王宣策，李育杭，后俊明，張　麟，聶　晶

（1遼寧科技大學 理學院，遼寧 鞍山　114051；2.遼寧科技大學 體育部，遼寧 鞍山　114051）

從科學的角度來探索和求證一些籃球訓練重點問題，比如定點投籃中最佳出手的角度、最佳出手速度、投籃身體用力的順序等問題，能夠幫助籃球隊員在訓練中科學地掌握技術動作和運動規(guī)律，達到快速提高投籃命中率的目的。從物理角度出發(fā)，人們更樂于對中遠距離的定點投籃進行理論和實驗研究［1-8］，比如罰籃、三分線空位投籃等，這是因為影響運動員投籃的因素很多，中遠距離定點投籃比較容易確定變量，技術動作變化不大，有利于排除其他非技術因素的影響。

針對定點投籃問題，人們建立了不同的物理模型，并得到了有意義的結論。Brancazio利用籃球運動軌跡方程求導，得到起落點不在同一水平線上的無空氣阻力情況下最佳出手角和最小出手速度的精確解，并指出投籃的重點在于掌握最小速度［1］。Fontanella提出一個比較陡的投籃軌跡更容易投出空心入筐［2］。2003年，Silverberg等人對投籃的動力學進行了數(shù)值分析，并利用蒙特卡洛方法計算了大量投籃情況下的標準偏差［3］。Silverberg等人得出，一般投籃的理想旋轉(zhuǎn)頻率是3 Hz，最合理的靶心在籃筐中心之后的7.112 cm（2.8英寸）處［4］。上述文獻的結論大多是采用簡化的二維平面模型得到的。

Tran等建立三維的籃球模型，并研究了罰籃時籃球打板入筐的最優(yōu)出手參數(shù)［7］。曹軍利用蒙特卡洛方法計算了三維情況下的最優(yōu)出手速度等問題［8］。但目前的理論研究結果仍和籃球賽場上統(tǒng)計出的數(shù)據(jù)存在著偏差［9］，因此投籃問題仍然值得進行深入的探討和研究。本文通過投籃三維模型，利用籃球的運動方程求出籃球能夠空心入筐的出手狀態(tài)參數(shù)相空間，及不同出手距離、不同出手高度條件下的最優(yōu)出手速度、出手角度、瞄準點等參數(shù)，從而對投籃訓練提供一些科學有效的參考數(shù)據(jù)。

1　物理模型的建立

圖1　投籃示意圖Fig.1　Diagram of shooting

以投籃出手點為坐標原點建立直角坐標系，如圖1所示，且籃筐中心的投影在y軸上，并設投籃出手點離地高度是h，與籃筐中心水平距離l，則籃筐中心坐標為（0，l，3.05-h）。記籃球出手時的初速度v0與z軸夾角為θ，初速度在xoy面上的投影與x軸夾角為φ，籃球入筐角度為α。文中不計空氣阻力和籃球旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的影響，只討論籃球空心入筐的情況。不同于其它文獻［8］，本文涉及的籃球空心入筐只要求籃球中心高度下落和籃筐高度相同之前，籃球和籃筐無碰撞。若籃球中心高度下落至與籃筐高度相同時，籃球和籃筐發(fā)生碰撞，則如圖2所示，在重力和籃筐彈力的作用下籃球仍能進入籃筐得分。

圖2　籃球入筐情況Fig.2　Shooting into basket

由牛頓力學可知，籃球中心的運動方程為

若籃球能夠空心入筐，則要求籃球中心高度下落至與籃筐高度相同時，籃球中心點與籃筐中心點距離d1=小于等于籃筐半徑與籃球半徑之差，即R-r，其中xH、yH是籃球中心在高度坐標z=H時對應的水平坐標。

利用matlab程序計算籃球中心的運動軌跡。取等時間隔Δt=1 ms，若籃球空心入筐，則軌跡上所有點到籃筐中心的距離d2=總是大于或等于籃球半徑r。

2　數(shù)值計算及討論

2.1　最佳出手速度的計算

為了與文獻［8］對比，依據(jù)2010年以前國際三分線標準，選取l=6.25 m、h=2.00 m。其他計算參數(shù)選?。褐亓铀俣萭=9.80 m/s，標準籃球半徑r=12 cm，籃筐半徑R=22.5 cm，籃筐離地高度H=3.05 m。

2.1.1二維計算結果由對稱性可知投籃參數(shù)中φ的最優(yōu)值為90°，即φ=90°時，投籃命中的幾率最大。先令φ=90°，在二維空間中計算能夠投中籃球的出手速度v0和出手角度θ的相空間如圖3所示。

當v0≤8.48 m/s時，無論θ取何值籃球都不能空心入筐，此初速度即為該條件下的投籃截止速度。

當8.48 m/s＜v0≤8.57 m/s時，能使籃球投中的出手角度θ有一個隨出手速度v0增大而單調(diào)遞增的取值范圍。當v0≤8.56 m/s時，對應的θ角范圍最大，為34.95°～44.40°。這說明出手投籃時，左右方向瞄正的情況下以此速度出手投籃的θ角允許誤差最大，對應的最佳投籃角為39.68°。

圖3　二維情況下出手速度v0和出手角度θ的相空間Fig.3　Phase space of velocityv0and angleθfor 2D case

當 8.57 m/s＜v0≤9.00 m/s時，θ有兩個取值范圍，即有高低兩種拋物線軌跡可使籃球能夠空心入筐，由圖中還可以看出這兩個范圍是不對稱的，θ較小的高弧拋物線對應的取值范圍更大一些，即高弧投籃的允許誤差大于低弧投籃。

當v0≥9.00 m/s時，θ有一個取值范圍。出手速度越大，對應的角度θ取值越小，拋物線越高。

2.1.2三維計算結果為找出三維空間中的最優(yōu)出手速度，計算了在不同出手速率情況下，籃球空心入筐對應的出手角度（θ，φ）所構成的相空間，如圖4所示。不同的出手速率，對應出手角度相空間的形狀、面積均有差別。與二維情況相對應，在速率不斷增加的過程中，使籃球空心入筐的出手角度相空間經(jīng)歷了從一個區(qū)域變?yōu)閮蓚€區(qū)域再到一個區(qū)域的過程。相空間面積的變化主要由參數(shù)θ取值范圍決定，因為φ角允許變化的范圍始終集中在89.06°～90.94°。

最優(yōu)出手速率對應著最大的相空間面積，則以該速率出手，擁有最大的投籃角度容錯空間，若隨機選取的二維參數(shù)（θ，φ）落在相空間的幾率最高，以該速度出手的投中率最高。該計算結果可以很好的解釋蒙特卡洛方法計算出的不同速率空心入筐概率。為了驗證這一點，圖5給出了出手角度相空間面積（與參考面積比值）隨出手速率變化曲線。該曲線與蒙特卡洛方法［8］計算出的不同速率空心入筐概率曲線有著一致的變化趨勢。而采用相空間的計算方法不需要生成大量隨機數(shù)，因此會比蒙特卡洛方法計算量更小，更省時。

由圖4和圖5可見，三維相空間理論計算得出最優(yōu)出手速度為v0=8.55 m/s，比二維相空間理論得到的最優(yōu)出手速度略小，θ角允許變化的最大范圍是 35.29°～44.06°，φ角允許變化的最大范圍是89.06°～90.94°，但θ角和φ角并不能同時取范圍內(nèi)的極值。在距籃筐l=6.25 m處，投籃高度為h=2.00 m時，最優(yōu)出手參數(shù)為θ=39.68°，φ=90°，v0=8.55 m/s。由Brancazio建立在二維物理模型基礎上的最小出手速度理論［1，6］，算得相同條件下該理論的最優(yōu)出手速度為8.51 m/s。而在圖4中，其所對應的出手角度相空間面積，即投籃角度容錯空間明顯小于由相空間理論算得的v0=8.55 m/s時的情況。

2.2　投籃距離對最佳出手速度及相關參數(shù)的影響

表1中給出了以恒定出手高度h=2 m，不同出手距離進行中遠距離投籃時的相關數(shù)據(jù)，籃球空心入筐對應的最優(yōu)出手速度隨著出手距離的增加而增大，對應出手角度（θ，φ）所構成的相空間面積隨著出手距離的增大而單調(diào)遞減，即以最優(yōu)出手速度投籃的容錯空間會隨著出手距離的增大而減小，該計算結果說明進行中遠距離投籃時離籃筐越遠，投籃時需要的力量越大，籃球也越不容易被投進，與常識相吻合。同時，隨著出手距離的增加，以最優(yōu)參數(shù)投出的籃球入筐角度也不斷增大，說明投出的籃球的運動軌跡——拋物線越來越高。

圖4　不同出手速率下，出手角度（θ,φ）所構成的相空間Fig.4　Phase space of angleθandφfor different velocity case

投籃時的瞄準點，即籃球球心通過球筐時的坐標，集中在籃筐中心之后7 cm附近，瞄準這一點投籃，無論投出角度是略大還是略小，都能最大限度地保證命中率。

2.3　投籃高度對最佳出手速度及相關參數(shù)的影響

表2中給出了恒定距離l=6.75 m時，不同出手高度進行中遠距離投籃時的計算結果。最優(yōu)出手速度隨著出手高度的增大而減小，相空間面積隨著投籃出手點高度的增加而單調(diào)遞增。說明投籃出手點越高，越容易將籃球投進，身高臂長的籃球運動員在中遠距離投籃中具有先天的優(yōu)勢。同時，出手高度的增加，籃球的拋物線軌跡增高，也使入筐角度也不斷增大。

圖5　相空間面積和參考面積比值與出手速率v0的關系曲線Fig.5　Ratio of area of phase space and reference area as a function of velocityv0

表1　h=2 m，不同投籃距離時的出手參數(shù)Tab.1　h=2 m，shooting parameters for different shooting distance

表2　l=6.75 m不同投籃高度時的出手參數(shù)Tab.2　l=6.75 m，shooting parameters for different shooting height

與恒定高度投籃情況相類似，距離恒定時，投籃瞄準點仍集中在籃筐中心之后7 cm附近。這兩種情況下瞄準點變化范圍均約為籃球直徑的1/40，可認為瞄準點位置基本不變，在投籃訓練中進行有針對性的練習。

3　結論

本文利用數(shù)值計算方法得到了中遠距離定點投籃過程中，使籃球空心入筐的出手狀態(tài)對應的物理參數(shù)相空間。計算結果表明：

（1）最佳投籃速度、最佳投籃角度和最佳入筐角度，隨出手距離的增加而近似線性的單調(diào)遞增，而相空間面積隨之單調(diào)遞減，即距離籃筐越遠籃球越不容易投進。

（2）最佳投籃速度、最佳投籃角度、最佳入筐角度以及相空間面積，均隨出手高度的升高而近似線性的單調(diào)遞增，即在一定范圍內(nèi)出手高度越高籃球越容易投進。

（3）中遠距離投籃過程中，瞄準點在籃筐中心之后7 cm附近，幾乎不隨出手距離、高度的變化而改變。

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