江西省永豐中學(xué) (331500) 劉 忠 呂永斌

例說幾何畫板在數(shù)學(xué)探究中的應(yīng)用

江西省永豐中學(xué) (331500) 劉 忠 呂永斌

數(shù)學(xué)探究是通過觀察、分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，猜測(cè)、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，并給出解釋或證明的過程.在實(shí)際探究中，對(duì)于要利用復(fù)雜函數(shù)圖像的問題，如果靠傳統(tǒng)的方法幾乎是不可能的，而利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)更新與動(dòng)態(tài)圖形變換功能則能使探究變得簡單輕松、直觀形象.

一、文[1]關(guān)于問題2的解法展示

圖1

二、并非任意的y=ax2+bx+c(a>0)問題2都有解

如圖2所示，在同一坐標(biāo)系中分別作出y=ax2+bx+c(a>0)和y=x的圖像，設(shè)其一交點(diǎn)(假設(shè)有)為A，過A作y軸的垂線交拋物線于點(diǎn)B，再過B作x軸的垂線交直線y=x于點(diǎn)C，從而得到正方形ABCD.因此，只有當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊CD上或在正方形ABCD的內(nèi)部時(shí)，問題2才有解.

圖2 圖3 圖4

顯然，此處正方形ABCD的作法與文[1]所述“直線y=m過拋物線的頂點(diǎn)或在拋物線下方”是一致的(因?yàn)橹灰獫M足“直線y=m過拋物線的頂點(diǎn)或在拋物線下方”，也就滿足了“拋物線的頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊CD上或在正方形ABCD的內(nèi)部)，因此“直線y=m過拋物線的頂點(diǎn)或在拋物線下方”是問題2有解的一個(gè)必要條件，并不是充要條件.實(shí)際上，當(dāng)拋物線與直線不相交(如圖3所示)或當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在如前所述的正方形外(如圖4所示)時(shí)，問題2就無解了.

三、當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)，問題2才有解

以上方法得到了關(guān)于問題2是否有解的粗略判斷，所謂“形少數(shù)時(shí)難入微”，要得到問題2有解時(shí)a,b,c的關(guān)系，還得從“數(shù)”的角度考慮.

綜(1)(2)所述，對(duì)于y=ax2+bx+c(a>0),當(dāng)a,b,c滿足-1≤Δ-2b<2，或2≤Δ-2b≤8，即-1≤Δ-2b≤8的條件時(shí)，“m≤ax2+bx+c≤n的解集恰為[m,n]”才有解.

因此，當(dāng)a,b,c滿足-1≤Δ-2b≤8的條件時(shí)，問題2才有解.

四、用幾何畫板驗(yàn)證結(jié)論

1、利用幾何畫板作出前圖2，步驟如下：

(1)定義坐標(biāo)系；(2)利用“點(diǎn)”工具，在x軸上取點(diǎn)A，同時(shí)選定點(diǎn)A和x軸“構(gòu)造”“垂線”；(3)在垂線上選取點(diǎn)B，隱藏垂線；(4)利用“射線”工具畫出射線AB；(5)隱藏點(diǎn)B，利用“點(diǎn)”工具在射線上取點(diǎn)C；(6)右鍵點(diǎn)擊點(diǎn)C，得到點(diǎn)C的縱坐標(biāo)yC；(7)右鍵點(diǎn)擊yC，得到其標(biāo)簽，命名為a；(8)選取點(diǎn)C，點(diǎn)擊“編輯”“操作類按鈕”“動(dòng)畫”，然后將“動(dòng)畫”的“標(biāo)簽”命名為“點(diǎn)擊此按鈕改變a的值”；(9)隱藏點(diǎn)A、C及射線；(10)利用“點(diǎn)”工具，在x軸上任取點(diǎn)D,E分別構(gòu)造過此兩點(diǎn)的x軸的垂線j,k；(11)在直線j上利用“點(diǎn)”工具任取點(diǎn)F，并用右鍵得到點(diǎn)F的縱坐標(biāo)yF；(12)將yF的標(biāo)簽命名為b；(13)如步驟8，得到“點(diǎn)擊此按鈕改變b的值”；(14)同理，得到“點(diǎn)擊此按鈕改變c的值”；(15)隱藏點(diǎn)D,E,F及直線j,k；(16)點(diǎn)擊“數(shù)據(jù)”“計(jì)算”，由標(biāo)簽“a,b,c”得到標(biāo)簽“b2-4ac-2b”；(17)點(diǎn)擊“繪圖”“繪制新函數(shù)”利用a,b,c得到函數(shù)f(x)=ax2+bx+c及g(x)=x的圖像；(18)通過改變a,b,c將函數(shù)f(x)=ax2+bx+c及g(x)=x的圖像調(diào)整到有兩交點(diǎn)的情況，并取它們的右交點(diǎn)H；(19)由點(diǎn)H和y軸“構(gòu)造”垂線l；(20)“構(gòu)造”垂線l與拋物線的另一交點(diǎn)I；(21)由點(diǎn)I與直線l“構(gòu)造”垂線m；(22)由直線m與g(x)=x的圖像“構(gòu)造”交點(diǎn)J；(23)由點(diǎn)J和直線m“構(gòu)造”垂線n；(24)由點(diǎn)H和直線n“構(gòu)造”垂線o；(25)由直線n和直線o“構(gòu)造”交點(diǎn)K；(26)隱藏直線l,m,n,o；(27)構(gòu)造線段IJ,JK,KH,HI得到正方形IJKH.

2、通過相關(guān)按鈕連續(xù)改變a,b,c的值，得到拋物線的頂點(diǎn)與正方形位置關(guān)系的所有情況，如圖5-9所示.

圖9

從圖5中可以看出，當(dāng)b2-4ac-2b=5.638∈(-1，8)時(shí)有解；從圖6、圖7中可以看出，當(dāng)b2-4ac-2b=8或-1時(shí)處于臨界情況也有解；從圖8、圖9中可以看出，當(dāng)b2-4ac-2b<-1或b2-4ac-2b>8時(shí)無解.這樣就驗(yàn)證了我們所得結(jié)論的正確性.

[1]武增明.一對(duì)形似質(zhì)異問題的辨析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬，2013(10)：42-43.

[2]劉 忠.一道值得商榷的形似質(zhì)異變式題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬，2016(8)：63-64.