【摘要】拓?fù)鋵W(xué)的概念、理論高度抽象，將“由因推果”的教學(xué)理念融入教學(xué)，由空間的本質(zhì)出發(fā)借助度量空間引出拓?fù)淇臻g。同時(shí)，通過在教學(xué)中滲透“推果求因”的理念，拓?fù)鋵W(xué)的定理、結(jié)論又可以反過來說明其他學(xué)科中的一些問題。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)理念；拓?fù)鋵W(xué)；由因推果；推果求因

一、概念

教學(xué)理念是對(duì)認(rèn)識(shí)的集中體現(xiàn)，同時(shí)也是人們對(duì)教學(xué)活動(dòng)的看法和持有的基本的態(tài)度和觀念，是人們從事教學(xué)活動(dòng)的信念。它是從先進(jìn)的教學(xué)理論中演繹出來的有關(guān)教學(xué)活動(dòng)的理性認(rèn)識(shí)，是“教學(xué)應(yīng)該怎樣以及何以需要如此”的理想化認(rèn)識(shí)，反映著人們對(duì)教學(xué)實(shí)踐的價(jià)值期待和理想追求。教學(xué)理念負(fù)有引領(lǐng)教師追求教學(xué)理想的使命，這就決定了它必然具有前瞻性的特點(diǎn)。教學(xué)理念的形成過程和影響教學(xué)實(shí)踐的內(nèi)隱機(jī)制表明，它具有鮮明的個(gè)體性特點(diǎn)。在一定時(shí)期內(nèi)或特定情境中，教學(xué)理念是相對(duì)穩(wěn)定的，隨著社會(huì)需求的變化和教學(xué)改革的深入，教學(xué)理念又表現(xiàn)出動(dòng)態(tài)發(fā)展的一面。其核心思想就是教學(xué)的效益。

“由果推因”及“推果求因”的教學(xué)理念的實(shí)質(zhì)是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題和解決問題的思維方法，對(duì)知識(shí)要“知其然”還要“知其所以然”。原因在先，結(jié)果在后（簡稱先因后果）是因果聯(lián)系的特點(diǎn)之一，可原因和結(jié)果必須同時(shí)具有必然的聯(lián)系，即二者的關(guān)系屬于引起和被引起的關(guān)系，“在此之后”不等于“由此之故”。依據(jù)謎面所述的事實(shí)，作為一種結(jié)果提出來，由謎底分析它的緣何關(guān)系，或說明它的原因，此種謎法叫“推果求因”。

二、兩種教學(xué)理念在拓?fù)浣虒W(xué)中的體現(xiàn)

拓?fù)鋵W(xué)是一門抽象數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。起點(diǎn)高、難度大，無論是概念或論證均較抽象。拓?fù)鋵W(xué)研究拓?fù)淇臻g在同胚映射下不變的性質(zhì)，即拓?fù)湫再|(zhì)。所謂一個(gè)空間就是在一個(gè)集合中給定某種結(jié)構(gòu)，拓?fù)淇臻g是具有這樣的結(jié)構(gòu)的集合，使得能在其中定義映射的連續(xù)性，也就是要指明集合中什么樣的子集是“開集”。

且三種度量是等價(jià)的。那么對(duì)于同樣構(gòu)成形式的拓?fù)淇臻g而言，自然一個(gè)集合上可以賦予不同的拓?fù)洌纬刹煌耐負(fù)淇臻g，從而引出平庸空間、離散空間的定義，再進(jìn)一步借問題“有沒有介于最小和最大拓?fù)渲g的中間拓?fù)洹币鲇邢扪a(bǔ)、可數(shù)補(bǔ)空間等；仿照度量空間的相關(guān)知識(shí)體系定義拓?fù)淇臻g中點(diǎn)的鄰域、鄰域系；集合的聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、內(nèi)部、外部、閉包；基、子基；拓?fù)淇臻g序列等概念。拓?fù)淇臻g的相關(guān)概念和結(jié)論之所以能夠?qū)φ斩攘靠臻g闡述也是基于兩種空間之間的范疇關(guān)系，因?yàn)槎弑举|(zhì)都是空間，這便是“由因推果”的教學(xué)理念。

同時(shí)，也正是由于拓?fù)淇臻g的架構(gòu)體系中“開集”是不依附于度量，所以導(dǎo)致拓?fù)淇臻g中序列的收斂性質(zhì)與在數(shù)學(xué)分析中熟悉的有很大的差別。比如，由于平庸空間中任何一點(diǎn)有且只有一個(gè)鄰域即整個(gè)集合自身，所以平庸空間中任何一個(gè)序列都收斂，并且收斂于這個(gè)空間中的任何一點(diǎn)。自然，極限的唯一性當(dāng)然無法保證了。

另外，設(shè)R是實(shí)數(shù)集，若R作為實(shí)數(shù)空間，則R上每一個(gè)開區(qū)間（a，b）（這里a

度量空間是拓?fù)淇臻g中最為重要的一類。根據(jù)可度量化空間的定義，我們知道只含有限個(gè)點(diǎn)的度量空間都是離散的度量空間，離散度量空間的每一個(gè)子集都是開集，所以每一個(gè)只含有限個(gè)點(diǎn)的度量空間作為拓?fù)淇臻g都是離散空間。然而一個(gè)平庸空間如果含有多于一個(gè)點(diǎn)的話，它肯定不是離散空間，因此含有多于一個(gè)點(diǎn)的有限的平庸空間不是可度量化的。由此可見，拓?fù)淇臻g比度量空間的范圍要廣泛。在拓?fù)淇臻g中有連通性的概念，我們已經(jīng)證明了：（1）設(shè)E是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)子集，E是一個(gè)連通子集當(dāng)且僅當(dāng)E是一個(gè)區(qū)間。（2）設(shè) 是一個(gè)連通空間， f：X→R是一個(gè)連續(xù)映射，則f（X）是R中的一個(gè)區(qū)間。所以據(jù)此可以立即推出數(shù)學(xué)分析中的介值定理和不動(dòng)點(diǎn)定理，找到其之所以成立的根本原因。這其中體現(xiàn)了“推果求因”的思想。當(dāng)然，也印證了“由因推果”與“由果推因”兩種教學(xué)理念在教學(xué)中是相互融合的，不可分割的。

三、小結(jié)

數(shù)學(xué)教學(xué)是一種以數(shù)學(xué)為特點(diǎn)的思維活動(dòng)的教學(xué)，也就是說不僅要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)科學(xué)的結(jié)論，而且要求學(xué)生參與獲得知識(shí)的過程。讓學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中同時(shí)學(xué)到了科學(xué)的思維方法，掌握研究數(shù)學(xué)的思想方法。這種把知識(shí)與思維結(jié)合起來的教學(xué)稱為思維教學(xué)。從教育的角度來看，數(shù)學(xué)的思想方法比數(shù)學(xué)知識(shí)更重要。因此在教學(xué)中要立足于培養(yǎng)學(xué)生能力，開發(fā)學(xué)生的智力，把研究數(shù)學(xué)的正確思維和方法作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，使數(shù)學(xué)課真正成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過程的教學(xué)。

基金項(xiàng)目：2015年度河北省教育科學(xué)研究“十二五”規(guī)劃課題“應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)下拓?fù)鋵W(xué)教學(xué)改革探究”，項(xiàng)目編號(hào)：1506026

【參考文獻(xiàn)】

[1] 段作章. 教學(xué)理念的內(nèi)涵及特點(diǎn)探析[J]. 教育導(dǎo)刊， 2011，11（10）：15-18.

[2] 熊金城. 點(diǎn)集拓?fù)渲v義[M]. 北京： 高等教育出版社， 2011：58.

【作者簡介】

王沖（1981—），女，河北保定人，碩士研究生學(xué)歷，滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，主要研究方向：代數(shù)拓?fù)渑c微分拓?fù)洹?