徐喆

【摘要】本文對現(xiàn)有的期權(quán)定價方法進行了梳理，重點分析了不同定價方法的核心思想和歷史發(fā)展歷程，分析和總結(jié)了現(xiàn)有方法中的優(yōu)勢和不足，以此為基礎(chǔ)提出了期權(quán)定價理論未來的研究方向。

【關(guān)鍵詞】期權(quán)定價；鞅測度；數(shù)值計算

1期權(quán)定價問題

對于一普通歐式看漲期權(quán)，我們假設(shè)該期權(quán)約定在時刻T，買方可以以事先定好的價格L購買1股給定的股票，我們稱T和L分別為期權(quán)的執(zhí)行時刻和執(zhí)行價格。到時刻T時，該股票的市場價格為ST，因此，將會出現(xiàn)兩種可能：

ST>L，則期權(quán)生效，期權(quán)所有人將以價格L購買股票，獲得利潤ST-P；

ST≤L，則期權(quán)所有人將放棄購買權(quán)力。

由此可見，該期權(quán)為期權(quán)所有人在時刻T帶來的收益為maxST-L，0，而如果考慮到收支平衡，期權(quán)賣方定下的期權(quán)價格期望就將與收益期望持平，有

E（CT）=P·ESTST>L-L+1-P·0

=P·ESTST>L-L

其中，P為ST>L的概率，ESTST>L為在ST>L條件下ST的期望值，將期權(quán)到期期望值按有效期無風險連續(xù)復(fù)利rT貼現(xiàn)，即可得期權(quán)初始合理價格

C=Pe-rTESTST>L-L

這樣期權(quán)定價問題也就轉(zhuǎn)化為確定P和ESTST>L。

2期權(quán)定價方法的分類

期權(quán)定價理論是解決期權(quán)定價問題的核心內(nèi)容，而由于期權(quán)價格和其標的物價格變動的概率和收益率的多少有著直接關(guān)系。本節(jié)主要探討解決期權(quán)定價問題的不同角度，一般而言，如今期權(quán)定價的方法主要有三種：偏微分方程定價法，鞅測度定價法和數(shù)值定價法。

2.1偏微分方程定價法

偏微分方程定價法的基礎(chǔ)是BlackScholes期權(quán)定價模型。而由于對于期權(quán)定價理論方法的開創(chuàng)性，BS模型在期權(quán)定價理論中具有崇高的地位。

BS模型要求基礎(chǔ)資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動，即假設(shè)市場是完全且無套利的，市場的交易方式是完全理想化的。通過構(gòu)建一個無風險資產(chǎn)組合，消去微分方程中資產(chǎn)價格波動幅度的影響，使該資產(chǎn)組合的收益等于無風險利率，由此得到衍生資產(chǎn)價格的BS微分方程：

P（x，t）t-rP（x，t）+rxP（x，t）x+12σ2x22P（x，t）2x=0

P（x，T）=max0，x-k，x>0

其中，P（x，t）表示t時刻標的價格為x時看漲期權(quán)的價值，T為期權(quán)的有效期限，r為無風險利率，σ2為標的資產(chǎn)收益率變化速度的方差，k表示期權(quán)的執(zhí)行價格。該方程的下式即是期權(quán)所滿足的邊界條件，利用該邊界條件求解BS微分方程就能得到期權(quán)的價格。BS模型對條件有嚴格的假設(shè)，該模型要求期權(quán)是歐式期權(quán)，其標的物的價格服從對數(shù)正態(tài)分布，無風險利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的，而且不存在稅收、交易成本和紅利等其它所得等等，在新型期權(quán)不斷涌現(xiàn)的今天，具有一定的局限性。

2.2鞅測度定價法

1979年，哈里森和克雷普斯提出了鞅測度定價法，在鞅測度定價方法下，我們可以將真實世界的概率轉(zhuǎn)換成等價鞅測度（也叫做無風險概率測度），通過求解出未來回報的貼現(xiàn)值在等價鞅測度下取得的條件期望，估計出期權(quán)的當前價格。

引入風險中性概率測度Q，得到股票價格的隨機過程：

dStSt=rdt+σdWQ

該微分方程的解為St=S0e（r-12σ2）t+σWQ，之后利用Girsanov定理，經(jīng)過推導(dǎo)得到股票價格的動態(tài)過程，從而得出股價在ST>L時的期望EQSTST>L，則期權(quán)定價公式為：

C=S0Nd1-e-rTLNd2

其中，

d1=lnS0L+r+12σ2TσT，d2=lnS0L+r-12σ2TσT，

Nd1=∫d1-∞e-12u2·12πdu

鞅理論在期權(quán)定價中的應(yīng)用，改進了BS模型求解復(fù)雜的缺點，簡化了BS模型的推導(dǎo)過程。鞅與金融資產(chǎn)價格運動過程特征的相似性，使得鞅在20世紀80年代后成為了主流金融經(jīng)濟學(xué)研究中不可或缺的一員。此后，一些學(xué)者不斷的對鞅方法進行了不斷的探索，研究出了包括指數(shù)半鞅、對偶鞅、連續(xù)鞅等運用鞅進行期權(quán)定價的方法。

2.3數(shù)值計算方法

常用的數(shù)值計算方法有三種：二叉樹方法，蒙特卡羅模擬方法和有限差分方法。

2.3.1二叉樹方法

二叉樹模型又被稱為CRR模型，在該模型中，期權(quán)的有效期被分為n個足夠小的時間間隔。在每一個時間間隔內(nèi)，假定標的物的價格從x只運動到比現(xiàn)價高的xup和比現(xiàn)價低的xdown，概率分別為p和1-p。這樣我們就能建立一顆CRR樹，樹的第m層就會有m+1種價格狀態(tài)，樹的最后一層就對應(yīng)著該期權(quán)到期日股票價格的各種可能狀態(tài)。

CRR模型假設(shè)了期權(quán)到期時的支付和路徑無關(guān)，因此它僅僅只依賴于股價上升和下降的次數(shù)，而并不依賴于上升或下降的順序。該模型利用數(shù)學(xué)歸納法，將期權(quán)到期日的所有可能狀態(tài)，倒推至期初得出期權(quán)在0時刻的價格。

c0=e-rn∑ni=0Cinpi1-pn-icni

cni為在n期中有i次上升情況下期權(quán)在n時刻的價值，c0即是期權(quán)在n時刻所有可能價格狀態(tài)期望值的貼現(xiàn)，也就是0時刻的價格。而CRR模型在n足夠大時，所得到的就是BS方程定價的結(jié)果。

CCR模型的最大優(yōu)點在于它是一個離散的數(shù)學(xué)模型，可以把給定的時間段更加細分，因而可以處理更為復(fù)雜的期權(quán)。自CRR模型問世以來，經(jīng)過眾多研究者在實踐中的不斷修正，已經(jīng)使其更加符合金融市場的實際情況，各大金融市場已將其作為期權(quán)定價的重要工具。

2.3.2蒙特卡羅模擬方法

蒙特卡羅模擬方法同樣將時間區(qū)間分成n個子區(qū)間，并在每個區(qū)間內(nèi)隨機抽取樣本，得到每個子區(qū)間內(nèi)的一個股票價格，這樣就可以模擬出股價的一個可能的運行路徑。在風險中性測度下，計算出這條路徑下期權(quán)的到期回報，根據(jù)無套利定價原則用無風險利率得到回報的貼現(xiàn)值。這個結(jié)果可以看作是期權(quán)價格全部可能結(jié)果集合中的其中一個隨機樣本，所以如果重復(fù)足夠多的次數(shù)，可以得到一個樣本數(shù)量足夠多的期權(quán)價格集合，我們對這個集合的價格求得期望值，就可以得到蒙特卡羅模擬值，得出最終期權(quán)價格的近似結(jié)果。

蒙特卡羅模擬法是在假設(shè)風險中立、市場完美的條件下，利用隨機數(shù)抽樣的方式，模擬出一條條資產(chǎn)價值變化的可能途徑。而根據(jù)大數(shù)定律的定義，隨著隨機抽樣次數(shù)的不斷增加，可以使計算出來的值的誤差不斷縮小，最后收斂于期權(quán)價格。近些年來，以朗斯塔夫和施瓦茨于2001年提出的最小二乘蒙特卡羅模擬法最為著名。他們提出的方法在模擬出路徑后，在每一個可以提前執(zhí)行期權(quán)的結(jié)點處，都可以利用比較提前執(zhí)行的價值和到期日模擬價值大小，選擇是否在該結(jié)點提前執(zhí)行終止，這符合美式期權(quán)的特點。

2.3.3有限差分方法

有限差分方法可以用于求解微分方程，因此利用有限差分法解決BS方程也成為了解決期權(quán)定價問題的一個重要方法。該方法將BS方程進行離散化，用很多個差分代替微分，從而求解微分方程就變成了求解線性方程組，將復(fù)雜的積分求解方法改為運用迭代法求解，借助計算機的運算能力將整個過程進行了簡化。

因為美式期權(quán)可以提前支付，所以不存在解析形式的定價公式，對美式期權(quán)進行定價必須通過數(shù)值方法進行處理。E.Clement等人結(jié)合變網(wǎng)格的思想給出了關(guān)于股價步長的變網(wǎng)格差分方法，D.Y.Tangman等人則提出了快速有限差分方法。在諸多數(shù)值方法中，有限差分方法更易實施并且能獲得更可信的數(shù)值結(jié)果，是解決美式期權(quán)定價問題最有效的方法之一。

三種數(shù)值計算方法擁有相似的方法思路，利用足夠多次的模擬計算，得到期權(quán)價格的數(shù)值近似解。這種方法隨著計算機和計算方法本身的飛速發(fā)展，逐漸的簡單化和精確化，而且它們在解決美式期權(quán)、奇異期權(quán)等定價問題上的表現(xiàn)，使得數(shù)值計算方法成為期權(quán)定價理論中最有效的方法之一。利用新型的數(shù)值計算方法，提高計算方法的效率解決各類期權(quán)定價問題，將會是期權(quán)定價今后研究的重要方向。

3期權(quán)定價方法存在的問題

期權(quán)是當今金融市場研究中的一個重點，而正是因為研究的不斷深入，各種新型期權(quán)的誕生也使得期權(quán)定價方法的局限性越來越強。例如對比普通歐式期權(quán)的美式期權(quán)，涉及了不少的不確定因素。由于美式期權(quán)可以提前執(zhí)行，具有更復(fù)雜的時間價值，它所包含的獲利機會比同樣條件下的歐式期權(quán)多很多，因此在對美式期權(quán)進行定價時需要對時間價值進行更加細致的分析。對時間價值的分析需要考慮標的物的現(xiàn)價、價格波動情況、距到期日的時間等等，需要涉及到偏導(dǎo)數(shù)、邊界條件、最優(yōu)停止理論等等諸多的可能方法，目前尚沒有一般的公式予以描述，而這正是近些年各學(xué)者研究的重點。

而比起常規(guī)期權(quán)（標準歐式或美式期權(quán)），奇異期權(quán)是更加復(fù)雜的新型期權(quán)，他們花樣繁多，通常在常規(guī)期權(quán)的基礎(chǔ)上加以變化或者組合而成。具有隨機波動率、隨機分紅、交易費用、執(zhí)行價格浮動等等復(fù)雜的情況，這也是期權(quán)定價理論中比較難解決的問題，因此需要進行不斷的嘗試和探索，對模型改進和完善。