唐進(jìn)元，周恒

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蝸桿砂輪曲面與面齒輪齒面的對(duì)應(yīng)關(guān)系

唐進(jìn)元，周恒

(中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長(zhǎng)沙，410083)

研究蝸桿砂輪磨削面齒輪的原理與方法。利用產(chǎn)形插齒刀作為中間曲面，通過計(jì)算面齒輪和插齒刀、插齒刀與蝸桿砂輪的接觸線，得到蝸桿砂輪和面齒輪處于不同加工位置的接觸點(diǎn)計(jì)算方法，給出蝸桿砂輪磨削面與面齒輪齒面對(duì)應(yīng)關(guān)系模型，在VERICUT仿真軟件中對(duì)蝸桿砂輪磨削面齒輪的方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。研究結(jié)果表明：利用蝸桿砂輪磨削面齒輪齒面的關(guān)系模型可分析加工過程中面齒輪齒面對(duì)應(yīng)的蝸桿砂輪工作曲面位置，為通過修整蝸桿砂輪對(duì)面齒輪齒面制造誤差進(jìn)行補(bǔ)償修正提供技術(shù)基礎(chǔ)。

面齒輪；蝸桿砂輪；接觸特性；磨齒加工；關(guān)系模型

面齒輪傳動(dòng)是一種圓柱齒輪與圓錐齒輪嚙合的齒輪傳動(dòng)，由于其在分扭?匯扭傳動(dòng)過程中具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，目前是齒輪傳動(dòng)研究的熱點(diǎn)[1]。實(shí)現(xiàn)面齒輪高精度磨齒加工是面齒輪應(yīng)用于高速重載領(lǐng)域的前提。在國外，LITVIN等[2?5]對(duì)面齒輪傳動(dòng)理論和面齒輪加工技術(shù)進(jìn)行了大量研究，提出采用蝸桿砂輪磨削加工面齒輪的方法，研究了蝸桿的成型原理、齒面方程及根切規(guī)律，并研制了面齒輪五軸磨床[6?7]。在國內(nèi)，TANG等[8?9]研究了利用現(xiàn)有機(jī)床采用盤形砂輪磨削的方法對(duì)面齒輪進(jìn)行精加工以及應(yīng)用插銑的方式高效地對(duì)面齒輪進(jìn)行粗加工；LIU等[10]基于齒輪嚙合原理分析了非圓面齒輪的成形過程；CHEN等[11?12]針對(duì)面齒輪動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究；唐進(jìn)元等[13]針對(duì)面齒輪齒距偏差的三坐標(biāo)測(cè)量方法進(jìn)行了研究；高金忠等[14]研究了磨削面齒輪用基蝸桿的齒面方程，設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)蝸桿砂輪根切的影響規(guī)律和蝸桿砂輪的修整方法；王延忠等[15]研究了面齒輪滾刀基本蝸桿的設(shè)計(jì)方法；趙寧等[16]提出采用球形滾刀實(shí)現(xiàn)面齒輪滾切加工并分析了該方法的理論加工誤差；何國旗等[17]比較了插齒和磨齒加工面齒輪的齒面誤差，認(rèn)為二者在理論齒面上就存在誤差。上述研究均沒有具體地分析蝸桿砂輪在磨削面齒輪時(shí)的齒面對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于蝸桿砂輪存在奇異性問題，而奇異性會(huì)限制蝸桿砂輪產(chǎn)形的轉(zhuǎn)角，在有效轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)能否將整個(gè)面齒輪齒面完整覆蓋加工尚沒有進(jìn)行定量分析。為此，本文作者以產(chǎn)形插齒刀作為中間曲面，在統(tǒng)一坐標(biāo)系下以微分幾何和嚙合原理為基礎(chǔ)建立產(chǎn)形插齒刀包絡(luò)面齒輪和蝸桿砂輪的數(shù)學(xué)模型。通過計(jì)算加工過程中產(chǎn)形插齒刀和面齒輪、產(chǎn)形插齒刀和蝸桿砂輪的接觸線軌跡的交點(diǎn)，得到蝸桿砂輪和面齒輪的接觸點(diǎn)。計(jì)算蝸桿砂輪在不同進(jìn)給位置時(shí)可以磨削到面齒輪齒面的位置點(diǎn)，通過判斷在有效轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)，蝸桿和面齒輪的交點(diǎn)能否覆蓋面齒輪整個(gè)齒廓來判斷是否可以完整加工整個(gè)齒面。最后運(yùn)用數(shù)控加工軟件VERICUT中仿真驗(yàn)證理論推導(dǎo)過程的正確性。

1 蝸桿砂輪加工面齒輪的產(chǎn)形原理

蝸桿砂輪連續(xù)展成磨削加工面齒輪的加工原理如圖1所示。當(dāng)蝸桿砂輪磨削面齒輪時(shí)，一方面，蝸桿砂輪與面齒輪作展成運(yùn)動(dòng)，以形成面齒輪的齒高齒廓；另一方面，蝸桿砂輪沿著面齒輪的齒向進(jìn)行進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，以形成面齒輪的齒長(zhǎng)齒廓。蝸桿砂輪磨削面齒輪時(shí)，范成運(yùn)動(dòng)和進(jìn)給運(yùn)動(dòng)同時(shí)發(fā)生。

圖1 蝸桿磨削面齒輪原理圖

圖2所示為蝸桿砂輪、產(chǎn)形插齒刀和面齒輪相互嚙合產(chǎn)形時(shí)的坐標(biāo)系。圖2中：s0為與刀具支架固聯(lián)的固定坐標(biāo)系；s為固聯(lián)在刀具齒輪上的動(dòng)坐標(biāo)系；w0為建立在蝸桿砂輪支架上的固定坐標(biāo)系；w為固聯(lián)在蝸桿砂輪上的動(dòng)坐標(biāo)系；20為與面齒輪支架固聯(lián)的固定坐標(biāo)系；2為固聯(lián)在面齒輪上的動(dòng)坐 標(biāo)系；，和分別為面齒輪、蝸桿和刀具齒輪旋轉(zhuǎn)的角度；ws為蝸桿軸線與面齒輪軸線的最短距離；2s為蝸桿沿面齒輪徑向的進(jìn)給參數(shù)；為蝸桿偏角。

圖2 蝸桿砂輪包絡(luò)坐標(biāo)系

1.1 面齒輪的產(chǎn)形過程

面齒輪是由漸開線齒廓的插齒刀包絡(luò)展成得到的。在插齒加工過程中，插齒刀具轉(zhuǎn)角和面齒輪轉(zhuǎn)角滿足關(guān)系=，正交直齒面齒輪齒面在中可以表示為

(2)

1.2 蝸桿砂輪的產(chǎn)形過程

其中：ws為坐標(biāo)系s到w的變換矩陣，齒面和的相對(duì)速度表示在s中。求解嚙合方程ws=0消去s，蝸桿砂輪的齒面方程可表示為

(4)

2 面齒輪和插齒刀嚙合接觸線

2.1 接觸軌跡計(jì)算

根據(jù)插齒刀具與面齒輪的嚙合規(guī)律，插齒刀具齒面和面齒輪齒面在每一瞬時(shí)彼此沿1條線相接觸，在加工過程中，所有接觸線的集合即為插齒刀具與面齒輪的接觸線族。

2.2 插齒刀產(chǎn)形面齒輪嚙合極限轉(zhuǎn)角

由圖3可知：插齒刀具在加工過程中與面齒輪左齒面的嚙合轉(zhuǎn)角為?21.02°≤≤10.87°。TANG等[8]指出插齒刀具與面齒輪在嚙合過程中2個(gè)極限轉(zhuǎn)角分別出現(xiàn)在面齒輪外半徑的齒頂位置和內(nèi)半徑的工作齒面與過渡曲線的交點(diǎn)位置，其位置分別如圖4中和所示(其中：1和2分別為面齒輪內(nèi)和外半徑；sm為刀具齒輪的齒根圓半徑)。

表1 面齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)參數(shù)

圖3 插齒刀與面齒輪的接觸線

圖4 插齒刀具與面齒輪接觸極限位置示意圖

(7)

3 蝸桿砂輪和插齒刀嚙合接觸線

3.1 接觸軌跡計(jì)算

以表1所示設(shè)計(jì)參數(shù)為例，對(duì)式(8)求解得到插齒刀具與蝸桿砂輪在蝸桿砂輪齒面上接觸線族如圖5所示。

圖5 插齒刀與蝸桿砂輪的接觸線

3.2 插齒刀產(chǎn)形蝸桿砂輪嚙合極限轉(zhuǎn)角

由于蝸桿齒面是由刀具齒輪展成包絡(luò)而成，并不一定是1個(gè)正則曲面，曲面上有可能存在奇異點(diǎn)[18]，奇異點(diǎn)會(huì)影響蝸桿加工零件時(shí)的精度以及蝸桿的使用性能，因此，必須避免蝸桿齒面上的奇異點(diǎn)發(fā)生。通過計(jì)算可知產(chǎn)形插齒刀齒廓上存在2條奇異接線曲線，如圖6所示。

圖6 插齒刀與蝸桿砂輪接觸極限

4 面齒輪和蝸桿砂輪的磨削接觸點(diǎn)

4.1 磨削接觸點(diǎn)計(jì)算方法

因?yàn)樵诋a(chǎn)形過程中產(chǎn)形插齒刀、面齒輪和蝸桿三者之間兩兩相互嚙合，上述計(jì)算表明，插齒刀和面齒輪時(shí)刻為線接觸，插齒刀和蝸桿時(shí)刻也為線接觸，所以，這2條接觸線的交點(diǎn)即為嚙合過程中蝸桿和面齒輪的交點(diǎn)。蝸桿和面齒輪的接觸點(diǎn)計(jì)算步驟如下。

第1步：由圖1和圖2給定1個(gè)蝸桿加工面齒輪時(shí)的進(jìn)給位置2s。

4.2 蝸桿和面齒輪接觸點(diǎn)計(jì)算示例

以蝸桿砂輪進(jìn)給到面齒輪齒寬中點(diǎn)處，即以2s=225 mm為例計(jì)算得到面齒輪和蝸桿砂輪的接觸點(diǎn)，如圖7所示。

圖7 面齒輪和蝸桿砂輪的接觸點(diǎn)

由圖7可見：當(dāng)假定蝸桿和面齒輪按照嚙合運(yùn)動(dòng)同時(shí)旋轉(zhuǎn)1個(gè)角度，然后蝸桿沿著面齒輪徑向進(jìn)給，便可展成1條與圖3齒面相對(duì)應(yīng)的接觸線。但在實(shí)際加工過程中，蝸桿砂輪和面齒輪毛坯按照傳動(dòng)比進(jìn)行高速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，蝸桿砂輪沿著面齒輪徑向緩慢地進(jìn)給。為了計(jì)算不同進(jìn)給位置時(shí)蝸桿砂輪和面齒輪的接觸點(diǎn)，只需在求解接觸點(diǎn)的第1步中改變不同的進(jìn)給位置2s，將計(jì)算所得到的接觸點(diǎn)坐標(biāo)變換到面齒輪坐標(biāo)系中，如圖8所示。由圖8可以看出：當(dāng)蝸桿砂輪沿著面齒輪徑向處于不同的進(jìn)給位置時(shí)，蝸桿和面齒輪的嚙合運(yùn)動(dòng)可以展成得到面齒輪齒面上的1條溝槽，在嚙合展成的同時(shí)，蝸桿沿著面齒輪徑向緩慢進(jìn)給即可展成得到面齒輪齒面。當(dāng)蝸桿齒面剛剛出現(xiàn)奇異點(diǎn)，即在=?18.3°處產(chǎn)形插齒刀和面齒輪的接觸線。當(dāng)?21.02°≤＜?18.3°時(shí)，由于奇異性的限制，蝸桿只有在部分齒高范圍內(nèi)可以產(chǎn)形面齒輪。而通過圖8所示計(jì)算結(jié)果可以看到：在有效齒高范圍內(nèi)，蝸桿可以將面齒輪內(nèi)徑底部的齒面完全產(chǎn)形得到。同時(shí)，將不同進(jìn)給位置時(shí)求得的接觸點(diǎn)坐標(biāo)變換到蝸桿砂輪坐標(biāo)系可以發(fā)現(xiàn)：在加工過程中，蝸桿砂輪齒面點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)于面齒輪齒面點(diǎn)如圖9所示。

圖8 面齒輪上和蝸桿不同進(jìn)給位置的接觸

圖9 蝸桿上和面齒輪不同進(jìn)給位置時(shí)的接觸

通過這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在面齒輪磨削加工出現(xiàn)誤差時(shí)，通過測(cè)量得到的面齒輪齒面誤差，從而一一對(duì)應(yīng)去修整蝸桿砂輪的齒面，為誤差補(bǔ)償修整提供技術(shù)基礎(chǔ)。

5 面齒輪蝸桿砂輪數(shù)控加工仿真

由瑞士菜斯豪爾的REISHAUER RZ400數(shù)控磨齒機(jī)實(shí)現(xiàn)本文蝸桿磨削加工面齒輪的運(yùn)動(dòng)過程。對(duì)其機(jī)床結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析建立結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，如圖10所示。

圖10 REISHAUER RZ400機(jī)床結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

選用表1所示參數(shù)，計(jì)算得出蝸桿砂輪磨削加工面齒輪的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。首先，根據(jù)上述理論分析，在MATLAB軟件中計(jì)算得到面齒輪和蝸桿砂輪齒面離散點(diǎn)，將離散點(diǎn)導(dǎo)入CATIA軟件中構(gòu)建工件和刀具理論模型，如圖11所示。

(a) 面齒輪三維模型；(b) 蝸桿砂輪三維模型

利用美國CGTECH公司開發(fā)的VERICUT數(shù)控仿真軟件[19]，通過在軟件中構(gòu)建機(jī)床、面齒輪毛坯，并將CATIA建立的工件和蝸桿砂輪刀具理論模型導(dǎo)入VERICUT中構(gòu)建完整的仿真環(huán)境。通過編寫數(shù)控加工NC程序進(jìn)行仿真加工，結(jié)果如圖12所示。由圖12可知：面齒輪齒面可由蝸桿砂輪加工得到，這驗(yàn)證了理論分析和數(shù)控加工NC程序的正確性。

圖12 VERICUT中加工仿真結(jié)果

6 結(jié)論

1) 在統(tǒng)一坐標(biāo)系下研究了面齒輪、產(chǎn)形插齒刀和蝸桿砂輪相互產(chǎn)形原理，以產(chǎn)形插齒刀為中間曲面推導(dǎo)了面齒輪和蝸桿砂輪的包絡(luò)數(shù)學(xué)模型。

2) 定量研究了插齒刀產(chǎn)形面齒輪和插齒刀產(chǎn)形蝸桿砂輪的接觸軌跡和產(chǎn)形轉(zhuǎn)角范圍。

3) 借助產(chǎn)形插齒刀為中間曲面，定量研究了蝸桿砂輪產(chǎn)形面齒輪過程，計(jì)算得到了蝸桿砂輪齒面點(diǎn)與面齒輪齒面點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為實(shí)際加工過程中針對(duì)性地補(bǔ)償誤差修整砂輪提供了理論參考。

4) 在VERICUT數(shù)控加工仿真軟件中模擬驗(yàn)證了基于蝸桿砂輪磨削加工面齒輪理論推導(dǎo)過程的正確性，對(duì)實(shí)際加工有一定指導(dǎo)意義。

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(編輯 陳燦華)

Relationship between surfaces on worm wheel and on face-gear

TANG Jinyuan, ZHOU Heng

(State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing,School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

The principle and method of worm wheel grinding face-gear were researched. The shaper was used as an intermediate surface. Through calculating contact lines among face-gear and shaper, worm wheel and shaper, the contact points between worm wheel and face-gear were calculated in different processing positions. The relationship between the surfaces of worm wheel and face-gear was modeled. The process of grinding face-gear with worm wheel was simulated and verified. The results show that the area on the surface of face-gear which is related to the surface of worm wheel can be analyzed based on the relationship between the surfaces of face-gear and worm wheel modeled in this paper during the grinding process. And also these results can provide technical basis for compensating manufacturing error.

face-gear; worm wheel; contact characteristics; grinding gear; relationship model

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.01.014

TH132

A

1672?7207(2017)01?0099?07

2016?01?02；

2016?03?22

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51535012, U1604255)；湖南省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2016JC2001) (Projects(51535012, U1604255) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2016JC2001) supported by the Key Research and Development Plan of Hunan Province)

唐進(jìn)元，博士，教授，從事復(fù)雜曲面零件設(shè)計(jì)與制造研究；E-mail: jytangcsu@163.com