賈慶華

列方程解應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。從算術(shù)到代數(shù)，是學(xué)生認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系過程中的一個(gè)飛躍，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。學(xué)生的思維發(fā)展水平和代數(shù)的抽象性特點(diǎn)之間的矛盾，以及算術(shù)思維定勢(shì)的影響等，使小學(xué)生在學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題時(shí)遇到很多困惑。而在小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用方程解決問題是數(shù)學(xué)教學(xué)聯(lián)系實(shí)際的重要課題，因此對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力尤為重要。

一、思維定勢(shì)的干擾

初學(xué)列方程，學(xué)生仍用已掌握的算術(shù)解法，對(duì)列方程解法很不適應(yīng)。如何能排除學(xué)生由算術(shù)解法形成的思維方式的干擾，從而使學(xué)生逐步適應(yīng)并熟練掌握方程解法，順利達(dá)到從算術(shù)解法到列方程解法的過渡；逐漸體會(huì)到用字母代替數(shù)，認(rèn)識(shí)到從算式到方程使我們有了更有力、更方便的數(shù)學(xué)工具，從算術(shù)解法到方程解法是數(shù)學(xué)的進(jìn)步。舉例說明：小明的姐姐送給他科技書和故事書共12本，其中送了科技書4本，那么姐姐送給他幾本故事書？用算術(shù)方法可以列出算式：12-4=。用方程方法：設(shè)送給的故事書為x本，通過數(shù)量關(guān)系列出方程：x+4=12。兩種方法各有特點(diǎn)，算術(shù)解法是已知總數(shù)和一部分來求另一部分，屬于逆向思維，難于思考；而方程解法是用部分加部分等于總體的思路列出算式，將未知數(shù)與已知數(shù)一起運(yùn)算來求出x的值，執(zhí)果索因的分析法，是順向思維，便于思考。通過讓學(xué)生自己進(jìn)行比較，認(rèn)識(shí)到方程解法的優(yōu)越之處。如果要解決的問題較為復(fù)雜，那么用方程列等式求解的優(yōu)勢(shì)更為明顯。方程解法的主要特征就是將未知數(shù)與已知數(shù)同等看待，將未知數(shù)用字母表示。而算術(shù)解法的基本特征是通過已知數(shù)按照一定的數(shù)量關(guān)系來列出算式，經(jīng)加減乘除運(yùn)算求出要求的數(shù)量。

二、學(xué)生在列方程解應(yīng)用題遇到的幾個(gè)困惑

1.用字母表示數(shù)。

用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個(gè)基本特點(diǎn)，也是列方程解應(yīng)用題的基礎(chǔ)。小學(xué)生從具體的五本書、兩顆球過渡到抽象的數(shù)5、2是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。由于每個(gè)數(shù)都是確定的，因此學(xué)生易于掌握。但從確定的數(shù)過渡到用字母表示數(shù)，更是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍，用字母表示題中涉及的數(shù)量關(guān)系，并把這種數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系，從而得到方程。由于字母表示的數(shù)具有不確定性，有時(shí)可以是任意數(shù)，有時(shí)有一定的范圍，在特定場(chǎng)合下又有其特定的意義。這種不確定性對(duì)于小學(xué)生來說是比較抽象的，再者還受到確定的數(shù)表示數(shù)量關(guān)系的思維定勢(shì)的影響。因此，用字母表示數(shù)就成為學(xué)生列方程解應(yīng)用題的第一個(gè)難點(diǎn)。

2.代數(shù)式構(gòu)建。

方程的建立就是把兩個(gè)等值的代數(shù)式用等號(hào)連接起來。因此，正確、熟練地構(gòu)建代數(shù)式是列方程的基礎(chǔ)。這就需要在感知應(yīng)用題情境的基礎(chǔ)上先將日常語言“翻譯”為數(shù)學(xué)語言，再把數(shù)學(xué)語言直接“翻譯”為含有未知數(shù)的代數(shù)式。這對(duì)小學(xué)生來說具有相當(dāng)?shù)碾y度。

3.設(shè)何數(shù)為x。

在題目中無間接未知數(shù)x時(shí)，學(xué)生設(shè)直接未知數(shù)為x沒有什么困難，但是往往由于定勢(shì)思維的影響，誤認(rèn)為列方程解應(yīng)用題可以無須考慮題意與條件，只要以x表示未知數(shù)，一切問題就都解決了。

三、化解困惑著力培養(yǎng)學(xué)生列方程的能力

1.數(shù)學(xué)語言和日常語言進(jìn)行“互譯”，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建代數(shù)式的能力。

培養(yǎng)學(xué)生把未知數(shù)和已知數(shù)放在同等地位來進(jìn)行分析，并正確、熟練地列出代數(shù)式是列方程的基礎(chǔ)。采取對(duì)策有兩點(diǎn)：

（1）訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語言和代數(shù)式進(jìn)行“互譯”。這種“翻譯”訓(xùn)練可以為列方程掃除障礙，鋪平道路。

例如：用數(shù)學(xué)語言敘述下列代數(shù)式：①2x+7，②5×7-6x。

用代數(shù)式表示下列數(shù)量關(guān)系:

①x與4的差。

②3與x的和。

③與2的積。

（2）訓(xùn)練學(xué)生把日常語言“翻譯”為代數(shù)式。它是以數(shù)學(xué)語言為中介實(shí)現(xiàn)的。例如：“故事書比科技書的3倍多15本”，先翻譯為數(shù)學(xué)語言“比某數(shù)的3倍多15”，再翻譯為代數(shù)式“3x+15”。其意義在于使學(xué)生真正明白每個(gè)代數(shù)式的實(shí)際意義，這不僅是學(xué)習(xí)方程的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的能力。

2.分析題意轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)量關(guān)系。

分析數(shù)量關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵，著力培養(yǎng)學(xué)生尋找等量關(guān)系的能力是教學(xué)的重點(diǎn)。在列方程解應(yīng)用題中，“等量關(guān)系”是列方程的依據(jù)，同時(shí)“等量關(guān)系”又是與問題中所有的“基本量”密切相關(guān)，是對(duì)某一類“基本量”的關(guān)系的刻畫。這就要求學(xué)生必須了解或熟悉基本的數(shù)量關(guān)系，這是列方程解應(yīng)用題的基石。

（1）利用數(shù)形結(jié)合尋找等量關(guān)系。

數(shù)和形在客觀世界中是不可分割地聯(lián)系在一起的，小學(xué)數(shù)學(xué)教材十分重視數(shù)形結(jié)合。一般地，學(xué)生在感知應(yīng)用題情境的基礎(chǔ)上，畫出示意圖，采用數(shù)形結(jié)合的方法分析數(shù)量關(guān)系。其心理學(xué)意義在于：示意圖能夠使列方程所必須的條件同時(shí)呈現(xiàn)在視野內(nèi)，示意圖成了思維的載體，視圖疑思實(shí)際上使視覺參與了解題過程。正如蘇霍姆林斯基所言“教會(huì)學(xué)生把應(yīng)用題畫出來其用意就在于保證由具體思維向抽象思維過渡”。教學(xué)中，教師要充分運(yùn)用直觀教學(xué)，通過學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，在獲得大量感性知識(shí)的基礎(chǔ)上，再通過抽象、概括上升到理性認(rèn)識(shí)。例如：合唱隊(duì)的人數(shù)比舞蹈隊(duì)的2倍少3人。首先從同樣多入手。教師在第一行擺了3個(gè)△，第二行擺了3個(gè)○，啟發(fā)學(xué)生說出○與△的個(gè)數(shù)同樣多。其次引出差，使差與比的標(biāo)準(zhǔn)同樣多。接著教師在第二行再擺上1個(gè)○，這時(shí)○比△多1個(gè)。然后在第二行再擺上2個(gè)○，使學(xué)生說出△比○少3個(gè)；再引導(dǎo)學(xué)生通過觀察得出：○比△多的部分與△的個(gè)數(shù)同樣多。最后從份數(shù)入手建立“倍”的概念。接上面，如果把3個(gè)△看作1份，○有這樣的幾份呢？○有這樣的2份，我們就說○的個(gè)數(shù)是△個(gè)數(shù)的2倍。學(xué)生通過啟發(fā)可列出等量關(guān)系式：合唱隊(duì)人數(shù)=舞蹈隊(duì)人數(shù)×2-3；合唱隊(duì)人數(shù)+3=舞蹈隊(duì)人數(shù)×2；（合唱隊(duì)人數(shù)+3）÷2=舞蹈隊(duì)人數(shù)；（合唱隊(duì)人數(shù)+3）÷舞蹈隊(duì)人數(shù)=2。這些等量關(guān)系式正是列方程的依據(jù)。通過這一準(zhǔn)備階段訓(xùn)練，學(xué)生的思維得到了擴(kuò)展，能用不同的等量關(guān)系式表示同一種關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生尋找等量關(guān)系的能力。

（2）從常見數(shù)量關(guān)系中尋找等量關(guān)系。

為了便于學(xué)習(xí)把一些常見的數(shù)量關(guān)系概括成關(guān)系式并歸類。如：行程問題：路程=速度×?xí)r間；工程問題：工作總量=工作效率×工作時(shí)間；鹽水問題：鹽的質(zhì)量=鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)×鹽水的質(zhì)量；價(jià)格問題：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量；總利潤(rùn)＝利潤(rùn)/件×數(shù)量＝總收入-總支出。以及各種面積、體積的計(jì)算公式。再有，對(duì)一些名詞術(shù)語的含意也要使學(xué)生很好地掌握。如：和、差、積、商的意義，提高、提高到、提高了、增加、減少、擴(kuò)大、縮小等的意義。否則會(huì)在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)造成錯(cuò)誤。經(jīng)常復(fù)習(xí)一些常見的等量關(guān)系，有利于學(xué)生列方程時(shí)尋找等量關(guān)系。

3.培養(yǎng)學(xué)生設(shè)未知數(shù)的能力。

在應(yīng)用題中，特別是未知量較多的問題中，若能巧妙地設(shè)未知數(shù)，可以給列方程帶來方便。設(shè)未知數(shù)是列方程解應(yīng)用題的第一步，對(duì)含有多個(gè)未知數(shù)而又只允許設(shè)一個(gè)未知數(shù)的問題，用哪個(gè)未知數(shù)來設(shè)元，直接關(guān)系到列方程的難易程度。一般來講，解應(yīng)用題有兩種設(shè)未知數(shù)的方法：

（1）直接設(shè)未知數(shù)法。

題目里怎樣問就怎樣設(shè)未知數(shù)。這樣設(shè)未知數(shù)，只要求出所列方程的解，就可直接回答問題。例如：女兒今年4歲，母親今年36歲，幾年后母親的年齡是女兒的年齡的5倍?這道題就可直接設(shè)x年后母親的年齡是女兒的年齡的5倍來解：x+36=5（x+4）。

（2）間接設(shè)未知數(shù)法。

一些題目中，若采用直接設(shè)未知數(shù)法，會(huì)給列方程增加麻煩。如果采用間接設(shè)未知數(shù)法，即通過間接的橋梁作用，達(dá)到求解的目的。間接設(shè)未知數(shù)的具體做法是設(shè)一個(gè)不是問題的未知數(shù)為“x”，然后用含有字母的代數(shù)式來表示所問的未知量，求得未知數(shù)的值后，再求出表示未知量的整式的值，最后回答問題。設(shè)計(jì)一題多問的形式來發(fā)散學(xué)生思維。如，修一條公路120千米，修了兩天還剩下70千米，已知第一天修了全長(zhǎng)的，問第二天比第一天多修多少千米？第二天修了全長(zhǎng)的幾分之幾？學(xué)生興趣一下調(diào)動(dòng)開了，使課堂達(dá)到了高潮。

4.培養(yǎng)良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，訓(xùn)練學(xué)生列方程的能力。

學(xué)生在解題時(shí)常常會(huì)有一種不良的習(xí)慣，不愿意邊讀題邊做標(biāo)記，更懶得咬文嚼字細(xì)細(xì)揣摩題中的信息和問題之間的關(guān)系，往往對(duì)題目一掃而過，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)“想當(dāng)然”地解題，造成“不看題目，這么容易也會(huì)出錯(cuò)”的狀況。訓(xùn)練學(xué)生列方程的能力，首先要指導(dǎo)學(xué)生在閱讀數(shù)學(xué)問題時(shí)邊讀邊思考，理清條件和問題，明確它們之間的關(guān)系，使要解決的問題在頭腦中形成清晰、完整的印象，從而為解題做準(zhǔn)備。讀題是審題的前提，是解題的關(guān)鍵。培養(yǎng)學(xué)生良好的讀題習(xí)慣是一個(gè)潛移默化的過程，需要長(zhǎng)期堅(jiān)持。對(duì)題中的重點(diǎn)字、關(guān)鍵詞圈圈點(diǎn)點(diǎn)，圖形描描畫畫，有助于學(xué)生深入思考，將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為生活語言，將隱性的數(shù)學(xué)信息可視化。這樣增強(qiáng)了解題的策略意識(shí)，有效地提高了學(xué)生的解題能力。其次，訓(xùn)練學(xué)生用綜合法和分析法列方程。所謂綜合法列方程，就是先假定題目中某一未知數(shù)為根據(jù)這個(gè)數(shù)與其他的已知數(shù)、未知數(shù)的關(guān)系，列出代數(shù)式，再依題意找出等量關(guān)系，最后用等號(hào)連接含此等量關(guān)系的代數(shù)式，即列出方程。而分析法列方程則是找出題中最明顯的兩個(gè)性質(zhì)相同的等量關(guān)系，然后再找到這兩個(gè)量分別與其他已知數(shù)、未知數(shù)的關(guān)系，如此一直推到最后只剩下一個(gè)未知數(shù)為止。即假定這個(gè)未知數(shù)為帶入上式的各種相關(guān)關(guān)系中，即得到兩個(gè)相等的代數(shù)式由此列出方程。以上這兩種分析方法不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的。在分析應(yīng)用題時(shí)，往往是這兩種方法結(jié)合使用，從已知找到可知，從問題找到需知，這樣逐步使問題與已知條件建立起聯(lián)系，從而達(dá)到順利解題的目的。只要認(rèn)真理解題意，抓住題中的關(guān)鍵詞或者是不變關(guān)系，就可找出相等關(guān)系。利用所學(xué)的列代數(shù)式的基礎(chǔ)，將其最終翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語言，列出方程解決問題。

總之，數(shù)學(xué)方程問題的教學(xué)，要理論聯(lián)系實(shí)際，在教學(xué)過程中，要注意整個(gè)教學(xué)過程中學(xué)生的思維發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，滲透列方程中蘊(yùn)涵的“數(shù)學(xué)建模思想”和解方程中蘊(yùn)涵的“化歸思想”，即能夠運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建方程模型來解決生產(chǎn)和日常生活中的實(shí)際問題。