□ 陳云英

為理解而教 為遷移而學(xué)
——“積、商的變化規(guī)律”教學(xué)案例引發(fā)的思考

□ 陳云英

以“積的變化規(guī)律”和“商的變化規(guī)律”兩個(gè)教學(xué)案例為例，來(lái)分析教學(xué)中學(xué)生出現(xiàn)的兩種現(xiàn)象：只會(huì)做不會(huì)說(shuō)和只會(huì)說(shuō)不會(huì)做。鑒于此，教師應(yīng)該為學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解而教學(xué)，情境的設(shè)計(jì)、小組的討論、板書(shū)的設(shè)計(jì)等都應(yīng)該為此服務(wù)；作為課堂主體的學(xué)生，應(yīng)該在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)知識(shí)的遷移，將知識(shí)點(diǎn)串點(diǎn)成線(xiàn)，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

理解 遷移 數(shù)形結(jié)合

在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生學(xué)的是啞巴數(shù)學(xué)，他們不會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述一些變化規(guī)律，只知道“埋頭苦做”，知其然而不知其所以然，碰到稍微變式的題目就束手無(wú)策，無(wú)從分析；還有的學(xué)生恰好相反，他們上課發(fā)言積極，愛(ài)表現(xiàn)自己，到了獨(dú)立練習(xí)的時(shí)候卻往往頻頻出錯(cuò)，不會(huì)分析和解答了，甚至有的方法還是他自己舉手發(fā)言過(guò)的。這一類(lèi)學(xué)生往往是口頭表達(dá)能力好，在課堂上“照樣子說(shuō)話(huà)”的能力很強(qiáng)，其實(shí)并沒(méi)有真正的學(xué)懂。這些學(xué)生過(guò)了一年或兩年再回憶起所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，沒(méi)有一丁點(diǎn)印象。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)該為學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解而教學(xué)，而作為課堂主體的學(xué)生在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)知識(shí)的遷移，將知識(shí)點(diǎn)串點(diǎn)成線(xiàn)，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。下面筆者就以“積的變化規(guī)律”和“商的變化規(guī)律”兩個(gè)教學(xué)案例為例，來(lái)談一點(diǎn)思考。

【案例回顧】

“積的變化規(guī)律”案例回顧：說(shuō)得好，做得差

一個(gè)教齡3年的教師參加“一師一優(yōu)”課活動(dòng)，拍攝一節(jié)數(shù)學(xué)課，內(nèi)容是人教版四年級(jí)上冊(cè)第52頁(yè)的“積的變化規(guī)律”。教師出示教材的兩組乘法算式：（1）6×2=12，6×20=120，6×200=1200。（2）20× 4=80，10×4=40，5×4=20。讓學(xué)生通過(guò)觀察、比較、分析、說(shuō)理、交流等一系列的活動(dòng)，順利歸納總結(jié)出了積的變化規(guī)律，并還會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)這個(gè)規(guī)律，在分小組驗(yàn)證環(huán)節(jié)，學(xué)生聯(lián)系自己已有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)舉例驗(yàn)證，分享結(jié)果。課堂上學(xué)生表現(xiàn)活躍，參與積極，數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述準(zhǔn)確到位。但是筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生到了實(shí)際應(yīng)用環(huán)節(jié)卻開(kāi)始頻頻出現(xiàn)問(wèn)題。在練習(xí)“做一做”第1題時(shí)（見(jiàn)下圖），學(xué)生對(duì)于第一組和第二組計(jì)算正確率較高，第三組就出現(xiàn)有的學(xué)生雖然計(jì)算結(jié)果正確但是沒(méi)有按規(guī)律來(lái)計(jì)算結(jié)果，這或許是受數(shù)據(jù)關(guān)系的影響。

為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，教師增加了第一個(gè)因數(shù)不變，第二個(gè)因數(shù)依次擴(kuò)大到原數(shù)的2倍、3倍、4倍、5倍、6倍的規(guī)律，并將算式順序打亂，這時(shí)學(xué)生的速度明顯慢了，錯(cuò)誤率也大幅提高。

14×17=238 14×34= 14×102=

14×51= 14×85= 14×68=

又如“做一做”的第2題（如下圖），僅個(gè)別學(xué)生會(huì)用積的變化規(guī)律去解答題目。

“商的變化規(guī)律”案例回顧：說(shuō)得差，做得好

這是一節(jié)校級(jí)的教研課，上課的是一位有8年教齡的教師，所帶的班級(jí)是從一年級(jí)帶上來(lái)的，學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)，思維活躍。在課的一開(kāi)始，教師先讓學(xué)生復(fù)習(xí)回顧積的變化規(guī)律，然后根據(jù)積的變化規(guī)律猜一猜商的變化規(guī)律。接著教師引導(dǎo)：誰(shuí)說(shuō)得對(duì)？誰(shuí)說(shuō)的不對(duì)呢？我們用兩組算式來(lái)驗(yàn)證猜測(cè)。教師出示了例題的兩組算式（見(jiàn)下圖），先計(jì)算然后觀察找規(guī)律。一開(kāi)始學(xué)生一片沉默，不太會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述，后來(lái)在教師的引導(dǎo)下逐漸會(huì)說(shuō)，但是僅僅停留在舉例的兩道題之間的規(guī)律，如16÷ 8=2和160÷8=20，學(xué)生會(huì)說(shuō)：除數(shù)不變，被除數(shù)乘10商也乘10。但是用完整數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述規(guī)律，許多學(xué)生則有一定的難度，特別是第二組的規(guī)律。

而第三組是商不變的規(guī)律（見(jiàn)下圖），學(xué)生通過(guò)觀察、交流、反饋比較輕松地得出了商不變的性質(zhì)，相對(duì)于上面兩組變化規(guī)律，第三組學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)清楚準(zhǔn)確。

接著是“做一做”的練習(xí)（見(jiàn)圖1），出乎我的意料，學(xué)生的練習(xí)準(zhǔn)確率很高，原來(lái)“做一做”的題全都是應(yīng)用商不變規(guī)律來(lái)寫(xiě)商的，怪不得！課后有一個(gè)成績(jī)中等的學(xué)生對(duì)我說(shuō)：“數(shù)學(xué)好復(fù)雜啊，商的三個(gè)變化規(guī)律都把我變暈了！”“那你學(xué)會(huì)了嗎？”“會(huì)了?！笨墒钱?dāng)教師讓她來(lái)描述學(xué)到的規(guī)律時(shí)，僅僅是商不變規(guī)律描述準(zhǔn)確，其他都不完整。其中有一個(gè)學(xué)生還補(bǔ)充說(shuō)：“其實(shí)你不用暈，其他的兩個(gè)規(guī)律是沒(méi)有用的，只要會(huì)用商不變的規(guī)律就可以了，我在做題的時(shí)候沒(méi)有用過(guò)其他的規(guī)律?！薄澳蔷毩?xí)第6題（見(jiàn)圖2）根據(jù)規(guī)律寫(xiě)商，第一組的最后一題和第三組的第2題你是怎么想的？”“直接算出來(lái)就很簡(jiǎn)單啊！”他答道。事實(shí)果真如此嗎？

圖1

圖2

【我的思考】

思考一：播好“種子”，給知識(shí)生長(zhǎng)的力量

特級(jí)教師俞正強(qiáng)老師說(shuō)：如果將某一知識(shí)系統(tǒng)作為一棵樹(shù)，這棵樹(shù)的生長(zhǎng)過(guò)程表現(xiàn)為若干“課”，那么，一定有一些課需要“蒔也若子”，充分理透脈絡(luò)；一定有一些課可以“置也若棄”，讓學(xué)生充分自主?！吧P也若子”的課，通常處于起點(diǎn)或者節(jié)點(diǎn)，謂之“種子課”。“置也若棄”的課通常處于點(diǎn)與點(diǎn)之間，謂之“生長(zhǎng)課”。以此觀來(lái)，《積的變化規(guī)律》就是一節(jié)種子課，《商的變化規(guī)律》則既可以看作生長(zhǎng)課也可以看作種子課。就學(xué)習(xí)方法來(lái)說(shuō)，因?yàn)橛辛恕斗e的變化規(guī)律》的基礎(chǔ)，可以看作是生長(zhǎng)課；就知識(shí)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它是學(xué)習(xí)小數(shù)除法和整數(shù)除法簡(jiǎn)便方法的開(kāi)始，所以看作是種子課。

“積的變化規(guī)律”既然作為一顆學(xué)習(xí)方法的“種子”，我們的教學(xué)就要更加關(guān)注學(xué)生對(duì)規(guī)律的方法的得出。在課的一開(kāi)始教師出示問(wèn)題一：積在什么情況下會(huì)變化？以2×3=6為例。學(xué)生思考觀察得出：當(dāng)因數(shù)發(fā)生變化時(shí)，積就會(huì)發(fā)生變化。接著出示問(wèn)題二：積的變化和因數(shù)的變化有怎樣的關(guān)系？讓學(xué)生先說(shuō)一說(shuō)打算怎么研究這個(gè)問(wèn)題。學(xué)生紛紛提出可以舉例對(duì)比研究。這時(shí)候探討研究的方法很重要，讓學(xué)生自己去探討研究的策略，為以后的“生長(zhǎng)”播下了種子。教師適當(dāng)出示小組學(xué)習(xí)單：為了研究的方便，我們可以從一個(gè)因數(shù)不變、另一個(gè)因數(shù)變化開(kāi)始研究。通過(guò)獨(dú)立研究—小組研究—全班交流，學(xué)生對(duì)于積的變化規(guī)律已經(jīng)了如指掌了。在課的結(jié)尾可以適當(dāng)提升學(xué)習(xí)的方法：如果我們有一天把積的變化規(guī)律忘記了怎么辦？說(shuō)著擦掉板書(shū)。學(xué)生說(shuō)可以看一看上面的例子就知道了。教師把例子也擦了：例子也沒(méi)有了怎么辦？學(xué)生恍然大悟：我們可以自己舉例研究。學(xué)生的回答再一次證明了學(xué)習(xí)方法的重要，課后教師讓學(xué)生回去用同樣的方法研究一下兩個(gè)因數(shù)的變化規(guī)律，第二天學(xué)生紛紛交上了滿(mǎn)意的答案。因?yàn)橛辛诉@一課的“種子”，學(xué)習(xí)“商的變化規(guī)律”時(shí)學(xué)生自己紛紛自主舉例研究，發(fā)現(xiàn)三個(gè)規(guī)律。所以在這兩個(gè)課時(shí)之間，學(xué)習(xí)方法是可以遷移的，當(dāng)遷移成功的時(shí)候?qū)W生的學(xué)習(xí)能力就得到了提升。

思考二：數(shù)形結(jié)合，透過(guò)表象看本質(zhì)

數(shù)形結(jié)合是非常重要的一種數(shù)學(xué)思想，華羅庚教授曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合萬(wàn)般好，隔離分家萬(wàn)事非。在學(xué)生初步感悟積的變化規(guī)律后，運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算另外兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積（見(jiàn)下圖）。

將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的解決，感受由數(shù)的變化引起面積的變化，借助形的支撐，將上圖變成下圖（見(jiàn)下圖），學(xué)生再一次感受到了積的變化規(guī)律。讓學(xué)生對(duì)比其中的兩個(gè)長(zhǎng)方形，具體表述積的變化規(guī)律。接著請(qǐng)學(xué)生根據(jù)第1題的計(jì)算，自己創(chuàng)造一個(gè)蘊(yùn)含著積的變化規(guī)律的圖形，請(qǐng)同桌計(jì)算并表述其中的規(guī)律。接著請(qǐng)學(xué)生解決“做一做”第2題長(zhǎng)方形的面積時(shí)，大部分學(xué)生就選擇用560×（24÷8）這個(gè)方法來(lái)解答，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)想法的時(shí)候?qū)W生很自然地畫(huà)了示意圖來(lái)解釋。

又如在學(xué)生初步感知商的變化規(guī)律時(shí)，教師請(qǐng)學(xué)生填表計(jì)算，說(shuō)一說(shuō)發(fā)現(xiàn)了什么？

通過(guò)填表發(fā)現(xiàn)，單價(jià)是不變的。教師繼續(xù)追問(wèn)：你能用今天學(xué)的知識(shí)來(lái)解釋一下嗎？學(xué)生繼而恍然大悟：被除數(shù)（總價(jià)）和除數(shù)（數(shù)量）同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），商（單價(jià)）不變。接著教師又出示一幅統(tǒng)計(jì)圖，并請(qǐng)學(xué)生在統(tǒng)計(jì)圖上找到相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，觀察連成的線(xiàn)的特征，估一估三本的總價(jià)是多少？你能找出來(lái)嗎？12本的總價(jià)又會(huì)在哪？其實(shí)這就是六年級(jí)要學(xué)的正比例的圖形，學(xué)生已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)了。

這樣由數(shù)解釋形，由形概括數(shù)，數(shù)形結(jié)合，掌握了概念的特征，深刻地理解了概念的本質(zhì)特征，這就是直觀模型帶來(lái)的支撐作用。

思考三：重“理”輕“誦”，為遷移而學(xué)

在上面這兩個(gè)案例教學(xué)中，教師都非常重視學(xué)生對(duì)變化規(guī)律概念的背誦，但是如果不是建立在理解基礎(chǔ)上的背誦往往是無(wú)效的。在概念教學(xué)中，首先要通過(guò)一系列的學(xué)習(xí)情境讓學(xué)生理解概念，發(fā)現(xiàn)、概括、找到規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述它，最后會(huì)利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)知識(shí)不是單獨(dú)孤立存在的，每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都有它的前連后延，例如，“商的變化規(guī)律”一課中有三個(gè)變化規(guī)律，但是第一個(gè)和第二個(gè)變化規(guī)律在習(xí)題的練習(xí)中很少出現(xiàn)，只有商不變性質(zhì)應(yīng)用得比較多，難道真如學(xué)生所說(shuō)的是沒(méi)有用的嗎？不是的，這兩個(gè)變化規(guī)律的發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生完整地感受到了商的變化規(guī)律的特征，初步感受到了被除數(shù)、除數(shù)、商三者之間變與不變的本質(zhì)特征，為學(xué)生以后更全面地思考問(wèn)題養(yǎng)成了良好的習(xí)慣。

教師為“理解”而教，情境的創(chuàng)設(shè)、學(xué)習(xí)方法的選擇等都要圍繞這一目標(biāo)；學(xué)生為“遷移”而學(xué)，理清知識(shí)的前連后延，構(gòu)建大數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)。在學(xué)生的腦中不斷植入思考的種子，我們希望聽(tīng)到學(xué)生說(shuō)：數(shù)學(xué)原來(lái)這么有趣！原來(lái)這么簡(jiǎn)單！

[1]陳珠妺.讓學(xué)生自主地學(xué)習(xí)[J].課程教育研究，2015（，6）.

（浙江省天臺(tái)縣福溪街道中心小學(xué) 317200）