 上海應用技術大學機械工程學院，上海，201418；2. 上海交通大學機械與動力工程學院，上海，200240)

為克服磁力齒輪的低剛度特性，提高伺服系統(tǒng)動態(tài)性能和抗干擾能力，采用以輸出位置作為狀態(tài)反饋構成全閉環(huán)控制系統(tǒng)的策略。建立既考慮磁力齒輪的動力學特性，又考慮摩擦負載和外界負載的綜合動力學模型，進而得到系統(tǒng)的頻域表達和狀態(tài)空間表達。利用極點配置法，合理選擇閉環(huán)系統(tǒng)主導極點，并設定狀態(tài)反饋系數(shù)向量，以獲得預想的系統(tǒng)性能。為進一步增強系統(tǒng)的抵抗負載波動能力，引入積分校正環(huán)節(jié)對位置誤差信號進行積分運算，構建基于積分校正方法的控制系統(tǒng)。對所建立的2類控制系統(tǒng)進行數(shù)值仿真。研究結果表明：2種控制方法均能使直線滑臺快速而準確地到達指令位置，實現(xiàn)對輸入信號的良好跟蹤。但含積分校正器控制系統(tǒng)具有更好的抗干擾能力和定位精度，更適用于具有大波動負載和外界干擾的場合。

伺服系統(tǒng)；磁力齒輪；數(shù)學建模；極點配置

磁力齒輪的非接觸傳動模式帶來了加工成本低廉、無機械接觸失效、便于維護、固有的過載保護等優(yōu)勢。隨著高性能永磁材料和新型結構的發(fā)展，現(xiàn)在的高性能磁力齒輪的轉矩密度和傳遞效率已經能與機械齒輪箱相媲美，在工程上具有廣闊的應用前景[1?5]。磁力齒輪在伺服系統(tǒng)中應用有2種途徑：一種是替代伺服系統(tǒng)中常見的行星齒輪；另一種使磁力齒輪與電機部件及磁場融合，形成一種類似于直接驅動的新型驅動元件(被稱作“偽”直驅電機)[6?7]。但是，不管應用形式如何變化，克服磁力齒輪的高彈性特點和非線性傳力特性，保證系統(tǒng)的動態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)精度，是實現(xiàn)磁力齒輪在伺服系統(tǒng)中應用的關鍵。WANG等[7]分析了一類含磁力齒輪的“偽”直驅電機的高速轉子和低速轉子相互作用特性，建立了磁力齒輪的雙慣性傳動系統(tǒng)模型，采用基于狀態(tài)觀測器的全狀態(tài)反饋方法，實現(xiàn)了磁力齒輪的速度伺服控制。MONTAGUE等[8]采用PI控制算法，結合ITAE參數(shù)優(yōu)化方法，實現(xiàn)了對磁力齒輪的速度伺服控制。MONTAGUE等[9]提出了磁力齒輪位置伺服控制的PD算法，為了提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，還在系統(tǒng)中引入了具有非線性校正作用的雙觀測器，驗證了磁力齒輪的非線性特性可以在應用中被克服。BOUHERAOUA等[10]討論了“偽”直驅電機的綜合系統(tǒng)模型，比較了PI，IP和狀態(tài)反饋3種控制策略，認為狀態(tài)反饋控制能夠使系統(tǒng)達到最好的系統(tǒng)阻尼和魯棒性。MONTAGUE等[11?12]又實現(xiàn)了磁力齒輪的反饋線性化伺服控制、帶觀測器的狀態(tài)反饋控制和只具有1個位置傳感器的伺服控制方法[6]。目前磁力齒輪伺服控制僅限于研究電機和磁力齒輪構成的半閉環(huán)控制系統(tǒng)，基本未涉及執(zhí)行機構負載特性(比如執(zhí)行機構的慣性、摩擦特性等)對系統(tǒng)性能的影響問題。鑒于此，本文作者將磁場調制式磁力齒輪應用于一類典型的機械伺服系統(tǒng)，即直線滑臺伺服系統(tǒng)，探討其控制器設計、系統(tǒng)特性分析等問題。構建以滑臺位移為被測量的全閉環(huán)控制系統(tǒng)，建立包含磁力齒輪的直線滑臺伺服系統(tǒng)的數(shù)學模型。在此基礎上，利用極點配置法確定系統(tǒng)狀態(tài)反饋的系數(shù)，并且引入積分器校正環(huán)節(jié)，以抑制外部干擾對系統(tǒng)的影響[13]。

圖1 含磁力齒輪直線滑臺伺服傳動系統(tǒng)簡單示意圖

圖2 磁場調制式磁力齒輪結構形式

1 包含磁力齒輪伺服系統(tǒng)的建模

包含磁力齒輪的直線滑臺伺服傳動系統(tǒng)構成如圖1所示，其由伺服電機、磁力齒輪、線性模組等組件構成。伺服電機輸出的運動通過磁力齒輪減速后傳遞給線性模組，線性模組中的絲桿螺母副實現(xiàn)轉動運動到直線平移運動的轉換。系統(tǒng)中的磁力齒輪原理結構如圖2所示，這是一類磁場調制式磁力齒輪，因具有很高的轉矩密度，受到廣泛關注。磁場調制式磁力齒輪由3個同心部件構成：最內層的是高速內轉子，由內轉子鐵心和附著于內轉子鐵心外圓柱面上的永磁體構成；中間層是調磁環(huán)，由高導磁材料和非導磁材料間歇排布的構成；最外層是低速外轉子，由外轉子鐵心和附著于外轉子內圓柱面的一系列永磁體構成[1]。在實際使用中通常將調磁環(huán)固定，高速的內轉子在2套永磁體形成磁場的相互作用下，將動力傳遞給低速的外轉子。

為獲得含齒力齒輪的伺服傳動系統(tǒng)動力學模型。首先，采用簡化假設認為，伺服電機本身具有良好的伺服特性，即伺服電機能夠精確地復現(xiàn)驅動器的給定指令，這一假設的合理性和有效性在文獻[8，14]中得到理論和實驗的驗證。其次，將磁力齒輪等效成由2套理想齒輪副和1副理想磁力聯(lián)軸器構成[8, 14]，所謂“理想”指的是相關零件無轉動慣量，至于實際系統(tǒng)的轉動慣量，采用集中慣量等效的辦法來體現(xiàn)。最終得到整個系統(tǒng)的動力學模型如圖3所示。圖3中：M和L分別為高速軸的集中轉動慣量和低速軸的集中轉動慣量；為線性模組滑臺的質量；扭轉彈簧代表理想磁力聯(lián)軸器。磁力聯(lián)軸器傳遞的轉矩用C表示，實際系統(tǒng)中C呈現(xiàn)周期非線性限制。但是，在正常載荷范圍內，C可近似看成隨磁力聯(lián)軸器輸入和輸出轉角差D線性變化，即

C=(MM?sL)

其中：為磁力聯(lián)軸器的線性傳動剛度；M為輸入軸的轉動角度；L為輸出軸的轉動角度；M和s分別為內轉子磁極對數(shù)和調磁環(huán)極靴個數(shù)。

圖3 傳動系統(tǒng)等效雙慣性模型

根據(jù)力矩平衡原理，得到系統(tǒng)的運動方程式如下：

其中：a為絲桿螺母施加于絲桿上的阻力矩，由負載平臺所受的水平外載荷L和平臺運動慣性力共同產生，即

為負載質量(包含平臺和平臺上面負載)，kg；為絲杠導程，m；為進給絲杠的傳動效率。

進行拉氏變換，得到

將外載荷L視作外界干擾項，令L=0，又()=L()，求解上述方程組得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

假設輸入量為0，計算只在擾動量作用下的響應可以得到

其中：M()和L()分別為電機側和負載側的角位移，rad/s；EM()為電機驅動力矩的頻域信號，N·m；M和L分別為電機側和負載側的轉動慣量，kg·m--2。

根據(jù)式(5)和式(6)繪制直線滑臺傳動系統(tǒng)方框圖如圖4所示。

圖4 直線滑臺傳動系統(tǒng)方框圖

2 基于極點配置法的控制器設計

閉環(huán)系統(tǒng)動靜態(tài)性能與系統(tǒng)閉環(huán)極點在根平面上的位置緊密相關，因此，一種直接有效的閉環(huán)設計方法就是引入某種控制器，實現(xiàn)將閉環(huán)系統(tǒng)所有極點配置到理想位置，即極點配置方法[15]。帶有輸入變換的狀態(tài)反饋系統(tǒng)圖如圖5所示。圖5中：為狀態(tài)反饋增益，根據(jù)極點配置法確定；為增益調節(jié)。

圖5 狀態(tài)反饋原理圖

定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量=[1234]T=[]T，對象輸入=EM，對象輸出=1=，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為如下形式：

=(9)

式中：

極點配置設計方法的前提是選擇好希望的閉環(huán)極點的位置。選擇這一類極點的方法，主要依據(jù)對象的階次以及控制要求等，一般根據(jù)經驗選擇?；跇O點配置理論，可以知道該種類型的控制方法作用于系統(tǒng)中，得到的閉環(huán)極點個數(shù)不會超過對象的階次4，因此，這里設計4個期望的閉環(huán)極點?；诟壽E設計中的經驗，閉環(huán)極點的設計思路是先對1對共軛主導極點進行配置，再選擇其余次極點，使其處于遠離主導閉環(huán)極點的左方。一般來說，在復平面上當某極點距離虛軸的距離為主導極點距離虛軸距離的5~10倍時，就認為該極點為一次極點。其中主導閉環(huán)極點可根據(jù)系統(tǒng)希望的阻尼比以及無阻尼自然頻率n來確定。這里，根據(jù)經驗選擇相對阻尼=0.707。帶寬表示系統(tǒng)跟蹤正弦輸入信號的能力，在這里選擇系統(tǒng)的帶寬為10 Hz，因此選擇極點的自然頻率也為n=10 Hz，于是得到2個共軛主導極點1和2為。

接著探討輸入變換放大器的取值。由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和所配置的極點可知，極點配置之后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

其中：ref()為無增益調節(jié)時直線滑臺的期望位置。

根據(jù)終值定理，對于階躍輸入，即ref()=1/，有

于是，選擇為

3 引入積分器校正狀態(tài)反饋

以上討論未考慮系統(tǒng)的外部干擾，然而在實際過程中外界對系統(tǒng)產生的干擾是難以避免的，會導致系統(tǒng)瞬間產生波動，并且恢復穩(wěn)態(tài)時往往造成穩(wěn)態(tài)偏差的產生，不能理想地跟隨輸入指令。將經典控制理論中比例積分控制的思想引入本文描述系統(tǒng)中，構造如圖6所示的狀態(tài)反饋加積分器校正的輸出反饋系統(tǒng)。圖6中：維列向量為擾動輸入，為參考輸入；，和分別為維，維和維列向量；，和分別為×，×和×實數(shù)矩陣；1和2分別為×和×實數(shù)矩陣。將個積分器生成的作為附加狀態(tài)向量，與原被控系統(tǒng)可構成被控系統(tǒng)增廣的動態(tài)方程，

增廣系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制律為

圖6 引入積分器校正的閉環(huán)控制原理圖

式(11)中的第1項?1為被控系統(tǒng)的普通狀態(tài)負反饋，第2項2為改善穩(wěn)態(tài)性能而引入的誤差的積分信號。只有式(11)所描述的+維增廣系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，才可采用式(10)所示的狀態(tài)反饋改善系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。容易證明，增廣系統(tǒng)能控的充要條件為原被控系統(tǒng)能控，且。

將式(11)代入式(10)可得狀態(tài)反饋增廣系統(tǒng)(見圖6)的動態(tài)方程為

因此，只要1和2選得使式(12)的特征值均具有負實部，則圖6所示閉環(huán)系統(tǒng)可消除階躍擾動及階躍參考輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。選取期望的閉環(huán)極點：

同樣可以利用解析法求得1和2。

4 仿真結果

基于上述設計原理，在Matlab/Simulink環(huán)境中建立仿真模型，模型參數(shù)如表1所示。

圖7所示為狀態(tài)反饋系統(tǒng)和額外引入積分器校正的系統(tǒng)的單位階躍響應曲線，它們過渡過程的品質特性如表2所示。從圖7可以看出：在沒有外界干擾的情況下2類系統(tǒng)都具有較好的階躍響應，但相比較而言，單純狀態(tài)反饋系統(tǒng)的超調量較大，且相應的上升時間、峰值時間以及調整時間較長。

表1 控制對象模型參數(shù)

1—有積分器系統(tǒng)；2—無積分器系統(tǒng)。

圖7 2類系統(tǒng)階躍響應特性

Fig. 7 Step responds of two control systems with and without integral compensation

圖8所示為階躍負載作用下2種系統(tǒng)階躍響應圖。針對本文系統(tǒng)，假設系統(tǒng)在=0.5 s時系統(tǒng)突然受到500 N的外力干擾，該情況模擬了作業(yè)過程中工況變化(如刀具與工件的接觸)對系統(tǒng)的影響。從圖8可以看出：引入積分器的系統(tǒng)對階躍信號干擾有明顯的抑制作用。比較2個系統(tǒng)的抗擾性能指標如表3所示，其中動態(tài)降落是指系統(tǒng)穩(wěn)定運行時，突加一定數(shù)值的擾動后引起輸出的最大降落值，用輸出量原穩(wěn)態(tài)值的百分比來表示。

表2 2類系統(tǒng)階躍響應特性比較

表3 2類系統(tǒng)抗擾性能指標比較

1—有積分器系統(tǒng)；2—無積分器系統(tǒng)。

圖8 階躍信號干擾下2類系統(tǒng)的響應曲線

Fig. 8 Responds to step disturbance of two control systems with and without integral compensation

圖9所示為不同幅值交變信號作用在2個系統(tǒng)上的響應情況，假設系統(tǒng)受到一基值為0、幅值為500 N、頻率為20 Hz的正弦脈動信號干擾。從圖9可以看出：響應結果為在原響應的基礎上，再疊加了1個同頻率的負載脈動，但是明顯可以看出引入積分器的系統(tǒng)對該種類型的擾動信號有抑制能力較強。圖10和圖11所示分別為不同頻率負載作用下，無積分器和有積分器系統(tǒng)的響應情況。從圖10和圖11可以看出：無積分器系統(tǒng)對高頻擾動有較好的抑制性能，對相對低頻的則難以抑制。而加入積分器的系統(tǒng)對各種頻率均有較好的抑制性能。

頻率/Hz：1—10；2—100。

圖9 正弦信號干擾下2類系統(tǒng)的響應曲線

Fig. 9 Responds to sinusoidal disturbance of two control systems with and without integral compensation

頻率/Hz：1—10；2—100。

圖10 不同頻率信號干擾對無積分器系統(tǒng)的影響

Fig. 10 Effect of sinusoidal disturbances with different frequencies on control system without integral compensation

頻率/Hz：1—10；2—100。

圖11 不同頻率正弦信號干擾對引入積分器系統(tǒng)的影響

Fig. 11 Effect of sinusoidal disturbance with different frequencies on control system with integral compensation

5 結論

1) 將磁力齒輪引入到位置伺服系統(tǒng)中，研究其系統(tǒng)建模和全閉環(huán)控制問題。建立了包含磁力齒輪的直線伺服滑臺的綜合數(shù)學模型，該模型不僅體現(xiàn)了磁力齒輪的動力學特性，還考慮了滑臺摩擦特性和負載狀況?；跇O點配置法，分別設計了不含積分校正器和含積分校正器的2種控制系統(tǒng)。

2) 2種控制方法均能使直線滑臺快速而準確地到達指令位置，實現(xiàn)對輸入信號的良好跟蹤。但是，對于具有大波動負載和外界干擾的場合(如切削加工機床)，含積分校正器控制系統(tǒng)具有更強的抗干擾能力和更高的定位精度。研究結果為進一步拓展磁力齒輪在伺服系統(tǒng)的應用提供了良好的思路。

[1] ATALLAH K, HOWE D. A novel high-performance magnetic gear[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2001, 37(4): 2844?2846.

[2] SHAH L, CRUDEN A, WILLIAMS B W. A magnetic gear box for application with a contra-rotating tidal turbine[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2011, 47(2): 431?438.

[3] GULDAGAD M N, ANAND P G. The design of power tansmission system through “the cycloid magnetic gear” for Hybrid Vehicles[C]//14th National Conference on Machines and Mechanisms. Durgapur, India, 2009: 468?470.

[4] JIAN L, CHAU K T. A novel electronic-continuously variable transmission propulsion system using coaxial magnetic gearing for hybrid electric vehicles[J]. Journal of Asian Electric Vehicles, 2009, 7(2): 1291?1296.

[5] MONTAGUE R G, BINGHAM C M, ATALLAH K. Magnetic gear dynamics for servo control[C]//Proceedings of the 15th IEEE Mediterranean Electrotechnical Conference. Valletta, Republic of Malta, 2010: 1192?1197.

[6] BOUHERAOUA M, WANG J, ATALLAH K, et al. Speed control for a pseudo direct drive permanent magnet machine with one position sensor on low-speed rotor[C]//Electric Machines & Drives Conference. Chicago, USA, 2013: 986?992.

[7] WANG J B, ATALLAH K. Modeling and control of ‘pseudo’ direct-drive brushless permanent magnet machines[C]//IEEE International Electric Machines & Drives Conference. Miami, USA, 2009: 870?875.

[8] MONTAGUE R G, BINGHAM C M, ATALLAH K. Characterisation and modelling of magnetic couplings and gears for servo control systems[C]//5th IET International Conference on Power Electronics, Machines and Drives. Brighton, UK, 2010: 1?6.

[9] MONTAGUE R G, BINGHAM C M, ATALLAH K. Dual-observer-based position-servo control of a magnetic gear[J]. IET Electric Power Application, 2011, 5(9): 708?714.

[10] BOUHERAOUA M, WANG J, ATALLAH K, et al. A complex frequency domain analysis of a closed loop controlled pseudo direct drive[C]//2012 International Conference on Electrical Machines. Marseille, France, 2012: 2428?2434.

[11] MONTAGUE R, BINGHAM C. Nonlinear control of magnetically-geared drive-trains[J]. International Journal of Automation and Computing, 2013, 10(4): 319?326.

[12] BOUHERAOUA M, WANG J, ATALLAH K. Design and implementation of an observer-based state feedback controller for a pseudo direct drive[J]. IET Electric Power Application, 2013, 7(8): 643?653.

[13] RAMLI M S, RAHMAT M F, NAJIB M S. Design and modeling of integral control state-feedback controller for implementation on servomotor control[C]//6th WSEAS International Conference on Circuits, Systems, Electronics, Control & Signal Processing. Cairo, Egypt, 2007: 208?213.

[14] MONTAGUE R, BINGHAM C, ATALLAH K. Servo control of magnetic gears[J]. IEEE-ASME Transactions on Mechatronics, 2012, 17(2): 269?278.

[15] OGATA K, 盧伯英, 佟明安. 現(xiàn)代控制工程[M]. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2011: 781?791. OGATA K, LU Boying, TONG Mingan. Modern control engineering[M]. Beijing: Electronic Industry Press, 2011: 781?791.

(編輯 楊幼平)

Control strategy of servo positioning system with magnetic gears based on pole assignment and integral compensation

CAO Jiayong1, ZHANG Jingru2, DAI Xin2, LIANG Qinghua2

(1. School of Mechanical Engineering, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418, China;2. School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

The magnetic gears have the characteristics of low stiffness, which is normally regarded as the main barrier for their widespread application in the systems with high-bandwidth dynamic transients. A closed loop control strategy for the linear positioning system with magnetic gears was proposed. A comprehensive dynamic mathematical model, which takes into account the dynamic of magnetic gears, as well as the frictional load and external force, was proposed. Based on the dynamic model, a frequency-domain expression and a state-space expression were both obtained. For realizing the desired dynamic response, a pole placement algorithm was used. An extra integral regulation was introduced to strengthen the ability of rejecting the load disturbances. The results show that those two types of controllers can adjust the position of the linear stage accurately and fast. The second controller with integral regulation has a higher anti-disturbance ability and positioning accuracy.

servo system; magnetic gear; mathematical modelling; poles placement

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.12.012

TM301.2；TH132.4

A

1672?7207(2016)12?4041?07

2015?12?04；

2016?03?03

國家自然科學基金資助項目(51175325)；上海應用技術大學引進人才科研啟動基金資助項目(2015年)(Project(51175325) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2015) supported by Shanghai Institute of Technology Research Foundation for Scholars)

曹家勇，副教授，碩士生導師，從事新型驅動與運動控制、磁力傳動技術和機電一體化技術的研究；E-mail：caojy@sit.edu.cn