□ 陳小霞

基于網(wǎng)絡(luò)的“小數(shù)的意義”學(xué)前調(diào)查與分析

□ 陳小霞

小數(shù)的再認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)以前需要了解學(xué)生對(duì)于小數(shù)初步認(rèn)識(shí)的掌握情況。運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)前測(cè)與分析，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生存在著的許多問(wèn)題。建議：基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)組織教學(xué)；教學(xué)過(guò)程中要凸顯“整體1”；讓學(xué)生經(jīng)歷十等分、百等分及單位累加的過(guò)程；利用數(shù)線的無(wú)限分割，加強(qiáng)小數(shù)稠密性概念的教學(xué)；借助多元情境，培養(yǎng)小數(shù)的估測(cè)能力。

小數(shù)的意義 網(wǎng)絡(luò) 學(xué)前調(diào)查

目前正在使用的北師大版教材將“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”分為兩個(gè)階段來(lái)學(xué)習(xí)?！靶?shù)的初步認(rèn)識(shí)”安排在三年級(jí)上冊(cè)第八單元，主要是聯(lián)系兒童的現(xiàn)實(shí)生活，以元、角、分和常用的長(zhǎng)度單位為背景，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)小數(shù)。“小數(shù)的意義”安排在四年級(jí)下冊(cè)第一單元，這一階段教科書(shū)將在學(xué)生認(rèn)識(shí)小數(shù)現(xiàn)實(shí)模型的基礎(chǔ)上，借助面積模型和線段模型，與十進(jìn)分?jǐn)?shù)之間建立聯(lián)系，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)小數(shù)的理解。即將學(xué)習(xí)“小數(shù)的意義”的四年級(jí)學(xué)生，有多少能正確建立小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)結(jié)？有多少能用面積模型和線段模型表征小數(shù)？對(duì)于小數(shù)序列、小數(shù)稠密性和小數(shù)估測(cè)的能力又如何？沒(méi)有形成這些能力的學(xué)生存在哪些主要類型的錯(cuò)誤想法？為了解以上問(wèn)題，筆者精心設(shè)計(jì)了問(wèn)卷，借助相關(guān)系統(tǒng)的測(cè)評(píng)功能和數(shù)據(jù)搜集分析功能開(kāi)展了學(xué)前調(diào)查，并在此基礎(chǔ)上提出了教學(xué)建議。

一、測(cè)試問(wèn)卷、對(duì)象及過(guò)程

2017年1月13日，筆者選擇了所在縣市的三個(gè)學(xué)校的871名三年級(jí)學(xué)生參加測(cè)試。測(cè)試問(wèn)卷包括小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系、小數(shù)圖形表征、小數(shù)序列、小數(shù)稠密性和小數(shù)估測(cè)五類共11道選擇題。每道題目的各選項(xiàng)根據(jù)三年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”后測(cè)搜集到的學(xué)生可能出現(xiàn)的答案設(shè)置而成。（具體題目見(jiàn)“測(cè)試結(jié)果及分析”）

測(cè)試前先委托任課教師向參加測(cè)試的班級(jí)說(shuō)明測(cè)試要求，并將要求以校訊通短信的形式告知家長(zhǎng)。當(dāng)日晚6：00，將問(wèn)卷鏈接發(fā)送至參加測(cè)評(píng)班級(jí)的微信群，學(xué)生點(diǎn)開(kāi)鏈接進(jìn)行答題。整個(gè)過(guò)程要求他人不得提供任何幫助，學(xué)生覺(jué)得作答完畢，點(diǎn)擊提交問(wèn)卷。2017年1月14日，根據(jù)學(xué)生的答題情況，電話通知了三個(gè)學(xué)校的各6名學(xué)生返回學(xué)校進(jìn)行面對(duì)面訪談，所有訪談?dòng)晒P者親自完成。

二、測(cè)試結(jié)果及分析

（一）各題正確率統(tǒng)計(jì)及分析

圖1

從圖1可以看出，對(duì)于小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系、用面積模型和線段模型表征小數(shù)、小數(shù)序列、小數(shù)稠密性和小數(shù)估測(cè)等知識(shí)有接近半數(shù)或超過(guò)半數(shù)的學(xué)生已經(jīng)了解。其中第9題關(guān)于小數(shù)序列的題目正確率最高，第2題、第4題關(guān)于兩位小數(shù)和分?jǐn)?shù)的互化正確率最低。

（二）小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系答題情況統(tǒng)計(jì)及分析

（由于“問(wèn)卷網(wǎng)”中不支持分?jǐn)?shù)的輸入，所以所有分?jǐn)?shù)采取文字的形式輸入）

表1 小數(shù)化分?jǐn)?shù)各選項(xiàng)百分比統(tǒng)計(jì)

從表1可以看出，像（1）（2）這樣的題目主要的錯(cuò)誤類型是將a.b或a.0b看成（對(duì)于a.0b，他們忽視0的存在，將0.05與0.2一樣處理），其中看成的占多數(shù)。將0.2與零分之二對(duì)等的學(xué)生占了33.41%，將0.05與零分之五對(duì)等的學(xué)生占了33.30%。這部分學(xué)生直接將小數(shù)表面的數(shù)字認(rèn)為就是分?jǐn)?shù)的分子和分母，而沒(méi)有明白a和b表示的意義。

表2 分?jǐn)?shù)化小數(shù)各選項(xiàng)百分比統(tǒng)計(jì)

從表2可以看出，這兩題的主要錯(cuò)誤和小數(shù)化分?jǐn)?shù)的主要錯(cuò)誤是相對(duì)應(yīng)的，將看成a.b或b.a，看成a.b的居多。將十分之三看成10.3的占了38.81%，將一百分之七看成100.7的占了39.72%。這兩類學(xué)生從分?jǐn)?shù)表面有的數(shù)字來(lái)拼湊答案，直接把分子、分母添上小數(shù)點(diǎn)變成小數(shù)的形式，認(rèn)為就化成小數(shù)了，同樣也沒(méi)有明白各個(gè)數(shù)字表示的意義。

（三）小數(shù)的圖形表征答題情況統(tǒng)計(jì)及分析

表3 一位小數(shù)圖形表征各選項(xiàng)百分比統(tǒng)計(jì)

本次測(cè)查中圖形表征的題目采取了兩種表示連續(xù)量的圖形，分別是一維線段模型和二維的面積模型。從表3中可以看出，不管是面積模型還是線段模型，主要的錯(cuò)誤都是選擇了表示0.01的圖示，錯(cuò)誤率分別是24%和18.25%。這些學(xué)生潛意識(shí)里有十等分的概念，但錯(cuò)認(rèn)為0.1是表示均分成100份中的一份，說(shuō)明他們并沒(méi)有形成正確的位值概念。

表4 兩位小數(shù)圖形表征各選項(xiàng)百分比統(tǒng)計(jì)

從表4中可以看出，對(duì)于兩位小數(shù)的圖形表征，兩種模型的主要錯(cuò)誤剛好和一位小數(shù)的圖形表征相反，最主要的錯(cuò)誤是選擇了表示0.1的圖。面積模型和線段模型的錯(cuò)誤率分別是19.40%和29.05%，這又一次說(shuō)明部分學(xué)生對(duì)于小數(shù)部分位值的理解有困難。

（四）小數(shù)序列答題情況統(tǒng)計(jì)及分析

表5 小數(shù)數(shù)列填空各選項(xiàng)百分比統(tǒng)計(jì)

該題選11.0、11、11.00這三個(gè)答案都是正確的，正確率是79.6%。主要錯(cuò)誤是10.10，占了19.29%。這部分學(xué)生是將小數(shù)的整數(shù)部分和純小數(shù)部分割裂開(kāi)來(lái)處理，這也說(shuō)明他們對(duì)小數(shù)部分的位值概念缺乏理解。

（五）小數(shù)的稠密性答題情況統(tǒng)計(jì)及分析

這道題的主要錯(cuò)誤是認(rèn)為7.3和7.4之間沒(méi)有小數(shù)，占了30.42%，說(shuō)明這些學(xué)生不知道數(shù)與數(shù)之間可以繼續(xù)被分割。認(rèn)為7.3和7.4之間有1個(gè)、9個(gè)、10個(gè)小數(shù)的學(xué)生分別占了7.12%、6.43%、3.44%，這些學(xué)生知道小數(shù)可以再進(jìn)行等分，但似乎沒(méi)有體會(huì)到可以經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次均分。本題選擇錯(cuò)誤的學(xué)生都沒(méi)有形成小數(shù)稠密性的概念。

表6 小數(shù)的稠密性各選項(xiàng)百分比統(tǒng)計(jì)

（六）小數(shù)的估測(cè)能力答題情況統(tǒng)計(jì)及分析

表7 小數(shù)的估測(cè)各選項(xiàng)百分比統(tǒng)計(jì)

本題有53.50%的答案是正確的，但從訪談中了解到，他們中的大多數(shù)并不能從“將整體1進(jìn)行十等分”的角度去思考比1多的部分，而是通過(guò)1.5這個(gè)中間數(shù)找到的。主要錯(cuò)誤是選擇1.9元，占了24.11%，這些學(xué)生能夠判斷大括號(hào)括著的部分比1.5大，比2小，但只局限在知道大概的區(qū)間。本題不管是從正確答案的訪談還是錯(cuò)誤答案的分析都說(shuō)明學(xué)生將整體1進(jìn)行十等分的意識(shí)非常薄弱。

三、對(duì)教學(xué)的啟示

（一）基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)組織教學(xué)

從已有經(jīng)驗(yàn)向科學(xué)概念的運(yùn)動(dòng)過(guò)程就是教學(xué)。測(cè)查結(jié)果顯示，通過(guò)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)以及平時(shí)生活經(jīng)驗(yàn)的積累，上述五個(gè)知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)有接近半數(shù)或超過(guò)半數(shù)的學(xué)生有正確經(jīng)驗(yàn)，其他學(xué)生也有自己的想法。教學(xué)時(shí)建議教師搜集學(xué)生生成的正確素材和錯(cuò)誤素材，組織學(xué)生對(duì)生成的素材進(jìn)行分析、歸類和歸因，從而實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)。

（二）教學(xué)過(guò)程中要凸顯“整體1”

（三）讓學(xué)生經(jīng)歷十等分、百等分及單位累加的過(guò)程

為了消除學(xué)生將小數(shù)點(diǎn)左右兩邊的數(shù)當(dāng)作兩個(gè)獨(dú)立整數(shù)來(lái)看待的錯(cuò)誤想法，除了凸顯“整體1”，在教學(xué)中還要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷十等分、百等分的過(guò)程，在動(dòng)手中加深印象。北師大版四下“小數(shù)的意義”教材編排非常重視純小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，然而教材只是要求學(xué)生用數(shù)表示陰影部分，并沒(méi)有設(shè)計(jì)十等分的活動(dòng)，筆者覺(jué)得這樣做學(xué)生可能只會(huì)關(guān)注涂色的那一份或幾份，卻忽視了“整體1”被等分成幾份。所以建議，教學(xué)中只提供空白的正方形，讓學(xué)生經(jīng)歷十等分、百等分的過(guò)程，積累基本經(jīng)驗(yàn)，加深印象。此外，為了讓學(xué)生理解“小數(shù)序列”這一概念，當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷十等分、百等分產(chǎn)生小數(shù)的計(jì)數(shù)單位后，可結(jié)合面積模型或者是計(jì)數(shù)器，采用單位累加的形式進(jìn)行其他小數(shù)的學(xué)習(xí)，如3個(gè)0.1就是0.3。這樣的視覺(jué)表征可讓學(xué)生輕松地掌握像0.9進(jìn)位至1.0、0.99進(jìn)位至1.00這樣的小數(shù)序列概念。

（四）利用數(shù)線的無(wú)限分割，加強(qiáng)小數(shù)稠密性概念的教學(xué)

從表6中我們發(fā)現(xiàn)，有51.66%的學(xué)生不能理解小數(shù)的稠密性概念。小數(shù)的稠密性與整數(shù)的離散性有區(qū)別，與分?jǐn)?shù)的稠密性相類似，雖然這個(gè)特性不屬于小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)范圍，但筆者覺(jué)得在教學(xué)中教師應(yīng)該采取相應(yīng)的措施讓學(xué)生有所理解。比如，學(xué)生有直尺畫(huà)線的經(jīng)驗(yàn)，且直尺又具有十等分的屬性，教師可從直尺中引入數(shù)線的學(xué)習(xí)，不僅可以激發(fā)學(xué)生的興趣，還能讓學(xué)生感受到0和1之間、1和2之間……還藏著很多數(shù)。借助直尺抽象出數(shù)線后，再借助課件分步展示將數(shù)射線十等分再十等分，讓學(xué)生不斷感受細(xì)分的過(guò)程，逐漸體會(huì)兩個(gè)小數(shù)之間還存在著無(wú)數(shù)個(gè)小數(shù)。

（五）借助多元情境，培養(yǎng)小數(shù)的估測(cè)能力

估測(cè)實(shí)際上是對(duì)小數(shù)基本概念的應(yīng)用，學(xué)生必須明確地知道“整體1”是什么，并明白各計(jì)數(shù)單位之間十等分的關(guān)系才能進(jìn)行估測(cè)。如果按照上面的四條建議實(shí)施教學(xué)，學(xué)生的估測(cè)能力定會(huì)有提高。但除上述建議，筆者覺(jué)得教師還應(yīng)創(chuàng)設(shè)多元化的情境讓學(xué)生經(jīng)歷估測(cè)的過(guò)程。如提供長(zhǎng)度的情境、面積的情境、容量的情境等，在各種不同的情境中經(jīng)歷估測(cè)，使學(xué)生進(jìn)一步感知比較隱性的“整體1”，體會(huì)小數(shù)部分所對(duì)應(yīng)的大小，會(huì)用小數(shù)表示對(duì)應(yīng)的數(shù)量。

[1]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]周慧彬.小學(xué)小數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀的調(diào)查研究[D].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育系，2014.

（浙江省江山市教師進(jìn)修學(xué)校 324100）