李雪輝 劉紫靜 謝金森 于 濤 陳珍平 謝 芹 曾文杰 何麗華

特征線幾何預(yù)處理方法比較

李雪輝 劉紫靜 謝金森 于 濤 陳珍平 謝 芹 曾文杰 何麗華

（南華大學(xué) 核科學(xué)技術(shù)學(xué)院 衡陽(yáng) 421001）

網(wǎng)格劃分、特征線間距、角度求積組、極角數(shù)目和方位角大小等幾何預(yù)處理過(guò)程對(duì)特征線法的計(jì)算精度和計(jì)算效率有較大影響?；诓教卣骶€法開(kāi)發(fā)輸運(yùn)程序，通過(guò)數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證所開(kāi)發(fā)程序的正確性并分析兩種特征線掃描方法（首尾相間循環(huán)掃描法、首尾相接循環(huán)掃描法）以及網(wǎng)格劃分、特征線間距、角度求積組、極角數(shù)目、方位角大小對(duì)計(jì)算精度的影響。結(jié)果表明，開(kāi)發(fā)的程序準(zhǔn)確可靠；首尾相間循環(huán)掃描方法的收斂速度比首尾相接循環(huán)掃描方法慢。

特征線方法，幾何預(yù)處理，循環(huán)特征線掃描

特征線法(Method Of Characteristics, MOC)理論上不受幾何形狀限制，無(wú)需做均勻化處理，能夠精確處理強(qiáng)各向異性問(wèn)題，已經(jīng)成為反應(yīng)堆物理計(jì)算的研究熱點(diǎn)[1-2]。特征線法能夠精確求解不同幾何模型的關(guān)鍵在于模型的不同平源近似區(qū)有“適當(dāng)”數(shù)量的特征線穿過(guò)。平源近似區(qū)內(nèi)沒(méi)有特征線穿過(guò)或數(shù)量太少，會(huì)降低計(jì)算精度，反之?dāng)?shù)量太多，會(huì)降低計(jì)算速度并增加內(nèi)存消耗。因此，采用適當(dāng)?shù)膸缀晤A(yù)處理方法產(chǎn)生并追蹤特征線至關(guān)重要。

目前國(guó)內(nèi)外常見(jiàn)的幾何預(yù)處理方法有兩種：實(shí)數(shù)幾何法(R-Function)[3-4]和模塊化幾何法(Modular Ray Tracing, MRT)[5-6]。實(shí)數(shù)幾何法具有很強(qiáng)的幾何適應(yīng)性，AGEIS和ANEMONA程序采用了該方法[5,7]。但該方法需要保存特征線與穿過(guò)的所有網(wǎng)格相交所得的線段長(zhǎng)度、網(wǎng)格的材料索引、網(wǎng)格的體積等信息。因此，需耗費(fèi)大量的時(shí)間以及內(nèi)存空間來(lái)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)[6]。模塊化幾何法分為柵元模塊化[8]和組件模塊化方法[9]，其特征線在重復(fù)結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生，按照一定規(guī)則（即特征線追蹤過(guò)程）將特征線連接并延伸到整個(gè)求解域，只需保存幾類(lèi)不同重復(fù)結(jié)構(gòu)的幾何信息，從而節(jié)省大量的存儲(chǔ)空間，DRAGON、PEACH、SONG、MOCHA_2D1D、Tiger-3D等程序均采用了此方法。

本文以柵元模塊化幾何法為基礎(chǔ)，開(kāi)發(fā)了特征線輸運(yùn)程序，分析比較了兩種循環(huán)特征線掃描方法以及特征線間距、網(wǎng)格大小、極角數(shù)目、角度求積組、方位角布置對(duì)計(jì)算精度的影響。

1 特征線法數(shù)值求解模型及幾何預(yù)處理方法

1.1 步特征線法理論

步特征線方法[10]基于平源近似、中子源項(xiàng)和截面恒定的假設(shè)下，對(duì)中子輸運(yùn)方程解析求解，得到中子標(biāo)通量如式(1)所示：

極角、第m方位角、第k條特征線的角平均通量變化值和入射通量；為i區(qū)g群總截面；Si為平源區(qū)面積；lk,i,m,n為i區(qū)、第n極角、第m方位角、第k條特征線的長(zhǎng)度；Qi,g為i區(qū)g群總源項(xiàng)；Dm為第m方位角的特征線間距；θn、ωn、ωm分別是極角大小、極角權(quán)重、方位角權(quán)重。

由式(1)可知，標(biāo)通量的求解是所有特征線段入射角通量與出射角通量差值的累積加權(quán)的過(guò)程。因此，在幾何預(yù)處理過(guò)程中獲取所有特征線段的幾何信息，并確定其求解順序，只需計(jì)算入射角通量與出射角通量差值并累加，無(wú)需計(jì)算線平均角通量以及保存特征線段的出射角通量和平均角通量，從而極大簡(jiǎn)化求解過(guò)程和節(jié)省內(nèi)存。

1.2 幾何預(yù)處理方法

傳統(tǒng)的確定論反應(yīng)堆分析方法及程序通常只能夠處理最常見(jiàn)的幾何類(lèi)型，例如二維X-Y、四邊形、六邊形、一維圓柱等[11]，對(duì)于復(fù)雜或任意幾何，特征線方法同傳統(tǒng)確定論方法一樣在實(shí)際使用上需提高其幾何的適用性。特征線的幾何預(yù)處理目的是在平源區(qū)內(nèi)布置合適的特征線并能準(zhǔn)確方便地處理邊界條件，從而快速精確地進(jìn)行通量求解。其大體上可以分為兩個(gè)部分：特征線的產(chǎn)生與特征線的追蹤。

特征線的產(chǎn)生與柵元網(wǎng)格劃分有關(guān)。通常柵元網(wǎng)格由同心圓、十字形、交叉形等基本圖形（圖1）組合而成。柵元內(nèi)材料越復(fù)雜，網(wǎng)格劃分越細(xì)密，形成的平源近似區(qū)越多。另外，大多數(shù)反應(yīng)堆在徑向上柵元布置結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，且存在大量相同幾何結(jié)構(gòu)柵元。如圖2所示的C5G7基準(zhǔn)題，堆芯只由6種不同柵元構(gòu)成，且?guī)缀谓Y(jié)構(gòu)高度對(duì)稱(chēng)。因此，可以充分考慮以上因素合理布置柵元內(nèi)的特征線，例如模塊化幾何方法。

圖1 柵元網(wǎng)格劃分基本圖形Fig.1 Basic graphics of cell meshing.

特征線的追蹤常使用長(zhǎng)特征線法和循環(huán)特征線法。早期，對(duì)于較大規(guī)模的輸運(yùn)問(wèn)題，通常采用長(zhǎng)特征線法，例如CASMO-4程序就使用了該方法[12-13]。如圖3(a)所示，特征線與途中所有網(wǎng)格相交所得的幾何信息（如特征線段長(zhǎng)度、截面等）都需要保存。通常為了滿足精度上的要求，網(wǎng)格劃分必須足夠小，特征線的布置也必須足夠致密，這都會(huì)影響計(jì)算效率和內(nèi)存消耗。因此目前大多使用循環(huán)特征線法，例如LATC程序開(kāi)發(fā)的DNPL (Direct neutron path linking)循環(huán)特征線技術(shù)[14]，該方法利用模塊化特征線布置具有關(guān)聯(lián)性的特點(diǎn)，即在任意相鄰幾何邊界上，特征線首尾連接[10]，通過(guò)合理的特征線方位角布置（圖3(b)，邊界處每個(gè)點(diǎn)射出的兩條特征線的角度互為補(bǔ)角），進(jìn)行循環(huán)掃描，不僅降低了柵元邊界處信息存儲(chǔ)所需的內(nèi)存消耗而且便于邊界條件的處理。針對(duì)循環(huán)特征線的特點(diǎn)且結(jié)合邊界條件，在§2介紹了兩種循環(huán)特征線追蹤掃描方法：首尾相間循環(huán)特征線法和首尾相接循環(huán)特征線法。

圖2 C5G7基準(zhǔn)題1/4堆芯幾何布置圖Fig.2 Layout of a quarter of 2D C5G7 benchmark.

圖3 長(zhǎng)特征線(a)和循環(huán)特征線(b)追蹤掃描示意圖Fig.3 Scanning map of long (a) and cycle (b) characteristics.

另外，角度求積組也是特征線預(yù)處理中重要的內(nèi)容，它包括極角與方位角求積組的選取。其中，方位角選取及權(quán)重采用文獻(xiàn)[10]中提供的方法。在極角求積組方面，特征線方法常采用兩種求積組：Gauss-Legendre (GL)和Leonard’s optimum (LO)，但LO求積組專(zhuān)用于特征線法，廣泛用于眾多MOC程序中[15-16]。雖然LO求積組在反射邊界條件下計(jì)算柵元或者組件問(wèn)題時(shí)有較高計(jì)算精度，但是文獻(xiàn)[17]指出LO求積組在計(jì)算某些問(wèn)題時(shí)計(jì)算精度會(huì)降低，并給出了Tabuchi and Yamamoto’s optimum (TY)求積組，因此本文將在數(shù)值驗(yàn)證部分比較LO和TY求積組對(duì)計(jì)算精度的敏感性，LO和TY求積組如表1所示。

表1 LO和TY求積組Table1 LO and TY angle quadrature set.

2 循環(huán)特征線掃描法

2.1 首尾相間循環(huán)特征線法

特征線掃描順序如圖4所示，從x1,1點(diǎn)開(kāi)始（該點(diǎn)可任意選取，建議選取邊界上的點(diǎn)），沿特征線掃描到x1,2點(diǎn)，碰到幾何邊界，即完成第一條特征線的追蹤；第二條特征線的起點(diǎn)為圖4中的x1,3，即前一條特征線的終點(diǎn)與后一條特征線的起點(diǎn)處于兩個(gè)對(duì)應(yīng)的邊界上（即左邊界對(duì)應(yīng)右邊界（此時(shí)兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)之差為幾何的長(zhǎng)度）；上邊界對(duì)應(yīng)下邊界（此時(shí)兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)之差為幾何的寬度））。然后追蹤到x1,4點(diǎn)，碰到幾何邊界，即完成第二條特征線的追蹤。依次類(lèi)推，直至第i條特征線的起點(diǎn)與該組特征線的第一條特征線的起點(diǎn)為同一點(diǎn)時(shí)即為完成一組特征線掃描。然后更換起點(diǎn)，循環(huán)追蹤掃描第二組特征線，如圖4中的x2,1追蹤到x2,6。按以上規(guī)律進(jìn)行追蹤掃描，直至所有特征線掃描完成。

圖4 首尾相間循環(huán)法掃描示意圖Fig.4 Layout of the aft disconnect loop scanning method.

需要指出的是：以上特征線掃描過(guò)程只完成了第一象限內(nèi)方位角α（圖5(a)）的掃描，由于幾何結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，它的補(bǔ)角β=π-α（圖5(b)），第三象限空間的方位角π+α（圖5(c)），它的補(bǔ)角π+β（圖5(d)）的掃描跟方位角α相同，因此只需要重復(fù)以上操作就可以完成一個(gè)方位角下2π空間的掃描。

圖5 首尾斷開(kāi)循環(huán)法方位角掃描順序Fig.5 Azimuth sequence of the aft disconnect loop scanning method.

2.2 首尾相接循環(huán)特征線法

如圖6所示，首尾相接特征線方法與首尾相間循環(huán)特征線法不同的地方在于相鄰兩條特征線的連接方式不同：首尾相接特征線方法在第一條特征線追蹤到邊界時(shí)，第二條特征線的起點(diǎn)為第一條特征線的終點(diǎn)，且方位角為第一條特征線方位角的補(bǔ)角（即如圖6中的x1,2點(diǎn)到x1,3點(diǎn)），依次類(lèi)推，直至回到起點(diǎn)。為實(shí)現(xiàn)2π空間的循環(huán)，只需要進(jìn)行兩次循環(huán)，即第一次正方向循環(huán)，如圖7(a)所示，再進(jìn)行反方向循環(huán)，如圖7(b)所示。

圖6 首尾相接循環(huán)法掃描示意圖Fig.6 Layout of the head-tail circulation scanning method.

圖7 首尾相接循環(huán)法方位角掃描示意圖Fig.7 Azimuth sequence of the head-tail circulation scanning method.

2.3 兩種掃描方法的比較

2.3.1 一維7群例題

本文采用文獻(xiàn)[10]中描述的一維7群例題，幾何模型如圖8所示。其幾何尺寸、燃料布置以及截面均與文獻(xiàn)相同，其左側(cè)為真空邊界，右側(cè)為全反射邊界。該例題的參考解由文獻(xiàn)[10]給出，采用Leonard求積組、極角數(shù)目設(shè)置為2、以及4個(gè)方位角（分別為7.8°、29.4°、51.8°、87.6°），柵元特征線總條數(shù)為25條。其計(jì)算結(jié)果：參考解(keff)為1.02156、首尾相接循環(huán)掃描法（keff/誤差）為1.018858/0.00264、首尾相間循環(huán)掃描法（keff/誤差）為1.023735/0.00212?？梢?jiàn)，本文所開(kāi)發(fā)的程序計(jì)算結(jié)果與參考解吻合較好，驗(yàn)證了本文開(kāi)發(fā)的程序的正確性。

圖8 一維7群例題幾何模型Fig.8 Layout of 1D 7G problem.

2.3.2 二維C5G7-MOX基準(zhǔn)題

二維C5G7基準(zhǔn)題是一個(gè)由兩個(gè)UO2燃料組件和兩個(gè)密度不同的MOX (Mixed oxide fuel)燃料組件構(gòu)成的7群基準(zhǔn)題，其堆芯幾何結(jié)構(gòu)如圖2所示。該例題具有強(qiáng)泄露、非均勻性強(qiáng)等特點(diǎn)，目前被美、日、韓等國(guó)研究機(jī)構(gòu)廣泛用于新一代堆芯物理分析方法的檢驗(yàn)[9]。該基準(zhǔn)題的截面、幾何尺寸、邊界條件均由文獻(xiàn)[18]給出?；诙SC5G7模型，將邊界條件均改為全反射邊界（目的在于簡(jiǎn)化邊界處入射通量的更新，降低計(jì)算時(shí)間），比較了首尾相間循環(huán)掃描方法和首尾相接循環(huán)掃描方法下的無(wú)限增殖系數(shù)kinf，其結(jié)果如表2所示。表2的參考解由DRAGON程序計(jì)算給出，其參考值為：kinf=1.267403。

從表2可以看出，首尾相間循環(huán)掃描方法相比于首尾相接循環(huán)掃描方法，它收斂速度很慢，且計(jì)算精度稍低（首尾相間循環(huán)方法在邊界條件處理上存在部分偏差，特征線段的出射通量和入射通量存在不統(tǒng)一的現(xiàn)象）。

表2 首尾相間循環(huán)掃描法與首尾相接循環(huán)掃描法的無(wú)限增殖系數(shù)kinf的比較（收斂準(zhǔn)則為10-6）Table2 Comparison of kinf for 2D C5G7 benchmark between fore and aft disconnect loop scanning method and the head-tail circulation scanning method (convergence criterion of keff is 10-6).

3 數(shù)值驗(yàn)證

本部分內(nèi)容將開(kāi)展網(wǎng)格大小、特征線間距、角度求積組、極角數(shù)目、方位角大小等因素對(duì)計(jì)算精度的影響。圖9(a)是基于不同網(wǎng)格大小計(jì)算一維7群例題的計(jì)算結(jié)果；同時(shí)設(shè)置不同方位角數(shù)目、方位角大小，分別使用LO和TY極角求積組以及不同方位角大?。ㄔO(shè)置三組不同方位角大小的組合形式：case 1: 29.4°、51.8°、64.89°、87.6°；case 2: 10.8°、25.2°、64.8°、79.2°；case 3: 5.0°、7.8°、29.4°、64.8°）計(jì)算二維C5G7基準(zhǔn)題，其結(jié)果分別如表3、圖9(b)、表4所示。

圖9 不同網(wǎng)格大小(a)和不同特征線間距大小(b) keff誤差分析Fig.9 Comparison of keff among different mesh sizes (a) and characteristic lines distances (b).

表3 不同方位角數(shù)目keff誤差分析Table3 Comparison of keff under different azimuth number.

表4 不同極角求積組、不同方位角大小、不同極角大小下的keff值（收斂準(zhǔn)則為10-6）Table4 Comparison of keff for 2D C5G7 benchmark among different angle quadrature sets and different azimuth cases (convergence criterion of keff is 10-6).

由以上計(jì)算結(jié)果可以得出以下結(jié)論：

1) 隨著網(wǎng)格劃分的越小，計(jì)算精度逐漸提高，且當(dāng)網(wǎng)格在小于或等于2.5 cm時(shí)，計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差低于5‰；

2) 計(jì)算精度隨特征線間距的增加呈現(xiàn)先增加后降低的趨勢(shì)，且在0.1 cm處計(jì)算精度最好（特征線數(shù)量太多，不僅會(huì)降低計(jì)算速度并增加內(nèi)存消耗，同時(shí)平源區(qū)劃分容易重疊從而降低計(jì)算精度。因此，要合適設(shè)置特征線數(shù)目）；

3) 方位角數(shù)目增加能提高計(jì)算精度，4個(gè)方位角時(shí)計(jì)算精度最高（因?yàn)橛?jì)算精度已經(jīng)較高，計(jì)算結(jié)果的截取誤差導(dǎo)致8和12個(gè)方位角數(shù)目下的計(jì)算精度略低于4個(gè)方位角，因此，4個(gè)方位角數(shù)目能滿足計(jì)算精度的需求）；

4) 增加極角數(shù)目能夠提高計(jì)算精度，兩個(gè)極角的計(jì)算精度已經(jīng)較高；方位角應(yīng)在45°處對(duì)稱(chēng)布置；從整體情況來(lái)看，采用TY極角求積組加權(quán)比LO極角求積組加權(quán)計(jì)算精度稍高。

4 結(jié)語(yǔ)

本文介紹了特征線法幾何預(yù)處理的主要內(nèi)容，基于特征線步特征線法，開(kāi)發(fā)了特征線中子輸運(yùn)程序。通過(guò)計(jì)算一維7群例題和二維C5G7基準(zhǔn)題驗(yàn)證了所開(kāi)發(fā)的源程序的正確性，并分析比較了首尾相間循環(huán)特征線掃描法和首尾相接循環(huán)特征線掃描法。數(shù)值結(jié)果表明前者的收斂速度很慢。此外，分析了網(wǎng)格大小、特征線間距、角度求積組、極角數(shù)目、方位角布置對(duì)計(jì)算精度的影響。結(jié)果表明，要合理布置特征線數(shù)目、網(wǎng)格大小以及方位角和極角，兼顧計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)間。

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Geometry preprocessing methods research of MOC

LI Xuehui LIU Zijing XIE Jinsen YU Tao CHEN Zhenping XIE Qin ZENG Wenjie HE Lihua
(School of Nuclear Science and Technology, University of South China, Hengyang 421001, China)

Background: Geometry preprocessing, such as mesh division, between the characteristic line, polar angle quadrature set, the number of polar and azimuth angles and so on, has a great impact on computational accuracy and efficiency of the method of characteristics (MOC). Purpose: This paper based on step characteristics method (SC) has developed a neutron transport calculation code. Methods: Through numerical calculations, it has been verified the correctness of the program and has analyzed and compared two characteristic line scan method (fore and aft disconnect loop scanning method, the head-tail circulation scanning method). In addition, based on head-tail circulation scanning method, conducted a series of sensitivity analysis of the calculation accuracy about mesh division, between the characteristic line, polar angle quadrature set, the number of polar and azimuth angles. Results: Program is accurate and reliable and the head-tail circulation scanning method has faster convergence rate than fore and aft disconnect loop scanning method. Conclusion: Mesh division less than 2.5 cm can meet the calculation accuracy requirements and characteristic line spacing 0.1 cm and four azimuth has the highest calculation precision. More number of polar angle has higher calculation accuracy, two discrete polar angle has enough meet the accuracy requirements; the four arranged azimuth in the first quadrant should be laied out with two angles at both sides of 45° angle; Tabuchi and Yamamodo (TY) quadrature weighted have slightly higher calculation accuracy than Leonard (LO) quadrature set.

MOC, Geometry preprocessing, Circulation characteristic line scan

YU Tao, E-mail: yutao29@sina.com

TL329

10.11889/j.0253-3219.2017.hjs.40.040603

No.11305088)、湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(No.16C1365)資助

李雪輝，男，1990年出生，2014年畢業(yè)于南華大學(xué)，現(xiàn)為碩士研究生，研究方向?yàn)榉磻?yīng)堆物理

于濤，E-mail: yutao29@sina.com

2016-11-30，

2017-01-24

Supported by National Natural Science Foundation of China (No.11305088), Research Foundation of Education Bureau of Hunan Province (No.16C1365) First author: LI Xuehui, male, born in1990, graduated from University of South China in 2014, master student, focusing on reactor physics

Received date: 2016-11-30, accepted date: 2017-01-24