張 如， 劉小剛， 唐賢芳

(1. 西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院，陜西西安 710124； 2. 西北大學(xué)現(xiàn)代學(xué)院，陜西西安 710124)

非線性多比例延遲微分方程的穩(wěn)定性分析

張 如1， 劉小剛2， 唐賢芳1

(1. 西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院，陜西西安 710124； 2. 西北大學(xué)現(xiàn)代學(xué)院，陜西西安 710124)

本文應(yīng)用單支q1，q2，…，ql∈(0，1)-方法和線性0

單支q1，q2，…，ql∈(0，1)-方法；線性0

1 預(yù)備知識(shí)

非線性多比例時(shí)滯微分方程

(1)

其中q1, q2, …, ql∈(0, 1)，并且0

這里適當(dāng)?shù)剡x取函數(shù)f與初始條件，使得這個(gè)非線性系統(tǒng)的解析解u(t)存在并且唯一.

引入微分方程

(2)

其中q1, q2, …, ql∈(0, 1)，并且0

解析解z(t)存在并且唯一.

定義1 對(duì)于非線性多比例時(shí)滯微分方程(1)和(2)，如果離散的數(shù)值解un和zn能夠滿足條件

定理1 如果對(duì)任意的t≥0，非線性多比例時(shí)滯微分方程(1)都滿足β1+β2+…+βl≤-α

其中

(3)

(4)

?

(5)

并且對(duì)?x∈Cd，存在Cd上的內(nèi)積，使原文為‖x‖2=[x,x]，那么這個(gè)非線性多比例時(shí)滯微分方程(1)是穩(wěn)定的.

2 單支θ-方法的穩(wěn)定性分析

可見Hk呈現(xiàn)指數(shù)遞增趨勢(shì)，再將Hk分成等步長(zhǎng)的m份，令

為了簡(jiǎn)化，假設(shè)t0=T0=1，并令t-(m+1)=0，t-i=q1tm-i, (i=m,m-1, …, 1), 有

(6)

(7)

又因?yàn)?

由上式可見δi與m, n無(wú)關(guān)，并令γi=1-δi, i=1, 2, …, l

用變步長(zhǎng)單支θ-方法求解非線性多比例時(shí)滯微分方程(1)和(2)， 可以得到差分方程：

un+1=un+hn+1f [(1-θ)tn+θtn+1, (1-θ)un+θun+1, uh(q1((1-θ)tn+θtn+1)),uh(q2((1-θ)tn+

θtn+1)), …, uh(ql((1-θ)tn+θtn+1))]

(8)

zn+1=zn+hn+1f[(1-θ)tn+θtn+1, (1-θ)zn+θzn+1, zh(q1((1-θ)tn+θtn+1)), zh(q2((1-θ)tn+

θtn+1)), …, zh(ql((1-θ)tn+θtn+1))]

(9)

uh(qitn)=δiun-sim+(1-δi)un-(si+1)m

uh(qi(1-θ)tn+qiθtn+1))=δi[(1-θ)un-sim+θun+1-sim]+(1-δi)[(1-θ)un-(si+1)m+θun+1-(si+1)m]

uh(q1tn)=un-m,uh(q1tn+1)=un-m+1

再用具有變步長(zhǎng)格式的單支θ-方法(8)和(9)求解非線性多比例時(shí)滯微分方程(1)和(2)， 可以得到差分方程

un+1=un+hn+1f[(1-θ)tn+θtn+1, (1-θ)un+θun+1, (1-θ)un-m+θun+1-m,δ2((1-θ)un-s2m+θun+1-s2m)+(1-δ2)((1-θ)un-(s2+1)m+θun+1-(s2+1)m), …,δl((1-θ)un-slm+θun+1-slm)+(1-δl)((1-θ)un-(sl+1)m+θun+1-(sl+1)m)]

(10)

zn+1=zn+hn+1f[(1-θ)tn+θtn+1, (1-θ)zn+θzn+1, (1-θ)zn-m+θzn+1-m,δ2((1-θ)zn-s2m+

θzn+1-s2m)+(1-δ2)((1-θ)zn-(s2+1)m+θzn+1-(s2+1)m), …,δl((1-θ)zn-slm+θzn+1-slm)+(1-δl)((1-θ)zn-(sl+1)m+θzn+1-(sl+1)m)]

(11)

‖ωn+1‖2≤‖ωn‖2+2Re<σ(E)ωn,ρ(E)ωn>

其中ωn=yn-zn，ρ(ξ)=ξ-1，σ(ξ)=θξ+(1-θ)，ξ∈C， (Eωn=ωn+1,Eun=un+1).

定理2 如果變步長(zhǎng)格式滿足(6)、(7)，那么有

證明 由差分方程(10)和(11)，將兩式子做差可以得到

ρ(E)ωn=hn+1[f(σ(E)tn,σ(E)un,σ(E)un-m,δ2σ(E)un-s2m+(1-δ2)σ(E)un-(s2+1)m, …,δlσ(E)un-slm+(1-δl)σ(E)un-(sl+1)m)-f(σ(E)tn,σ(E)zn,σ(E)zn-m,δ2σ(E)zn-s2m+(1-δ2)σ(E)zn-(s2+1)m, …,δlσ(E)zn-slm+(1-δl)σ(E)zn-(sl+1)m)]

2Re<σ(E)ωn,ρ(E)ωn>≤2hn+1α‖σ(E)ωn‖2+hn+1(β1+β2+…+βl)‖σ(E)ωn‖2+hn+1β1‖σ(E)ωn-m‖2)+hn+1β2max{‖σ(E)ωn-(s2+1)m‖2, ‖σ(E)ωn-s2m‖2}+…+

hn+1βlmax{‖σ(E)ωn-(sl+1)m‖2, ‖σ(E)ωn-slm‖2}

由定理2，通過迭代分析可得

‖σ(E)ωi-slm‖2}

再由引理1可知

可知微分方程(1)的單支θ-方法是穩(wěn)定的.

3 線性θ-方法的漸近穩(wěn)定性分析

繼續(xù)使用半幾何步長(zhǎng)格式，非線性多比例時(shí)滯微分方程(1)和(2)滿足條件(3)～(5).

對(duì)于非線性多比例時(shí)滯微分方程(1)和(2)使用線性θ-方法，可以分別得到差分方程

un+1=un+hn+1[(1-θ)f(tn,un,un-m,δ2un-s2m+(1-δ2)un-(s2+1)m, …,δlun-slm+(1-δl)un-(sl+1)m)+

θf(wàn)(tn+1,un+1-m,δ2un+1-s2m+(1-δ2)un+1-(s2+1)m, …,δlun+1-slm+(1-δl)un+1-(sl+1)m)]

(12)

zn+1=zn+hn+1[(1-θ)f(tn,zn,zn-m,δ2zn-s2m+(1-δ2)zn-(s2+1)m, …,δlzn-slm+(1-δl)zn-(sl+1)m)+

θf(wàn)(tn+1,zn+1-m,δ2zn+1-s2m+(1-δ2)zn+1-(s2+1)m, …,δlzn+1-slm+(1-δl)zn+1-(sl+1)m)]

(13)

證明 記ωn=un-zn并且

Qn=f(tn,un,un-m,δ2un-s2m+(1-δ2)un-(s2+1)m, …,δlun-slm+(1-δl)un-(sl+1)m)-f(tn,zn,zn-m,δ2zn-s2m+

(1-δ2)zn-(s2+1)m, …,δlzn-slm+(1-δl)zn-(sl+1)m)

再由表達(dá)式(12)和(13)做差得ωn+1-θhn+1Qn+1=ωn+(1-θ)hn+1Qn

那么，上式兩邊分別與自身做內(nèi)積得

2θhn+1Re(ωn+1,Qn+1)

遞推下去有

而

[1] 匡蛟勛. 泛函微分方程的數(shù)值處理[M]. 北京： 科學(xué)出版社, 1999:43-66.

[2] 邱深山. 滯后微分方程漸近穩(wěn)定性及θ-方法的穩(wěn)定性[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué), 1991:2-30.

[3] 宋明輝. 延遲微分方程數(shù)值穩(wěn)定性[D] . 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué), 1997:2-12.

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[責(zé)任編輯 胡廷鋒]

The Stability Analysis for the Nonlinear Pantograph Differential Equation with Several Delay Terms

ZHANG Ru1, LIU Xiao-gang2, TANG Xian-fang1

(1. Mingde College, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710124, China;2. Modern College of Northwest University, Xi’an 710124, China)

In this paper, singleq1,q2,…,ql∈(0,1)-method and 0

single branchq1,q2,…,ql∈(0,1)-method; linear 0

2016-11-14

陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目(16JK2213)

張如(1980—)， 女， 黑龍江海林人， 講師. 研究方向： 微分方程數(shù)值穩(wěn)定性分析.

O175．13

A

1009-4970(2017)02-0001-05