周 建 ， 楊智春

(1.西安航天動力研究所，西安 710100； 2. 西北工業(yè)大學(xué) ，西安 710072)

基于POD降階方法的復(fù)合材料曲壁板顫振響應(yīng)特性研究

周 建1， 楊智春2

(1.西安航天動力研究所，西安 710100； 2. 西北工業(yè)大學(xué) ，西安 710072)

建立了三維復(fù)合材料曲壁板的氣動彈性有限元方程，將本征正交分解方法(POD)應(yīng)用于三維復(fù)合材料曲壁板的非線性顫振響應(yīng)降階分析中，通過POD方法構(gòu)造三維復(fù)合材料曲壁板顫振響應(yīng)的POD模態(tài)，然后將系統(tǒng)的運動方程變換到POD模態(tài)坐標下，通過數(shù)值積分方法計算三維復(fù)合材料曲壁板的顫振響應(yīng)，與傳統(tǒng)的模態(tài)縮減法計算結(jié)果相比，結(jié)果很好的吻合，且大大節(jié)省了計算時間。

曲壁板；壁板顫振；本征正交分解

自20世紀50年代飛行器速度達到超音速以來，發(fā)生了一些因壁板顫振而引起的飛行事故[1-2]。壁板顫振是飛行器表面蒙皮結(jié)構(gòu)由于空氣動力、慣性力和彈性力的相互耦合作用而產(chǎn)生的一種氣動彈性不穩(wěn)定現(xiàn)象，是動力學(xué)系統(tǒng)的一種自激振動。由于幾何非線性的影響，在壁板發(fā)生顫振時并不會瞬間發(fā)生破壞，而是表現(xiàn)為固定幅值的極限環(huán)振動。

在壁板的非線性顫振響應(yīng)研究中，由于壁板顫振系統(tǒng)的維數(shù)較大，很多研究者基于模態(tài)疊加的思路來減縮壁板顫振系統(tǒng)的維數(shù)[3-4]。ZHOU等將此種模型技術(shù)應(yīng)用在受熱壁板的非線性顫振響應(yīng)分析中，并與采用迦遼金方法的分析結(jié)果進行了對比，說明了該方法的正確性。研究表明，為了得到具有足夠精度的壁板顫振響應(yīng)的近似解，對于三維壁板，至少需要保留36階固有模態(tài)。用如此多的模態(tài)階數(shù)計算壁板的非線性顫振響應(yīng)，不僅時間開銷巨大，而且對于顫振抑制器的設(shè)計帶來了非常大的困難[5-6]，為了解決這些問題，則需要尋找新的降階方法，以盡可能低階的模型來描述壁板非線性顫振系統(tǒng)。在2002年，GUO和MEI[7-8]提出了氣動彈性模態(tài)的概念，并利用壁板的氣動彈性模態(tài)進行系統(tǒng)降階，分析表明，這種基于氣動彈性模態(tài)的模型降階技術(shù)能大大提高壁板非線性顫振響應(yīng)的分析效率，但由于氣動彈性模態(tài)不具有正交性，在氣動彈性模態(tài)坐標系下，各階模態(tài)之間存在質(zhì)量耦合和剛度耦合；另外為了保證氣動彈性模態(tài)為實模態(tài)和提高求解精度，計算氣動彈性模態(tài)時的氣流動壓應(yīng)該接近顫振臨界動壓。近些年來，本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition，POD)方法在動力學(xué)系統(tǒng)降維中得到了廣泛的應(yīng)用。POD技術(shù)主要依賴于已有的數(shù)據(jù)結(jié)果[9-10]，因此很難對其進行物理解釋，理解的關(guān)鍵在于由POD技術(shù)降階得到的模態(tài)(POMs)是相互正交的，而固有模態(tài)只是對質(zhì)量和剛度正交。應(yīng)用POD方法對系統(tǒng)進行降維有很多優(yōu)點：①POMs是從實驗數(shù)據(jù)或數(shù)值計算數(shù)據(jù)中計算提取，不需要計算結(jié)構(gòu)矩陣；②可以直接利用特征值來判斷并提取所需要的模態(tài)數(shù)，簡單方便；③POMs是最優(yōu)的正交基，用其降維效率高和效果好。

在航空領(lǐng)域，許多研究人員采用POD降階方法來計算翼型表面流場[11-15]，減少了計算時間，提高了計算效率。也有一些研究者將本征正交分解方法應(yīng)用于壁板非線性顫振響應(yīng)的降階分析中[16-18]，但他們對于此降階方法的應(yīng)用僅僅停留在二維平壁板非線性顫振的基礎(chǔ)上，結(jié)構(gòu)模型相對簡單，對于工程應(yīng)用還存在一定的差距。

本文建立了三維復(fù)合材料曲壁板的非線性顫振運動方程，將POD降階建模方法應(yīng)用于三維復(fù)合材料曲壁板的非線性顫振響應(yīng)特性研究中，并與傳統(tǒng)的模態(tài)縮減法計算結(jié)果進行了對比。

1 三維復(fù)合材料曲壁板顫振系統(tǒng)有限元模型

采用TESSLER和HUGHES[19]提出的MIN3三角形三結(jié)點Mindlin板單元來建立三維復(fù)合材料曲壁板顫振有限元模型，MIN3單元每個結(jié)點有5個自由度，包含三個位移自由度(面內(nèi)位移ui和vi，橫向位移wi)和兩個轉(zhuǎn)動自由度(繞x軸θxi和繞y軸θyi)。

則MIN3單元的結(jié)點位移向量可以表示為：

{w}={wbθwm}T

(1)

其中：

{wb}=[w1w2w3]T

{θ}=[θx1θx2θx3θy1θy2θy3]T

{wm}=[u1u2u3v1v2v3]T

單元的位移場可以通過結(jié)點位移插值求得：

(2)

圖1示出了三維曲壁板的示意圖，a為x方向曲壁板的跨度，b為y方向曲壁板的長度，H為曲壁板的最大拱高，h為曲壁板的厚度，V∞為來流速度。圖2示出了曲壁板上任意一點位移的定義，其中，u0、v0和w0為曲壁板上任意一點的初始幾何位置坐標；u、v和w為曲壁板上任意一點沿三個位移自由度方向的位移改變量。

圖1 三維曲壁板示意圖Fig.1 The curved panel geometry

圖2 曲壁板上任意一點位移的定義Fig.2 Displacement Definition of curved panel

三維曲壁板上任意一點處的總應(yīng)變-位移關(guān)系可表示為：

(3)

曲壁板的橫向剪切應(yīng)變可以表示為：

(4)

壁板的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以表示為：

(5)

式中:{σ}為壁板面內(nèi)力，{τ}為壁板的面內(nèi)剪切應(yīng)力，[Q]和[Qs]分別為彈性模量矩陣和剪切模量矩陣。

(6)

式中：

從虛功原理出發(fā)，單元的內(nèi)力虛功表達式：

(7)

式中:S為單元的面積，αs為橫向剪切校正因子[19]。

帶有曲率修正的一階活塞理論氣動力可以表示為[20]：

(8)

定義無量綱動壓和無量綱氣動阻尼：

(9)

則

(10)

忽略壁板面內(nèi)方向和撓度方向之間的慣性耦合，則單元的外力虛功為：

(11)

由虛功平衡方程：

δWint-δWext=0

(12)

組裝單元矩陣，得到三維復(fù)合材料曲壁板的顫振運動方程：

(13)

式中:[M]為質(zhì)量矩陣，[C]為阻尼矩陣，[K0]為小撓度變形下的彈性剛度矩陣，λ[Ax]為氣動剛度矩陣， [K]s為剪切剛度矩陣，[K]θ0為初始幾何曲率引起的剛度修正矩陣，[N1]0，[N1]θ0，[N1]Nb，[N1]Nm，[N1]Nθ0為一階非線性矩陣，與結(jié)點位移的一次項有關(guān)，[N2]為二階非線性矩陣，與結(jié)點位移的二次項有關(guān)，λ{Pw0,x}為氣動靜載荷。

令：

[Aa]=λ[Ax]

[KL]=[K0]+αs[K]s+[K]θ0

[N1]=[N1]0+[N1]θ0+[N1]Nb+

[N1]Nm+[N1]Nθ0

{P}=-λcosΛ{Pw0,x}

則式(13)可以表示為：

2 POD降階建模方法

POD降階方法的基本思想是利用n維空間的數(shù)據(jù)樣本(稱為“快照”)提取m(m?n)維最優(yōu)基，構(gòu)建一個最優(yōu)子空間，形成降階系統(tǒng)，使降階系統(tǒng)與全階系統(tǒng)的誤差達到最小。在POD方法中首先要得到“快照”矩陣S，“快照”矩陣的數(shù)據(jù)一般采用實驗測試或數(shù)值模擬的方法獲得，本文的快照矩陣是由36階固有模態(tài)截斷法計算得到的曲壁板非線性顫振響應(yīng)數(shù)據(jù)(通常認為是精確解)構(gòu)造而成：

(15)

式中:W(xn,yn,tm)是三維復(fù)合材料曲壁板有限元中編號為n的結(jié)點在tm時刻的響應(yīng)，m為選取時間點的個數(shù)。

通過“快照”矩陣構(gòu)造關(guān)聯(lián)矩陣：

P=STS

(16)

求解得到關(guān)聯(lián)矩陣P的特征值λi和特征向量vi(i=1,2,…,m)，λi是對應(yīng)vi包含能量大小的量度，用于維數(shù)估計。將特征值進行降序排列λ1≥λ2≥…≥λm，并將對應(yīng)的特征向量進行重新排列。通過以下標準對POD模態(tài)進行截斷：

(17)

式中:ε為根據(jù)精度要求設(shè)置的參數(shù)標準；l為符合標準的POD模態(tài)的數(shù)目。將前l(fā)維特征向量vi組成矩陣V=[v1,v2,…,vl]，將這些向量進行線性疊加Ψ=SV，即可提取POD模態(tài)Ψi(i=1,2,…,l)。對三維復(fù)合材料曲壁板非線性顫振系統(tǒng)在物理空間中的方程進行POD模態(tài)坐標變換，即有：

W(x,y,t)=Ψ·a(t)

(18)

式中:a=[a1a2…al]T為POD降階模態(tài)下的坐標向量。

將式(18)代入三維復(fù)合材料曲壁板顫振運動方程(14)，引入下列POD模態(tài)坐標變換式：

其中，[N1]i是三維復(fù)合材料曲壁板對應(yīng)于第i階POD模態(tài)Ψi的一階非線性剛度矩陣；[N2]i,j是三維復(fù)合材料曲壁板對應(yīng)于第i階POD模態(tài)Ψi和第j階POD模態(tài)Ψj組合時的二階非線性剛度矩陣。

于是，POD模態(tài)坐標系下三維復(fù)合材料曲壁板的顫振運動方程為：

(19)

式中:

通過POD模態(tài)坐標變換，系統(tǒng)的自由度數(shù)目由全部結(jié)點自由度數(shù)目之和縮減為POD模態(tài)截斷后保留模態(tài)數(shù)之和，于是三維復(fù)合材料曲壁板顫振運動方程的維數(shù)大大降低，顫振運動方程(19)的狀態(tài)空間方程形式可寫為：

(20)

式中:I為l×l階單位矩陣。

下文的顫振響應(yīng)分析中，采用四階龍格-庫塔方法對式(20)進行數(shù)值積分，積分時間步長為Δτ=0.000 01，且均是提取復(fù)合材料曲壁板中心位置結(jié)點的位移響應(yīng)來表征曲壁板的非線性顫振響應(yīng)特性。

3 算例研究

本文采用兩個三維復(fù)合材料曲壁板模型來說明POD降階方法的有效性，一種是短玻璃纖維曲壁板，可視作準各向同性材料曲壁板，邊界條件為四邊固支，其幾何尺寸為0.38 m×0.305 m×0.002 m，最大拱高為H=0.002 m；另一種是石墨/環(huán)氧鋪層曲壁板，鋪層方式為[-40/40/-40]，邊界條件為四邊簡支，其幾何尺寸為0.381 m×0.305 m×0.001 22 m，最大拱高為H=0.001 22 m。石墨/環(huán)氧材料及玻璃纖維材料的力學(xué)性能參數(shù)分別見表1和表2。

表1 石墨/環(huán)氧材料的力學(xué)性能參數(shù)

表2 玻璃纖維材料的力學(xué)性能參數(shù)

圖3示出了動壓λ=1 100時，采用36階固有模態(tài)降階模型計算得到的準各向同性曲壁板中點處非線性顫振響應(yīng)的位移時間歷程和相圖，顫振響應(yīng)的位移峰值和谷值分別為-0.203 6、-0.674 2，這是因為曲壁板的曲率引起的靜氣動載荷使得曲壁板發(fā)生靜氣動彈性變形，顫振響應(yīng)以靜氣動彈性變形位置為平衡點的振動。圖4示出了采用4階固有模態(tài)降階模型計算得到的準各向同性曲壁板中點處非線性顫振響應(yīng)的位移時間歷程和相圖，盡管曲壁板的非線性顫振響應(yīng)仍然表現(xiàn)為極限環(huán)運動，但是其顫振響應(yīng)的峰、谷值為0.450 8、-1.152，與采用36階固有模態(tài)降階模型計算得到的結(jié)果相差很大；而能夠接近采用36階固有模態(tài)降階模型計算得到的非線性顫振響應(yīng)，至少需要截取20階固有模態(tài)，圖5示出了采用20階固有模態(tài)降階模型計算得到的準各向同性曲壁板中點處非線性顫振響應(yīng)的位移時間歷程和相圖，其峰值與谷值分別為-0.202 8、-0.669 7，計算時間為12 549 s。從利用36階固有模態(tài)降階模型計算的非線性顫振響應(yīng)中提取“快照”樣本，通過POD方法計算曲壁板的POD降階模態(tài)，其對應(yīng)的前8階POD降階模型特征值如表3所示，由表中可以看出，低階特征值占得能量比例較大，前4階POD模態(tài)占總能量的99.99%，因此，選取前4階POD模態(tài)計算準各向同性曲壁板中點處的非線性顫振響應(yīng)，計算時間僅為419.316 s，如圖6所示，從圖中可以看出，通過4階POD模態(tài)降階模型計算得到的曲壁板極限環(huán)顫振響應(yīng)與36階固有模態(tài)降階模型計算得到的結(jié)果相比較，無論在定性方面還是定量方面，都吻合的很好，其顫振響應(yīng)的峰、谷值為-0.203 9、-0.671 2；與至少選取20階固有模態(tài)降階模型相比，顯然通過POD降階的方法大大降低了計算曲壁板顫振響應(yīng)的時間。

圖3 36階固有模態(tài)降階模型計算得到的位移時間歷程和相圖Fig.3 Time history and phase plot using 36 normal modes

圖4 4階固有模態(tài)降階模型計算得到的位移時間歷程和相圖Fig.4 Time history and phase plot using 4 normal modes

圖5 20階固有模態(tài)降階模型計算得到的位移時間歷程和相圖Fig.5 Time history and phase plot using 20 normal modes

λ1λ2λ3λ4λ5λ6λ7λ811.14.80.150.010.0012.6E-0041.8E-0049.2E-005

圖6 4階POD模態(tài)降階模型計算得到的位移時間歷程和相圖Fig.6 Time history and phase plot using 4 POD modes

圖7 36階固有模態(tài)降階模型計算得到的位移時間歷程和相圖Fig.7 Time history and phase plot using 36 normal modes

圖7示出了動壓為λ=540情況下，采用36階固有模態(tài)降階模型計算得到三維復(fù)合材料曲壁板中點處非線性顫振響應(yīng)的位移時間歷程和相圖，顫振響應(yīng)的位移峰、谷值為-0.473 6，-0.669 5；圖8示出了用6階固有模態(tài)降階模型計算得到的復(fù)合材料曲壁板中點處非線性顫振響應(yīng)的位移時間歷程和相圖，通過比較可以發(fā)現(xiàn)，在采用6階固有模態(tài)降階模型計算時，復(fù)合材料曲壁板的顫振系統(tǒng)響應(yīng)收斂到靜態(tài)平衡點，并不是極限環(huán)運動，因此用6階固有模態(tài)降階模型計算復(fù)合材料曲壁板的非線性顫振特性是不可行的，而能夠接近采用36階固有模態(tài)降階模型計算得到的非線性顫振響應(yīng)，至少要截取20階固有模態(tài)，圖9示出了采用20階固有模態(tài)降階模型計算得到的復(fù)合材料曲壁板中點處非線性顫振響應(yīng)的位移時間歷程和相圖，其峰值與谷值分別為-0.470 5、-0.670 4，計算時間為11 319 s。以36階固有模態(tài)降階模型得到的非線性顫振響應(yīng)的時間歷程作為“快照”樣本，通過POD方法計算曲壁板的POD降階模態(tài)，其對應(yīng)的前8階POD模態(tài)降階模型特征值如表4所示，可見其前6階POD模態(tài)占總能量的99.99%，故選取前6階POD模態(tài)對曲壁板顫振模型進行降階，計算復(fù)合材料曲壁板中點處的非線性顫振響應(yīng)的位移時間歷程及相圖，計算時間為735.931s，如圖10所示，其位移響應(yīng)的峰、谷值為-0.473，-0.671 3，可以看出，用6階POD模態(tài)降階模型很好的模擬復(fù)合材料曲壁板的顫振極限環(huán)響應(yīng)特性，與至少選取20階固有模態(tài)降階模型相比大大降低了計算曲壁板顫振響應(yīng)的時間。

圖8 6階固有模態(tài)降階模型計算得到的位移時間歷程和相圖Fig.8 Time history and phase plot using 6 normal modes

圖9 20階固有模態(tài)降階模型計算得到的位移時間歷程和相圖Fig.9 Time history and phase plot using 20 normal modes

λ1λ2λ3λ4λ5λ6λ7λ89.90.60.028.6E-0043.5E-0041.2E-0042.1E-0051.4E-005

圖10 6階POD模態(tài)降階模型計算得到的位移時間歷程和相圖Fig.10 Time history and phase plot using 6 POD modes

現(xiàn)在的問題是：由某一動壓下三維復(fù)合材料曲壁板顫振響應(yīng)得到的POD降階模型是否適用于其它動壓下曲壁板顫振響應(yīng)分析。圖11示出了分別POD降階模型與36階固有模態(tài)降階模型計算曲壁板顫振響應(yīng)計算結(jié)果比較圖。圖11(a)是采用動壓為λ=1040時準各向同性曲壁板非線性顫振響應(yīng)數(shù)據(jù)計算得到的POD模態(tài)進行降階，得到POD模態(tài)降階模型，再用該模型計算準各向同性曲壁板在其它動壓下的非線性顫振響應(yīng)幅值，與用36階固有模態(tài)降階模型計算的非線性顫振響應(yīng)幅值進行比較；圖11(b)是采用動壓為λ=540時復(fù)合材料曲壁板非線性顫振響應(yīng)數(shù)據(jù)計算得到的POD模態(tài)降階模型，再用該模型計算復(fù)合材料曲壁板在其它動壓下的非線性顫振響應(yīng)幅值，與用36階固有模態(tài)降階模型計算的非線性顫振響應(yīng)幅值進行比較。從比較的結(jié)果可以看出，通過POD模態(tài)降階模型計算的非線性顫振響應(yīng)與采用36階固有模態(tài)降階模型計算的結(jié)果基本一致。說明，由某一動壓下三維復(fù)合材料曲壁板顫振響應(yīng)得到的POD降階模型適用于其它動壓下曲壁板顫振響應(yīng)分析。

圖11 用POD降階模型與36階固有模態(tài)降階模型計算的響應(yīng)比較Fig.11 Comparison using 36 normal modes and POD modes

4 結(jié) 論

本文通過有限元方法建立了三維復(fù)合材料曲壁板的非線性顫振運動方程，并將本征正交分解(POD)降階方法應(yīng)用到了三維復(fù)合材料曲壁板非線性顫振響應(yīng)分析中，通過與傳統(tǒng)的模態(tài)縮減法計算結(jié)果相比較，指出無論定性還是定量方面，其結(jié)果都很好的一致，且采用POD降階建模方法可以有效的降低了系統(tǒng)的維數(shù)并大大節(jié)省了計算時間，提高了計算分析效率。

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Flutter response characteristics of composite curved panels based on POD method

ZHOU Jian1, YANG Zhichun2

(1. Xi’an Aerospace Propulsion Institute, Xi’an 710100, China； 2. Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

The equations of motion for nonlinear flutter of curved composite panels were developed with the finite element method. The reduced order modes constructed with the proper orthogonal decomposition (POD) method were used in reducing the order of these equations, and the equations of motion were transformed into a reduced nonlinear system under the POD modal coordinates, then the reduced equations were solved in time domain by using the numerical integration method. Compared with the results calculated using the traditional modal reduction method, the results using POD method based on reduced order models agreed well with the former, and also saved the computation time greatly.

curved panel; panel flutter; proper orthogonal decomposition

國家自然科學(xué)基金(11072198)

2015-09-16 修改稿收到日期：2016-12-27

周建 男，博士，工程師，1987年3月生

楊智春 男，教授，博士生導(dǎo)師，1964年2月生 E-mail：yangzc@nwpu.edu.cn

V215.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.006