莫曉文

【摘要】 平面幾何最值問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中較為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，在高考中所占分?jǐn)?shù)的比例還是較大的.但是由于在解題的過程中計(jì)算量較大，對運(yùn)算求解能力要求比較高，所以學(xué)生對此內(nèi)容的學(xué)習(xí)較為困難，因此，本文針對一些平面幾何最值問題的經(jīng)典例題，總結(jié)歸納其中的解答技巧，為分析研究關(guān)于平面幾何最值的問題，提供相應(yīng)的教學(xué)策略.

【關(guān)鍵詞】 高中；平面幾何；最值；教學(xué)策略

高中解析平面幾何最值問題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難題，高考中分值所占的比重較大.可以簡單劃分成兩種，一種是針對在平面中的幾何圖形所包含的兩線之間的夾角、點(diǎn)線之間的距離，甚至幾何圖形的面積大小的最值；另外一種指的是直線與曲線之間的最值問題.

一、平面幾何最值解題策略分析

平面幾何最值問題屬于綜合性問題，這種綜合性主要體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識的相互融合，常見的解法有兩種：曲線法、函數(shù)法.下面結(jié)合本人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和一些例題總結(jié)出幾種利用平面幾何知識巧解最值問題的方法.

（一）曲線定義

首先，圓錐曲線的概念，指的是曲線上動(dòng)點(diǎn)的本質(zhì)屬性的反映.如果要研究分析圓錐曲線中最值的問題，需要巧妙熟練地運(yùn)用定義，就可以把問題簡單化，同時(shí)，還可收到好的效果，簡單明了得到問題的答案.

例如，已知點(diǎn)F為拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（3，2），試在拋物線上求一點(diǎn)P，使|PA|+|PF|的值最小，并求最小值.

解 如圖所示：拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F 1 2 ，0 ，準(zhǔn)線為l：x=- 1 2 ，由拋物線的定義知，PF與P到l的距離相等，于是，若對于拋物線上的點(diǎn)P作PQ⊥l于Q，則有|PF|=|PQ|，從而|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|，而為了使右端最小，其充要條件是A，P和Q三點(diǎn)共線.從而，若設(shè)P（x，y）為所求的點(diǎn)，則y=2.從而x= 1 2 y2=2，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）.所以，|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|=|AQ|= 7 2 ，∴點(diǎn)P（2，2）為所求的點(diǎn)，此時(shí)|PA|+|PF|達(dá)到最小值 7 2 .

（二）函數(shù)思想

在高中解析幾何最值問題的教學(xué)過程中，將合適的變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)思想進(jìn)行最值問題的解決是一個(gè)有效的策略，例如，在2010年的福建高考題中，可以通過二次函數(shù)配方法快速解決解析幾何中的最值問題.

例如，若點(diǎn)O和點(diǎn)F為橢圓 x2 4 + y2 3 =1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的任意點(diǎn)，求OF ·FP 的最大值.對于該題，可以巧妙地利用函數(shù)思想進(jìn)行解答.首先，通過題意可以知F（-1，0），假設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則可以得到算式 x20 4 + y20 3 =1，將之變化為y20=3· 1- x20 4 .同時(shí)，因?yàn)镕P =（x0+1，y0），OP =（x0，y0）.所以O(shè)P ·FP =x0（x0+1）+y20=x0（x0+1）+3 1- y20 4 = y20 4 +x0+3，可知-2≤x0≤2，因此，當(dāng)x0=2時(shí)，OP ·FP 的最大值為 22 4 +2+3=6.

同時(shí)，在高中解析幾何求最值的教學(xué)過程中，要注意四邊形面積公式S= 1 4 |AB||CD||sinθ|的通用.這也是一種巧妙利用函數(shù)形式解決解析幾何最值問題的重要途徑.

（三）基本不等式

在高中解析幾何的最值問題求解中，當(dāng)所體現(xiàn)的函數(shù)關(guān)系滿足基本不等式使用的條件時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為利用不等式方法來進(jìn)行準(zhǔn)確解答.在這一解題過程中，要掌握好配湊的技巧，結(jié)合“一正二定三相等”原則求最值，例如，

已知橢圓E： x2 a2 + y2 3 =1（a>3）的離心率e= 1 2 ，直線x=t（t>0）與曲線E交于M，N兩個(gè)不同點(diǎn)，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C.問題：（1）求橢圓E的方程；（2）若圓C與Y軸相交于不同兩點(diǎn)A，B，求三角形ABC的面積最大值.該題可以采用不等式的方法進(jìn)行解答，獲得最終答案.

對于問題1，可知 a2-3 a = 1 2 ，由此解答出a=2.也就能得出橢圓E的方程為 x2 4 + y3 3 =1.而對于第二個(gè)問題，可以設(shè)圓心為C（t，0）（0

而根據(jù)上面已經(jīng)得到的半徑值，可以得出|AB|=2 r2-d2 =2 12-3t2 4 -t2= 12-7t2 ，從而計(jì)算出三角形ABC的面積為S= 1 2 ·t 12-7t2 = 1 2 7 ×（ 7 t）· 12-7t2 ≤ 1 2 7 × （ 7 t）2+12-7t2 2 = 3 7 7 ，而且根據(jù)題意及不等式定義，當(dāng)且僅當(dāng) 7 t= 12-7t2 ，即t= 42 7 時(shí)，等號成立，因此，三角形ABC的面積最大值為 3 7 7 .

二、總 結(jié)

本文主要通過曲線定義、函數(shù)思想以及基本不等式三個(gè)方面研究分析了高中平面幾何的最值的問題，通過相關(guān)案例可以簡單清楚地了解其中所蘊(yùn)含的奧秘，同時(shí)，也為平面幾何最值的教學(xué)策略提供了很多豐富的內(nèi)容及技巧.