王志偉，趙有明，張千里，馬偉斌，馬超鋒

(1. 中國鐵道科學研究院 研究生部，北京　100081；2. 中國鐵道科學研究院 鐵道建筑研究所， 北京　100081；3.中國鐵道科學研究院，北京　100081)

高速鐵路隧道多采用板式無砟軌道結構型式，整體剛度大，不利于振動波衰減，傳遞到隧道結構的振動強度要比在有碴軌道條件下大，這就要求隧底結構必須具有更高的動力穩(wěn)定性。然而隧底混凝土作為一種多相復合材料，天然具有隨機分布的微空洞、微裂隙等初始損傷，加之施工過程中灌筑、搗固和養(yǎng)護受空間與時間限制，初始損傷更為明顯，在高周頻率動載作用下，損傷累積使得基底混凝土破壞時有發(fā)生，影響行車安全與運營效率。

隧底結構劣化及病害源于尚未掌握基底混凝土自初始受力至破壞全過程的力學行為特性，根本原因在于對新型結構和荷載作用下含初始損傷的基底混凝土應力—應變關系研究不足。目前針對高鐵隧道基底結構受荷特性及致災機理方面的研究，多側重混凝土力學行為的非線性及荷載響應機制研究[1-5]，所用到的本構模型多針對混凝土破壞時的非線性與強度劣化特征。

實際上，高速鐵路隧道基底建設期間，混凝土的配合比、組分等是相同的，其所受外荷載及其他外界影響也無明顯差異性，然而基底混凝土結構的破壞在軸線方向呈現(xiàn)出具有隨機性與統(tǒng)計學特征。究其原因，在于混凝土的組分及各組分的物理力學性質(zhì)具有隨機分布特征，混凝土材料內(nèi)部存在具有隨機分布特征的微裂紋、微孔洞。這些微觀特征必然影響混凝土損傷、破壞的演化進程。表現(xiàn)在宏觀上就是混凝土力學性能具有明顯的隨機性。李杰[6]等也指出，由于混凝土材料組分隨機分布的特點，使得初始損傷分布與后續(xù)演化過程具有不可忽視的隨機分布特征。因此，表征高鐵隧底混凝土應力—應變關系的本構模型應該同時反映受力行為的非線性和隨機性。

本文采用混凝土隨機損傷理論，依據(jù)能變量理論、熱力學定理，基于改進的塑性亥姆霍茲自由能及能量耗散原理，推導高鐵隧底混凝土隨機損傷本構模型，引入能量等效應變概念，在有效應力空間建立損傷演化法則與損傷準則，采用二次編程納入計算軟件，通過對比混凝土的單軸拉伸、單軸壓縮試驗結果與數(shù)值計算結果，驗證模型的有效性。

1　基于修正的彈塑性亥姆霍茲自由能的隨機損傷本構模型

1.1　隧底混凝土結構受力狀態(tài)

混凝土在復雜應力作用下的破壞形態(tài)一般可概括為3種：拉伸破壞、壓縮破壞、高靜水壓力下的壓碎破壞。中國鐵道科學研究院通過對典型隧道基底應力—應變測試(見圖1)，得出隧道底部仰拱混凝土的應力經(jīng)歷了拉—壓—拉—壓的反復變化(見圖2和圖3)，因此損傷變量的選取應區(qū)分受拉損傷與受壓損傷。

圖1　隧道基底受荷測試橫斷面布置圖

圖2?、跫墖鷰r條件下隧道基底典型部位應力時程曲線

圖3　Ⅳ級圍巖條件下隧道基底典型部位應力時程曲線

隧道基底采用C25及以上標號的混凝土，而C25混凝土的抗壓強度與抗拉強度設計值分別為11.9和1.27 MPa，由圖2及圖3知，壓應力測試結果的最大值小于3 MPa，拉應力測試結果的最大值小于0.5 MPa，可見在不考慮高靜水壓力導致的應變強化的前提下，隧底混凝土材料的損傷和破壞主要源于受拉損傷和塑壓損傷，故需計算列車動載作用下單次振動引起的損傷，分析整個運營期累計損傷對隧道基底混凝土結構壽命的影響。

1.2　熱力學基本原理與損傷本構模型基本方程

由于混凝土微開裂不能愈合，且必然伴隨能量耗散，故可基于損傷能量耗散過程的不可逆性，建立本構模型。

熱力學第一定律指出，系統(tǒng)內(nèi)動能和內(nèi)能關于時間的變化率等于外力所做功的功率與外界輸送給系統(tǒng)的熱能變化率之和，其微分形式可表示為

(1)

不可逆的熱力學系統(tǒng)(熱力學第二系統(tǒng))中存在表征熱力學溫度和熵的單值函數(shù)，常用式(2)所示Clausius-Duhem耗散能不等式反映能量耗散與溫度梯度的關系。

(2)

以熵函數(shù)作為自由能判據(jù)時，要求同時考慮體系和環(huán)境的熵變，但由于熱力學反應通常都是在等溫、等壓或等溫、等容條件下進行，若能利用這種條件下系統(tǒng)自身狀態(tài)函數(shù)的變化值來判斷反應的方向和限度，則要比熵判據(jù)方便得多。亥姆霍茲(Von Helmholtz，H.L.P)定義了新的狀態(tài)函數(shù)式為

Ψ≡U-TS=ρ(e-TS)

(3)

式中：Ψ為亥姆霍茲自由能；U為系統(tǒng)的內(nèi)能，其物理意義為等溫可逆過程中，體系對外所做的最大功等于體系亥姆霍茲自由能的減小值。

對于等溫純力學過程，溫度函數(shù)T為常數(shù)且不考慮內(nèi)部熱源q和熱流h的影響，熱力學第一定律式(1)和熱力學第二定律式(2)可分別簡化為

(4)

(5)

由于溫度函數(shù)T為常數(shù)，式(3)的微分形式為

(6)

則式(4)、式(5)可統(tǒng)一寫成為

(7)

由式(7)可知，外力所做功的一部分轉(zhuǎn)換為亥姆霍茲自由能，一部分用于變形過程中能量耗散，且其大小為非負值。

定義：D為損傷變量，其表示亥姆霍茲自由能損失的程度；D+為混凝土受拉時亥姆霍茲自由能損失的程度，稱為受拉損傷變量；D-為受壓時亥姆霍茲自由能損失的程度，稱為受壓損傷變量。由于混凝土的損傷破壞為一個不可逆的熱力學過程，破壞過程產(chǎn)生應變且伴隨能量耗散，若僅考慮等溫純力學過程，則亥姆霍茲自由能為有效應變張量ε和損傷變量的狀態(tài)函數(shù)，即

Ψ=Ψ(ε,D)

(8)

將式(8)代入式(7)得

(9)

(10)

(11)

由式(10)得

(12)

式(12)含有損傷變量D及有效應變張量ε的應力—應變關系，即損傷力學本構模型基本方程。引入損傷演化方程，根據(jù)最大耗散能原理[6]可給出損傷發(fā)展方程為

(13)

1.3　修正的彈塑性亥姆霍茲自由能

將有效應變張量ε分解為彈性應變張量εe與塑性應變張量εp，有ε=εe+εp。在等溫狀態(tài)下，假設材料的彈性亥姆霍茲自由能勢Ψe與塑性亥姆霍茲自由能勢Ψp不耦合，則材料的總彈塑性亥姆霍茲自由能勢Ψ可以表示為二者之和，即

Ψ(εe,κ,D+,D-)=Ψe(εe,D+,D-)+

Ψp(κ,D+,D-)

(14)

其中，

Ψe(εe,D+,D-)=Ψe+(εe,D+)+Ψe-(εe,D-)

(15)

Ψe+(εe,D+)=(1-D+)Ψe+(ε)

(16)

Ψe-(εe,D-)=(1-D-)Ψe-(ε)

(17)

Ψp(κ,D+,D-)=Ψp+(κ,D+)+Ψp-(κ,D-)

(18)

(19)

(20)

定義：vk表征熱力學系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化，fk表示與之相應的廣義力變量(伴隨變量)。若ε和T表示狀態(tài)變量，則對應的伴隨變量為應力σ和熵S。若內(nèi)部狀態(tài)變量選擇彈性應變εe、塑性應變εp、累積塑性應變q和損傷變量D，則相應的共軛變量為σ、屈服面半徑為R和損傷能量釋放率為β。文獻[7]指出，當Ψ是ε，D和vk的函數(shù)時，熱力學第一定律、第二定律可分別寫成

(21)

(22)

由于熱力學定律對于任何應變速率和溫度變化率都成立，則保證式(21)與式(22)成立的必要條件為

(23)

式(23)可等效變換為

(24)

其中，

(25)

(26)

(27)

(28)

q20=q0(0)

(29)

式中：l(q)為硬化函數(shù)；fcs為單軸壓縮初始屈服應力；fc為單軸壓縮強度；q0為初始塑性累計應變；q10和q20分別為單軸壓縮、雙軸等強度壓縮條件下峰值應力所對應的等效塑性應變值。

將式(14)求導，并將式(24)中的3個等式代入有

(30)

將能量釋放率彈塑性解耦，有

β±=βe±+βp±=Ψe0±+Ψp0±

(31)

式中：Ψe0±和Ψp0±分別為初始彈性亥姆霍茲自由能與初始塑性亥姆霍茲自由能，數(shù)值上分別等于能量釋放率的彈性部分與塑性部分。

Faria等[8]指出Ψe0±用下式計算：

(32)

式中：C0為初始柔度張量。

(33)

則式(19)變?yōu)?/p>

(34)

聯(lián)立式(14)—式(18)、式(20)、式(34)可得修正后的彈塑性亥姆霍茲自由能為

Ψ(εe,κ,D+,D-)=Ψe(εe,D+,D-)+

(35)

1.4　隨機損傷本構模型

材料的損傷本構關系可由熱力學定律的統(tǒng)一公式(7)導出，將式(35)關于時間微分，并代入式(7)，可得

(36)

(37)

將式(15)代入式(37)，可得

(38)

進而將式(16)代入式(38)，即可得到彈塑性隨機損傷本構關系為

σ=(1-D+)σ++(1-D-)σ-

=(1-D):σ=(1-D)E0:(ε-εp)

(39)

其中，

D=D+P++D-P-

(40)

(41)

P-=I-P+

(42)

在二維平面應力狀態(tài)下，損傷發(fā)展導致混凝土各向異性，宜將對應的割線剛度矩陣做對稱化處理，根據(jù)式(39)可分別得到雙軸拉壓狀態(tài)下主應力方向的隨機損傷應力—應變關系式為

(43)

(44)

隧道底部混凝土受拉損傷與受壓損傷細觀破壞都有隨機不可控性質(zhì)，損傷變量在數(shù)學意義上是隨機變量，存在概率密度分布、均質(zhì)與標準差等概率描述。由于損傷演化非常復雜，故可以通過取損傷均值，建立隨機損傷與確定性損傷之間的聯(lián)系。李杰等[6]給出混凝土受拉損傷和受壓損傷的均質(zhì)與方差統(tǒng)一表達式為

(45)

(46)

損傷準則是判斷損傷是否發(fā)生的一個依據(jù)，損傷破壞的過程本身就是一種平衡和穩(wěn)定被隨時打破而又隨時建立起來的一種過程，因此最小耗能原理也適用于損傷準則的建立。當已知耗能系統(tǒng)的能量耗散率及此過程所必須滿足的約束條件，則可以找到滿足系統(tǒng)耗能取駐值的條件，由此可建立統(tǒng)一形式的損傷準則。塑性理論的流動法則可以寫為

(47)

考慮損傷系統(tǒng)的能量耗散由損傷耗能ΘD和塑性耗能Θp兩種機制產(chǎn)生，因此總耗能Θ為

(48)

損傷過程的能量耗散要受到損傷準則G(σ)=0的約束，據(jù)耗能極值原理，取極值的條件應滿足：

(49)

式中：?為拉格朗日(Lagrange)乘子；G為損傷準則。

將式(48)代入到耗能取駐值的條件式(49)中可得

(50)

式中：相對變量σ而言，C0的數(shù)學意義為積分常數(shù)，物理意義為損傷D對G的影響，是與損傷門檻值相關的參量。

式(50)在對σ積分時，若將D固定，即認為D獨立于σ，可得

G(σ)=β-β0

(51)

其中，

(52)

(53)

式中：β0為損傷因子閥值，物理意義為控制損傷面的發(fā)展。

損傷理論的核心問題是確定損傷演化規(guī)律，即損傷變量D隨其他內(nèi)變量變化而變化的規(guī)律。由式(47)所示損傷準則，根據(jù)正交流動法則，可以得到損傷變量的演化法則為

(54)

(55)

式中：上角標為“+”、“-”分別表示受拉與受壓狀態(tài)。

損傷加卸載條件即Kuhn-Tucker關系為

(56)

(57)

(58)

因此，只要給定函數(shù)G±的具體表達式，損傷變量可以根據(jù)式(58)求得

(59)

(60)

(61)

式中：Δ取值范圍為1.1～1.2。

2　隨機損傷本構模型數(shù)值實現(xiàn)

由于塑性演化與損傷分別發(fā)生在有效應力空間與損傷空間，二者解耦，故應力更新過程可采用Simó和Ju等[10]建議的算子分離算法。本構模型數(shù)值實現(xiàn)遵循“彈性預測—塑性修正—損傷修正”思路，計算流程如圖4所示。

(62)

將式(62)代入屈服函數(shù)f中，若tn+1時刻預測屈服函數(shù)滿足式(63)：

圖4　本構模型數(shù)值實現(xiàn)流程

(63)

則增量步[tn,tn+1]內(nèi)有塑性流動產(chǎn)生，即不滿足屈服準則，應進行塑性修正。由于有效應力空間塑性狀態(tài)與損傷無關，可采用回映算法[11]實現(xiàn)，按式(64)進行塑性修正。

(64)

(65)

混凝土初始損傷的隨機性對其受力破壞非線性的影響涉及隨機性在物理系統(tǒng)中的傳播。李杰等[12]考察了隨機事件狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中的概率守恒原理，建立了一般隨機系統(tǒng)的廣義概率密度演化方程，形成了隨機非線性分析的一般理論。本文采用這一思想，令Z為概率系統(tǒng)，G為概率函數(shù)，Υ為反映結構材料性質(zhì)的隨機損傷變量，Γ為結構加載參數(shù)，x為決定結構反應所在位置的空間位置變量，則一般加載條件下結構的非線性反應可表述為[6]

Z=G(Υ,Γ,x)

(66)

對于式(66)存在式(67)所示可應用于隨機損傷本構的關系式，計算應力關于應變的概率密度演化進程。

(67)

廣義概率密度演化方程的求解可以采用有限差分方法[14]。李杰和陳建兵[15]給出了非線性隨機反應求解步驟。在概率密度演化方程求解的基礎上，本文借助于有限差分軟件FLAC3D所提供的二次開發(fā)程序接口，采用C++語言編寫計算程序，實現(xiàn)本構模型的程序化計算。FLAC(Fast Lagrangian Analysis for Ceontinua，連續(xù)介質(zhì)快速拉格朗日分析)有限差分程序是一種利用拖帶坐標系分析大變形問題的數(shù)值方法，它采用差分格式按時步積分求解，隨構形的不斷變化，不斷更新坐標，允許介質(zhì)有較大變形，其計算流程如圖5所示。

圖5　FLAC計算循環(huán)過程

本構模型二次開發(fā)過程也就是繼承FLAC3D軟件自帶的Constitutive Model基類，并重載其中的2個關鍵函數(shù)：Initialize()函數(shù)和Run()函數(shù)。由于屈服準則和拉、壓損傷組合系數(shù)表示為主應力或主應力不變量的形式，所以在每個循環(huán)步中需要得到單元主應力值，這一任務由程序中的Resoltopris()和Resoltoglob()這2個重要函數(shù)完成?；谠摫緲嬆Ｐ烷_發(fā)的程序流程如圖6所示。

3　隨機損傷本構模型數(shù)值驗證

圖6　損傷本構程序開發(fā)流程圖

對于拉伸試驗，采用數(shù)值模擬分析應力均值加減1倍均方差范圍時的應力—應變?nèi)^程曲線；對于壓縮試驗，采用數(shù)值模擬分析應力均值加減1倍、加減2倍均方差范圍時的應力—應變?nèi)^程曲線。模擬結果與試驗結果對比如圖7和圖8所示。

圖7　單軸拉伸應力—應變?nèi)^程曲線

由圖7和圖8可知：數(shù)值模擬結果與試驗結果較為一致，說明開發(fā)的損傷本構模型可以較為準確地模擬混凝土受拉、受壓條件下的應變軟化過程；試驗點落在應力均值加減1倍或2倍均方差范圍之內(nèi)，說明開發(fā)的損傷本構模型不僅可以在均值意義上反映混凝土受拉、受壓的應力—應變關系，也可以在概率意義上模擬其離散范圍，可較為全面地反映混凝土受力行為的非線性與隨機性。

圖8　單軸壓縮應力—應變?nèi)^程曲線

4　工程案例

4.1　高鐵隧道結構型式與動力荷載

高速鐵路隧道一般采用：三心圓曲墻雙線隧道，Ⅴ級圍巖，設計行車速度為350 km·h-1，排水型復合式襯砌。代表性的隧道襯砌結構斷面如圖9所示。列車荷載涉及列車軸重、懸掛質(zhì)量、行車速度、軌道組成、線路平順等因素，本文采用文獻[17]中的加載方法。

圖9　代表性的隧道襯砌結構斷面(單位：cm)

4.2　模型計算參數(shù)與計算步驟

地層為四節(jié)點平面應變單元，材料特性采用彈塑性增量本構模型模擬，地層材料參數(shù)見表1。初襯、二襯、填充層、混凝土基礎、軌道板均采用四節(jié)點平面單元，材料物理力學參數(shù)見表2，材料特性采用本文所提出的隨機損傷本構模型模擬，損傷模型計算參數(shù)由混凝土單軸受拉試驗與單軸受壓試驗標定得到[17]，結果見表3。錨桿對圍巖的加固作用通過提高錨固區(qū)圍巖參數(shù)模擬。模型左側、右側、下側各取4倍隧道跨度，上部埋深為20 m，由此建立的有限差分模型局部網(wǎng)格模型如圖10所示。

計算步驟分為：建?！鷦澐志W(wǎng)格→定義靜力邊界(兩側水平位移固定，底部豎向位移固定)→開挖(上、下兩臺階開挖)→支護→動力邊界→動力計算。

表1?、跫墖鷰r地層物理力學參數(shù)

表2初襯、二襯、填充層、混凝土基礎、軌道板物理力學參數(shù)

結構　　混凝土標號密度/(kN·m-3)彈性模量/MPa泊松比黏聚力/kPa內(nèi)摩擦角/(°)初襯　　　C2523028002130125二襯　　　C3526331502165175填充層　　C2523028002130125混凝土基礎C3025030002150150軌道板　　C5027033502190215

表3二襯、填充層、混凝土基礎、軌道板損傷模型計算參數(shù)

結構　　混凝土標號f+/MPaf-/MPaA+A-B+B-二襯　　　C351571670006511017填充層　　C251271190005008014混凝土基礎C301431430006010015軌道板　　C501892310010014018

圖10　計算模型局部網(wǎng)格劃分

4.3　損傷演化過程及壽命分析

由文獻[1]可知，不同行車速度、不同圍巖級別條件下仰拱底部為損傷最大的位置，且破壞主要由受拉強度控制，因此選取圖10中M點計算分析損傷隨時間的演化過程。在模型幾何尺寸不變條件下，為與相似研究進行對比，初始損傷量取文獻[1]中的值0.050 130 000進行模擬，行車速度分別取200，250， 300 km·h-1，采用本文的隨機損傷本構模型和計算程序進行計算。隨時間演化的損傷量如圖11所示，列車荷載作用下振動一次引起的損傷量如圖12所示。

圖11　不同行車速度條件下隨時間演化的累計損傷量

圖12不同行車速度時列車荷載作用下振動1次引起的損傷量

由圖11和圖12可知：4種行車速度條件下的損傷量演化規(guī)律基本相同；0.0～0.5 s作用時間內(nèi)，損傷量急劇增長，瞬間接近最大值，而后損傷量趨于定值；累計損傷量及由列車振動引起的損傷量均隨著行車速度的增長而增長；當行車速度為300 km·h-1時，累計損傷量最大值為0.051 747 183，列車荷載作用下振動1次引起的最大損傷量為0.240 844 800×10-6，均遠小于1，說明單次列車運行引起的襯砌結構損傷量非常小，對襯砌結構安全幾乎無影響。

然而，對于運營期的高速鐵路，按照每日開行100對列車，每列車16輛編組，隧道服役期為100年計算，總通過車流量為365×104次，屬于高周頻率范疇，需進行損傷疲勞壽命分析。采用Palmgren-Miner疲勞累計損傷理論計算公式，即

(68)

根據(jù)式(68)可得不同行車速度條件下的疲勞壽命(四舍五入取整)，見表4。由表4可知，采用本文本構模型計算結果與文獻1計算結果相對差值最大為8.0%，既證明了本文模型的適用性，也說明Ⅴ級圍巖條件下，行車速度小于等于300 km·h-1時，當前高速鐵路隧道設計參數(shù)可滿足設計基準期內(nèi)抗疲勞要求。

表4基于Palmgren-Miner疲勞累計損傷理論計算的損傷疲勞壽命

行車速度/(km·h-1)D+振/10-6損傷疲勞壽命/a采用本文模型計算結果文獻[1]計算結果相對差值/%20001640448001501388025002036992001211136730002408448001029659

需要說明的是，隧道底部直接與列車輪接觸的軌道板的受力和損傷要遠大于仰拱處的受力和損傷，結構的破壞除損傷引起外，尚與底部累計沉降等有關，結構的破壞及其壽命是多因素綜合影響的結果，損傷疲勞僅可供參考。

5　結　論

(1)本文基于現(xiàn)場實測的高鐵基底混凝土結構受力“拉—壓—拉—壓”變化特性，依據(jù)內(nèi)變量理論，分別定義受拉、受壓損傷變量，并按照熱力學第一、第二定律及能量耗散原理，給出了損傷發(fā)展方程式。

(2)為全面反映熱力學相容條件，修正了彈塑性亥姆霍茲自由能，并通過彈塑性解耦，推導了基于修正的彈塑性亥姆霍茲自由能的隨機損傷本構模型，引入彈塑性損傷能釋放率及其閥值，建立了損傷準則，根據(jù)彈塑性力學正交流動法則，給出了損傷變量的演化法則。

(3)建立了所提出模型的“彈性預測—塑性修正—損傷修正”數(shù)值分析求解框架，采用C++語言編寫計算程序，借助于有限差分軟件FLAC3D所提供的二次開發(fā)程序接口，實現(xiàn)了本構模型的程序化計算。

(4)通過與前人所做混凝土材料單軸拉伸、單軸壓縮試驗對比，表明本文提出的隨機損傷本構模型，一方面可較準確地模擬混凝土受拉、受壓條件下的應變軟化及非線性特性；另一方面，既可以在均值意義上反映混凝土受拉、受壓的應力—應變關系，也可以在概率意義上模擬其離散范圍，可較為全面地反映混凝土受力行為的非線性與隨機性。

(5)采用本文模型對不同行車速度條件下隧道襯砌結構損傷疲勞壽命進行初步分析可知，Ⅴ級圍巖條件下，行車速度小于等于300 km·h-1時，當前高速鐵路隧道設計參數(shù)可滿足設計基準期內(nèi)抗疲勞的要求。

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