秦健秋+方國敏

摘要：本文就案例教學思想在微積分課程中的實踐進行了探究和總結(jié)。實踐表明，該教學思想的合理運用對提高學生的學習積極性，提高其探索質(zhì)疑、推廣創(chuàng)新的精神，培養(yǎng)其搜集資料、自主學習的實踐能力有極大的促進作用。

關(guān)鍵詞：微積分；教學改革；教學方法；教學設(shè)計；案例教學

中圖分類號：G642.4；O172 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）11-0195-02

微積分作為經(jīng)管類專業(yè)的核心公共課程，對該課程的要求不能停留在僅講授教學大綱的規(guī)定知識點，還必須從根本上提高學生的學習積極性，培養(yǎng)學生的學習能力、實踐能力和數(shù)學思維能力?？紤]到微積分目前的教學現(xiàn)狀，我所在的教學團隊采取了案例教學法。

一、案例教學的必要性

通過對普通本科經(jīng)管類專業(yè)學生進行的調(diào)研表明，同學們的數(shù)學基礎(chǔ)普遍薄弱，只有少部分同學認同“數(shù)學有用性”卻苦于難以舉例，這樣的結(jié)果讓每一位數(shù)學老師感到無比尷尬。學習效率低，缺乏歸納意識和擴展意識，難以抓住問題的本質(zhì)，缺乏將數(shù)學用于實踐的思想和能力，缺少學習積極性甚至是畏懼學習等等，這些都是目前普通高校經(jīng)管類專業(yè)學生學習大學數(shù)學的普遍問題。

本教學團隊提出案例教學法，利用大量與生活息息相關(guān)的案例來推動課程教學，希望以此調(diào)動學生的學習積極性，著重培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識，增強學生的理性思維，提高學生的數(shù)學應用和知識遷移能力。

二、案例教學實施的原則和前提

案例教學法并不是將大量案例簡單放置在課程教學中，而是一種教學理念。該理念的實施首先要求授課老師具備相關(guān)能力，在掌握和了解大量典型案例的基礎(chǔ)上，具備對問題有質(zhì)疑探究、交流合作、創(chuàng)新反思、知識遷移、自主學習的能力，并且能將以上能力通過課程教學展現(xiàn)給學生，使其潛移默化地在各方面得到提高。

三、案例設(shè)計及選講

1.極限案例設(shè)計及選講。函數(shù)的極限是整個微積分理論的基礎(chǔ)，后續(xù)的知識點都需要用到極限的定義，因此要求學生對函數(shù)極限有著深刻的認識，并能利用這一認知去思考和解決問題。

案例1.1保險推銷策略

案例描述：各類保險產(chǎn)品在推銷時，總是拿自身的亮點來PK其他產(chǎn)品。某產(chǎn)品的亮點是：本產(chǎn)品按月分紅并計復利，而其他產(chǎn)品往往是按季度或是按年度分紅再計復利。保險經(jīng)理不停的對客戶強調(diào)：“你的紅利每月都在收益新利息，那樣利滾利，一年下來，你自己算算，這樣會比其他產(chǎn)品高出多少收益??！”那么，營銷員的三寸不爛之舌是否會打動你的心呢？

通過對連續(xù)復利案例的分析發(fā)現(xiàn)：該亮點其實是個雞肋。以本金10萬元，年利率5%為例，每年按月結(jié)息僅比按年結(jié)息多出約100元，僅是本金的0.1%而已，該亮點并不能成為你選擇該產(chǎn)品的主因。保險經(jīng)理的鼓吹是營銷手段，經(jīng)理讓客戶自己算算，客戶千萬要算算，在生活中保持理性思維是非常有必要的。該組案例的設(shè)計目的在于培養(yǎng)學生的知識遷移能力，用理性思維去指導生活。

2.微分方程案例設(shè)計及選講。微分方程案例主要選用了兩大類，一類是變量跟隨時間而變化，例如謀殺時間推測、人口模型、名畫年代鑒定、傳染病模型、細菌增長等問題；另一類是變量跟隨坐標角度而變化，例如導彈追蹤、橫渡長江等問題。

案例2.1謀殺時間推測

問題描述：若謀殺發(fā)生后，尸體的溫度按照牛頓冷卻定律從原來的37℃開始下降。假設(shè)兩小時后尸體溫度變?yōu)?5℃，并且假定周圍空氣的溫度保持20℃不變，試求出尸體溫度T隨時間t的變化規(guī)律。

案例結(jié)束后，先總結(jié)此類問題的要點——物體溫度隨著時間發(fā)生變化。再引導學生發(fā)現(xiàn)類似問題，例如車間通風、積雪融化等。最后就原案例拋出相關(guān)疑問：若答案為早上7點半為死亡時間，且嫌疑人作案時間為早上7點，能否排除他的嫌疑，借此引導學生進行誤差分析。若環(huán)境溫度是當天的實時溫度，即室溫也是時間的函數(shù)，則應如何改進該模型？

案例擴展：針對學生課間吃早餐的事件，老師提出問題：請參考謀殺時間推測案例建立模型推測你的早餐是幾點制作的？請參照細菌繁殖案例預測目前該早餐中的細菌總量？在教學中時刻把握機會引導學生思考問題、推廣問題和解決問題。

3.多元函數(shù)積分案例設(shè)計及選講。在講授二重積分期間正值日本阿蘇山火山遇到強烈地震再次噴發(fā)[5]，地震還可能導致山體塌方等并形成堰塞湖，因此授課老師根據(jù)實事設(shè)計了案例3.1和3.2，立刻牢牢抓住了學生的眼球和探知欲望。

案例3.1火山體積

問題描述：某火山的形狀可以用曲面

z=he■（z>0）來表示，求火山體積。

對火山形狀分析，將其底面看成無限大的圓，利用了廣義極坐標的計算，可得其體積。提出疑問：為什么火山噴發(fā)后往往形狀不會改變，一般是小號變大號？

案例3.2湖水體積

問題描述：橢球正弦曲面是許多湖泊的湖床形狀的很好近似。若湖的最大水深為hmax，且橢球正弦曲面函數(shù)為f（x，y）=-hmaxcos（■■），求湖水體積V以及平均水深h？

引入二重積分換元法，利用橢球坐標可得V≈1.4535abhmax，h≈0.463hmax。提出調(diào)研數(shù)據(jù)：通過對全世界107個湖泊的研究結(jié)果表明，湖水的平均深度與最大深度的比值的平均值為0.467，非常接近計算值0.463。然后提到2008年地震時在震區(qū)形成多個堰塞湖，為當?shù)貥?gòu)成二次威脅，在時間緊迫條件有限的情況下，快速估算各堰塞湖的水量為制定減災方案提供支撐是非常必要的。

兩個案例結(jié)束后提出共同問題：為什么同樣是地球上的自然大型地貌，火山底面往往是圓形，而湖水表面往往是橢圓形呢？

案例3.1用到二重積分極坐標計算，屬于大綱內(nèi)容，講授重點是分析火山形狀，主要是其底面形狀。而案例3.2利用橢圓坐標計算二重積分，不屬于大綱內(nèi)容，要求學生自主學習支撐材料，并將結(jié)論用于驗證直角坐標對極坐標的轉(zhuǎn)換。同時老師向?qū)W生提出還有很多其他的坐標系，不同的坐標系之間可以使用換元法進行轉(zhuǎn)換，以此擴展學生思維。以上兩個案例的漸次學習，拓展了學生對積分的認識，還展現(xiàn)了課程與實事相結(jié)合，與多學科相結(jié)合的應用。

四、案例教學總結(jié)及探究

實踐表明案例教學法是一種新的教學理念，而不僅僅是幾個應用題的解決和擴展，更重要的是授課老師必須轉(zhuǎn)變觀念、提高自我，讓這種理念貫穿整個教學，并結(jié)合本專業(yè)學生的認知水平和專業(yè)知識特點，充分調(diào)動學生思維，做到讓案例推動課程，將應用結(jié)合課程，讓課程融入生活。

在對我校經(jīng)管類專業(yè)進行了一學年的案例教學改革以后，通過學生的學習情況和調(diào)研結(jié)果可以看出，案例教學大大提高了學生的學習積極性、參與性，增強了學生的實踐能力、數(shù)學思維能力和應用能力，取得了初步成功。在接下來的幾年內(nèi)，計劃對該專業(yè)學生進行學習跟蹤，考察教學改革后該課程對專業(yè)后續(xù)課程的支撐水平，對學生實踐能力和理性思維能力的后續(xù)效用等等。

參考文獻：

[1]朱志輝，張柳霞.將數(shù)學實驗思想融入經(jīng)管類專業(yè)微積分教學的實踐研究[J].赤峰學院學報（自然科學版），2015，12（12）：246-248.

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[5]陳卓，肖紅.日本熊本16日再起7.3級強震阿蘇火山小規(guī)模噴發(fā)[EB/OL].（2016-04-16）.http：//world.people.com.cn/n1/2016/0416/c1002-28280717.html.

The Application and Exploration of Case Teaching in Calculus Course Design

QIN Jian-qiu，F(xiàn)ANG Guo-min

（Chengdu University of Information Technology，Collage of Applied Mathematics，Chengdu，Sichuan，610225，China）

Abstract：This essay explores and summarizes the practice of case teaching in the calculus course. Practice shows the application of case teaching can greatly help arouse the students' learning enthusiasm，and encourage students to explore，question，and innovate，and also，it can help improve their practical ability of collecting data as well as independent learning.

Key words：calculus；teaching reform；teaching method；teaching design；case teaching