李楠

【摘要】 本文從反例的概念出發(fā)，以示例的形式分別從六個(gè)方面淺談反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用.教育心理學(xué)認(rèn)為，概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息.所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地構(gòu)造反例來解決實(shí)際問題，讓學(xué)生從中領(lǐng)會(huì)到反例的神奇功效，是十分有必要的.

【關(guān)鍵詞】 反例；數(shù)學(xué)教學(xué)；作用

數(shù)學(xué)中的反例，是指符合某個(gè)命題的條件，而又不符合該命題結(jié)論的例子.簡單地說，反例是一種指出某命題不成立的例子.

在數(shù)學(xué)中，要證明一個(gè)命題成立，必須嚴(yán)格地在所給的條件下，用邏輯推理的方法推導(dǎo)出結(jié)論.要證明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，極具有說服力而又簡明的方法就是舉出反例，去推翻它.反例實(shí)際上是與命題相矛盾的特例.在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，恰當(dāng)?shù)姆蠢苿?dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.常常有這樣的情況，一個(gè)重要的猜想，數(shù)學(xué)家用了很長的時(shí)間未能證明它，結(jié)果有人舉出反例否定了這樣的猜想，使問題得到了解決.1640年，費(fèi)馬認(rèn)為自己找到了能表示部分素?cái)?shù)的公式22n+1（稱為費(fèi)馬數(shù)）.他驗(yàn)證了n=1，2，3，4的情況都是正確的，于是得到了形如22n+1的自然數(shù)是素?cái)?shù)的猜想.一百多年后，歐拉指出225+1=4 294 967 297=6 700 417×641.從而推翻了費(fèi)馬的猜想.歷史上，這樣的例子舉不勝舉.

著名數(shù)學(xué)家B·R·蓋爾鮑姆說：“數(shù)學(xué)由兩大類——證明和反例組成，而數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)也朝著兩個(gè)目標(biāo)——提出證明和構(gòu)造反例，一個(gè)數(shù)學(xué)問題用一反例予以解決，給人的刺激猶如一出好戲.”毋庸置疑，反例與證明在數(shù)學(xué)的發(fā)展中占著同樣重要的地位.這是因?yàn)椋跀?shù)學(xué)問題的探索中，猜想的結(jié)論未必正確，正確的需要證明，謬誤的則靠反例給予反駁.由于記載于書上的定理、法則和公式，都是探索成功的結(jié)晶，而那些有功的反例，卻隨著錯(cuò)誤的結(jié)論被遺棄而淹沒于世，這給人一種錯(cuò)覺：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中到處活躍著的幾乎全是證明，反例則寥若星辰.其實(shí)，反例在數(shù)學(xué)中有其特殊價(jià)值，數(shù)學(xué)命題條件的強(qiáng)弱、適用范圍的寬窄，都需要反例去作對比，才能理解深刻；如果命題有錯(cuò)誤，證明有漏洞，也只有靠反例去證實(shí)，并可從反例中得到修正的啟示.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分利用反例的特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例進(jìn)行教學(xué)，可以使數(shù)學(xué)教學(xué)收到事半功倍的效果.

一、反例可使學(xué)生正確理解基本概念

概念是數(shù)學(xué)理論和方法的基礎(chǔ)，只有準(zhǔn)確理解和把握概念的內(nèi)涵，才能正確掌握數(shù)學(xué)知識(shí).數(shù)學(xué)中的概念繁多，有些概念是比較抽象的，在講授這些概念時(shí)，教師不僅要運(yùn)用正面的例子來深刻闡明其本質(zhì)屬性，而且要靈活借助反例加深學(xué)生對概念中的關(guān)鍵詞和本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化對概念的理解.在進(jìn)行奇、偶函數(shù)概念的教學(xué)時(shí)，不少學(xué)生對概念的理解只是表面的，還沒有深入本質(zhì).教師可提出問題：y=x（-1

這樣，通過列舉反例，從反面消除容易出現(xiàn)的一些模糊認(rèn)識(shí)，加深對概念的理解.另外，在概念教學(xué)中，有的學(xué)生不注意定義中關(guān)鍵性字句的含義，應(yīng)用時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤.利用反例可以加深學(xué)生對關(guān)鍵性字句的認(rèn)識(shí).

二、反例是辨析錯(cuò)誤，糾正錯(cuò)誤的有效辦法

學(xué)習(xí)過程是一個(gè)知識(shí)積累的過程，同時(shí)，也是不斷發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，改正錯(cuò)誤的過程.反例在辨析命題真?zhèn)螘r(shí)，具有直觀、明顯、說服力強(qiáng)等突出的特點(diǎn)，在解題中，對于學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，運(yùn)用反例加以否定比直接找出錯(cuò)誤更令學(xué)生信服.通過反例教學(xué)，不但可以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤和漏洞，而且可以從反例中修補(bǔ)有關(guān)知識(shí)，從而獲得正確的結(jié)論或解答.

例如，學(xué)習(xí)反函數(shù)后，發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)重要性質(zhì)：函數(shù)y=f（x）的圖像與其反函數(shù)y=f-1（x）的圖像關(guān)于直線y=x對稱.

因此，大部分學(xué)生認(rèn)為，函數(shù)與其反函數(shù)圖像的交點(diǎn)一定在直線y=x上.事實(shí)上，舉一個(gè)簡單的反例即可說明此結(jié)論是錯(cuò)誤的，如y= 1 x 的反函數(shù)仍為y= 1 x ，兩圖像是重合的，當(dāng)然有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)而且只有（1，1），（-1，-1）兩點(diǎn)在直線y=x上，其余均不在此直線上.

三、反例可使學(xué)生正確理解和明確定理、公式、法則中條件的嚴(yán)密性

在命題的教學(xué)中，用生動(dòng)的反例駁斥錯(cuò)誤的命題是非常簡潔、有效的.更重要的是，反例可用來說明正確命題的使用范圍.這對初學(xué)者非常有益，不僅能澄清一些錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，對基本定理和基本性質(zhì)做出正確的理解，也能促使學(xué)生形成嚴(yán)密推理、重視條件的習(xí)慣，避免發(fā)生“失之毫厘，謬之千里”的錯(cuò)誤.

在學(xué)習(xí)中，學(xué)生有時(shí)不留心公式、法則的適用范圍，把在某一條件下適用的公式、法則與性質(zhì)接近、形狀類似的同類公式、法則引起聯(lián)想，擴(kuò)大到其他條件里去，造成錯(cuò)誤.為克服與避免這種錯(cuò)誤，防患于未然，適當(dāng)?shù)嘏e反例是必要的，也是有效的.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為說明A僅是B的充分條件，而不是B的必要條件時(shí)，常可通過反例來說明.這樣既可以幫助學(xué)生牢固地掌握定理，又可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的推理習(xí)慣.另外，有些學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往對定理的內(nèi)容掌握不全面，為應(yīng)付考試，只埋頭解（證）題，忽視條件，死記硬背，學(xué)不得法，用不應(yīng)手.這時(shí)可舉反例來強(qiáng)調(diào)對定理的條件及結(jié)論的全面理解，這有利于學(xué)生準(zhǔn)確理解基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí).

例如，若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在（a，b）上取到最大值與最小值.

可舉反例：f（x）=x在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，但f（x）在區(qū)間（0，1）上取不到最大值與最小值.強(qiáng)調(diào)對定理?xiàng)l件中的“閉區(qū)間”不能少.

綜上所述，教師恰當(dāng)?shù)匾敕蠢M(jìn)行教學(xué)，可以使學(xué)生正確理解概念，深刻掌握定理、公式、法則，也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，從而提高教學(xué)質(zhì)量.因此，反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著功不可沒的作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李新萍，石紅芳.談反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2006（02）：32-33.