張 琳,楊起軍

(湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410079)*

·金融與保險·

群體自助年金化的給付模型及逆選擇風(fēng)險研究

張 琳,楊起軍

(湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410079)*

基于已有的研究成果，通過改進(jìn)年金精算現(xiàn)值的計算方式，推導(dǎo)出更為合理的群體自助年金化給付遞推模型；隨后，以成員的資金分配額度及其主觀意愿的生存率的一階偏導(dǎo)數(shù)來刻畫逆選擇風(fēng)險，比較了群體自助年金化和普通養(yǎng)老年金的逆選擇風(fēng)險的大小。

群體自助年金化；長壽風(fēng)險；確定等值法

一、引言

我國已步入老齡社會，隨著老年人口的增加以及壽命的不斷延長，長壽風(fēng)險對我國國計民生的影響愈發(fā)顯著，需要一種合適的方法來實現(xiàn)其有效轉(zhuǎn)移。根據(jù)承擔(dān)主體的差異，長壽風(fēng)險可以分為個體長壽風(fēng)險和聚合長壽風(fēng)險。個體長壽風(fēng)險與一般的保險風(fēng)險并無本質(zhì)區(qū)別，但是聚合長壽風(fēng)險無法通過大數(shù)法則來進(jìn)行分散，只能通過各種渠道來尋找分擔(dān)主體。保險行業(yè)不愿承擔(dān)聚合長壽風(fēng)險，而年金成員不愿承擔(dān)個體長壽風(fēng)險，不妨將二者的作用互換，由此提出的年金池承擔(dān)個體長壽風(fēng)險而成員承擔(dān)聚合長壽風(fēng)險的養(yǎng)老年金模式即為群體自助年金化。

群體自助年金化又叫互助養(yǎng)老年金(PooledAnnuityFund)，JohnPiggott，etal.(2005)最早提出了較為完整的概念，并推導(dǎo)了精算公平原則下的給付遞推公式[1]。但是他們并未對群體自助年金化的特點進(jìn)行很好的概括，且其推導(dǎo)出的給付遞推模型不夠完善。隨后，RalphGoldsticker(2007)給出了群體自助年金化的定性分析，詳細(xì)闡述了其概念及特點[2]。

在JohnPiggott等人和RalphGoldsticker的研究基礎(chǔ)上，關(guān)于群體自助年金化的后續(xù)研究內(nèi)容主要集中在以下幾個方面：(1)JonathanBarryForman(2014)從企業(yè)人員規(guī)模的角度研究了群體自助年金化的適用范圍[3]。(2)MosheA.etal.(2015)通過求解歐拉--拉格朗日方程得到基于終生效用最大化的群體自助年金化的結(jié)構(gòu)，并檢驗了該結(jié)構(gòu)關(guān)于年金人數(shù)和逆選擇風(fēng)險的敏感程度[4]。(3)MichaelZ.Stamos(2008)將群體自助年金化和普通養(yǎng)老年金結(jié)合在一起，并通過HJB方程分析了不同情況下二者的最優(yōu)組合[5]。(4)CatherineDonnelly，etal.(2013)同樣基于終生效用最大化理論，將群體自助年金化和死亡率連接基金做了對比，最后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)投資收益率的方差波動較小時，群體自助年金化的期望效用大于死亡率連接基金[6]。本文在JohnPiggott等人的研究基礎(chǔ)上，通過改進(jìn)其推導(dǎo)過程得到更為貼近實際情況的群體自助年金化給付遞推模型；隨后，根據(jù)RalphGoldsticker提出的群體自助年金化的特點，從逆選擇的角度驗證了相對于普通養(yǎng)老年金的群體自助年金化逆選擇風(fēng)險更小的假設(shè)。

二、群體自助年金化的給付模型

根據(jù)JohnPiggott等人以及RalphGoldsticker(2007)的研究成果可知，群體自助年金化可以為其成員提供類似于普通養(yǎng)老年金的現(xiàn)金流，而發(fā)起人無需承擔(dān)聚合長壽風(fēng)險。

具體而言，群體自助年金化和普通的養(yǎng)老年金之間的兩個主要區(qū)別為：(1)由于具有互助性質(zhì)，如果群體自助年金化中的某個成員死亡，他的資金將會按照一定的方式在年金池內(nèi)進(jìn)行再分配，這部分待分配的資金被稱為死亡率信用(MortalityCredit)。(2)每年會根據(jù)最新的信息來預(yù)測未來死亡率的分布和利率的波動，根據(jù)預(yù)測得到的結(jié)果計算給付額調(diào)整因子，用調(diào)整因子去修正下一年度的給付額。

(1)

(2)

(4)

(5)

(6)

(7)

在此情形下，t時刻死亡率調(diào)整因子為：

(8)

t時刻的利率調(diào)整因子為：

(9)

由此，得到群體自助年金化的更為合理的給付遞推模型。群體自助年金化相對于普通養(yǎng)老年金而言具有較高的期望給付額，原因有兩點：首先，由于群體自助年金化是由成員承擔(dān)聚合長壽風(fēng)險和投資風(fēng)險，因而成員不需要支付將這部分風(fēng)險轉(zhuǎn)移給保險公司而產(chǎn)生風(fēng)險保費；其次，通過給付遞推模型的推導(dǎo)過程可以看出：計算群體自助年金化給付額時，死亡率精算假設(shè)是基于平均余命，小于普通養(yǎng)老年金所基于的生命表中的極限生存年齡。

三、群體自助年金化的逆選擇風(fēng)險

Ralph Goldsticker曾提出：在群體自助年金化模式下，由于聚合長壽風(fēng)險的承擔(dān)者已經(jīng)由年金池變成了年金成員，對發(fā)起人而言，群體自助年金化的逆選擇風(fēng)險顯然較小[2]。但是Ralph Goldsticker只是給出了定性的分析，并沒有具體的假設(shè)證明。從前面的推導(dǎo)過程來看，群體自助年金化的給付模式和普通養(yǎng)老年金相比最大的區(qū)別在于每年增加了一個調(diào)整因子DEAt·IEAt，而該調(diào)整因子可以看作是一個有約束條件的隨機(jī)變量。因此，以下將通過假設(shè)和證明，來比較群體自助年金化和普通養(yǎng)老年金的逆選擇風(fēng)險的大小。

(10)

W0=A-a-g

(11)

W1=Raa+RggY

(12)

其中,v表示折現(xiàn)因子，p表示根據(jù)Q的主觀意愿確定的生存概率，給付調(diào)整因子DEAt·IEAt簡記為Y。

對Q的效用函數(shù)求期望效用:

(13)

假設(shè)Q為理性人，即他會選擇使得自己的期望效用最大化的財富分配方式。因此,對其期望效用求偏微分：

(14)

(15)

(16)

(17)

比較式(16)(17)得：

(18)

即當(dāng)a和g同時滿足公式(16)(17)時,Q的期望效用最大。

公式(16)(17)兩邊均對p求偏導(dǎo)可得：

(19)

(20)

比較式(19)(20),且根據(jù)式(18)可化簡得：

(21)

(22)

(23)

(24)

vp(u″(W0)E(u″(W1)(Ra-RgY)2)+

(E(u″(W1)Y))2))=|H|

其中：

H表示期望效用對a和g的二階偏導(dǎo)數(shù)的黑塞矩陣。記：

—v2pRaE(u′(W1))=W，RgE(u″(W1)Y(RgY-Ra))=A，RaE(u″(W1)(Ra-RgY))=B

(25)

(26)

因此，在Q作出投資決策的時候，以確定等值法為基本原則：即包含不同風(fēng)險類型或不同風(fēng)險水平的現(xiàn)金流的效用相等，即：

(27)

根據(jù)風(fēng)險厭惡型消費者效用函數(shù)的凹凸性可知：

又由效用函數(shù)的遞增性可知：

Ra

在此條件下，提出假設(shè)1和假設(shè)2并予以證明。

首先，很顯然W=—v2pRaE(u′(W1))<0；其次，A+B=RgE(u″(W1)Y(RgY-Ra))+RaE(u″(W1)(Ra-RgY))=E(μ″(W1)(Ra+(RgY))2)<0；最后，根據(jù)黑塞矩陣副半正定的性質(zhì)可知：|H|>0。

根據(jù)公式(24)，即證

根據(jù)E(μ″(W1)Y2)≤E(μ″(W1))(E(Y))2可知：

(28)

式(28)等價于RgE(u″(W1)Y2)

(29)

(30)

從而假設(shè)2成立，即對發(fā)起人而言，群體自助年金化成員的逆選擇風(fēng)險比普通養(yǎng)老年金模式要小。

之所以假設(shè)E(μ″(W1)Y2)≤E(μ″(W1))(EY)2，是因為長壽風(fēng)險對死亡率的影響是一個較為緩慢而且漸變的過程，即E(Y)接近1但是小于1，因此，以E(μ″(W1)Y2)≤E(μ″(W1))(EY)2的形式給E(Y)設(shè)定一個上限。從而不難證明，如果投資者的效用函數(shù)是CRRA效用函數(shù)或是指數(shù)效用函數(shù)時，該不等式均成立。

四、結(jié) 論

群體自助年金化為我國政府、企業(yè)及保險行業(yè)等提供了解決長壽風(fēng)險的新思路。以上通過改進(jìn)年金精算現(xiàn)值的計算得到了更為合理的給付遞推模型，并證明了和普通養(yǎng)老年金相比的群體自助年金化具有逆選擇風(fēng)險較小的優(yōu)勢。后續(xù)的研究工作可以從如下三個角度入手：(1)基于我國國情對群體自助年金化的可行性進(jìn)行分析，闡明其市場前景、挑戰(zhàn)及需要改進(jìn)的地方；(2)關(guān)于規(guī)范群體自助年金化經(jīng)營的法律法規(guī)建設(shè)方面提出相應(yīng)的建議；(3)從給付額、替代率、長壽風(fēng)險分擔(dān)比例等方面入手，通過建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠韺Ρ确治鋈后w自助年金化和普通養(yǎng)老年金的區(qū)別和各自的優(yōu)劣勢。

[1]JohnPiggott,EmilianoA.Valdez,BettinaDetzel.Thesimpleanalyticsofapooledannuityfund[J].TheJournalofRiskandInsurance, 2005, 72: 497-520.

[2]RalphGoldsticker.Amutualfundtoyieldannuity-likebenefits[J].FinancialAnalystsJourna, 2007, 63: 63-67.

[3]JonathanBarryForman.Tontinepensions:asolutiontothestateandlocalpensionunderfundingcrisis[J].UniversityofOklahomaCollegeofLaw, 2014, 15: 86-89.

[4]MosheA,Milevsky,ThomasS.Salisbury.Optimalretirementincometontines[J].Insurance:MathematicsandEconomics, 2015, 64: 91-105.

[5]MichaelZ.Stamos.Optimalconsumptionandportfoliochoiceforpooledannuityfunds[J].Insurance:MathematicsandEconomics, 2008, 43: 56-68.

[6]CatherineDonnelly,MontserratGuillén,JensPerchNielsen.Exchanginguncertainmortalityforacost[J].Insurance:MathematicsandEconomics, 2013, 52: 65-76.

(責(zé)任編輯:墨 彥)

The Study of The Payment Model and Adverse Selection Risk of Group Self -Annuitisation

ZHANG Lin,YANG Qijun

(CollegeofFinanceandStatistics，HunanUniversity，Changsha，Hunan410079，China)

On the basis of the research before, by improving the calculation mode of actuarial present value of the annuity, this article deduces a more reasonable payment model; then contrast the value of adverse selection risk of ordinary pensions and the group self -annuitisation, which is mearsured by the first order partial derivative of capital allocation of the menbers to the survival rate based on subjective intension of the menbers.

Group Self -Annuitisation; Longevity Risk; Certainty Equivalent Method

2016 -11 -12；

2017 -01 -02

張 琳(1963—),女,湖北漢陽人,湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計學(xué)院教授，研究方向：精算理論的實務(wù)。

F842.6

A

1003 -7217(2017)02 -0037 -05