羅 鈞， 劉 綱,2， 黃宗明,2

(1.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 重慶，400045) (2.重慶大學(xué)山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室 重慶，400045)

?

基于子結(jié)構(gòu)模型剪切型框架結(jié)構(gòu)損傷識別*

羅 鈞1， 劉 綱1,2， 黃宗明1,2

(1.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 重慶，400045) (2.重慶大學(xué)山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室 重慶，400045)

提出了適用于剪切型框架結(jié)構(gòu)的損傷定位和損傷定量識別方法。首先,用剪切型框架結(jié)構(gòu)的運動方程和中心差分法確定子結(jié)構(gòu)的劃分方式；然后，根據(jù)子結(jié)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系和已知輸入自回歸移動平均(autoregressive moving-average with exogenous inputs,簡稱ARMAX)模型的對應(yīng)關(guān)系，提出了利用子結(jié)構(gòu)輸入輸出數(shù)據(jù)建立ARMAX模型的定階方法；最后，利用子結(jié)構(gòu)ARMAX模型系數(shù)向量的馬氏距離來構(gòu)造損傷識別指標(biāo)，并選用受試者工作特征曲線下面積和Bhattacharyya距離進行損傷部位和損傷程度的識別。模擬算例和試驗表明，提出方法能準(zhǔn)確識別剪切型框架結(jié)構(gòu)的損傷部位和損傷程度的相對大小，且具有較好的抗噪性能。

損傷識別； 子結(jié)構(gòu)； ARMAX模型； 剪切型框架； 統(tǒng)計識別

引 言

建筑結(jié)構(gòu)在風(fēng)和地震等外力作用下可能發(fā)生損傷，結(jié)構(gòu)的可靠性隨之降低[1]，因此，及時準(zhǔn)確地識別結(jié)構(gòu)的安全狀態(tài)是防止結(jié)構(gòu)倒塌等重大事故的有效途徑。20世紀(jì)90年代以來，結(jié)合現(xiàn)代傳感器、遠程數(shù)據(jù)傳輸和損傷識別的健康監(jiān)測技術(shù)逐步發(fā)展，并成為當(dāng)前土木工程領(lǐng)域的一個重要研究方向。目前此類研究方法大致可分為基于模態(tài)驅(qū)動的方法和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法，前者具有較明確的物理意義，在數(shù)值模擬和實驗室結(jié)構(gòu)中得到了初步應(yīng)用[2-5]，其主要的問題在于環(huán)境激勵下?lián)p傷指標(biāo)的不確定性較大，且有時需要獲得準(zhǔn)確的基準(zhǔn)有限元模型，這對大型結(jié)構(gòu)較難實現(xiàn)?；跀?shù)據(jù)驅(qū)動的損傷識別方法直接利用結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)提取損傷指標(biāo)，且可引入統(tǒng)計模式識別技術(shù)降低指標(biāo)不確定性的影響。

損傷識別主要致力于解決4個層次的問題，即判定結(jié)構(gòu)有無損傷、損傷部位、損傷程度和剩余壽命[6]。目前基于時間序列模型數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法可以實現(xiàn)前2個層次的問題。如文獻[7]利用向量自回歸(vector autoregressive，簡稱VAR)模型系數(shù)的對角線元素向量的馬氏距離作為損傷指標(biāo)，結(jié)合Fisher準(zhǔn)則在統(tǒng)計意義下識別結(jié)構(gòu)的損傷位置，并利用兩跨連續(xù)梁驗證算法的有效性。文獻[8]利用健康狀態(tài)數(shù)據(jù)建立基準(zhǔn)已知輸入自回歸(autoregressive model with exogenous input，簡稱ARX)模型，然后利用損傷狀態(tài)數(shù)據(jù)輸入基準(zhǔn)ARX模型計算所得殘差的標(biāo)準(zhǔn)差作為損傷指標(biāo)，并利用2自由度剪切型結(jié)構(gòu)驗證了算法的有效性。文獻[9]將不同部位的傳感器分為不同的傳感器組，再分別建立ARX模型，但該方法中傳感器分組是人為確定的，不好的分組可能無法識別損傷，且通過試算確定ARX模型的階次不具有普遍意義，在傳感器分組較多的情況下耗時耗力。

基于此，筆者提出基于子結(jié)構(gòu)模型的損傷識別方法以解決剪切型框架結(jié)構(gòu)損傷識別前3個層次的問題，即結(jié)構(gòu)有無損傷、損傷部位及損傷程度。首先，根據(jù)剪切型結(jié)構(gòu)的整體動力響應(yīng)分析和中心差分法，推導(dǎo)出剪切型結(jié)構(gòu)各自由度的加速度響應(yīng)之間的關(guān)系，并將兩個或三個相鄰自由度視為一個子結(jié)構(gòu)，建立起某自由度加速度值和相鄰自由度加速度值之間的輸入輸出關(guān)系，據(jù)此提出一種子結(jié)構(gòu)劃分方法；其次，根據(jù)子結(jié)構(gòu)輸入輸出關(guān)系與已知輸入自回歸移動平均(autoregressive moving-average with exogenous inputs,簡稱ARMAX)模型的對應(yīng)關(guān)系，確定了利用子結(jié)構(gòu)輸入輸出數(shù)據(jù)進行ARMAX建模時的定階方法；再次,根據(jù)ARMAX模型系數(shù)與子結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，提出將模型系數(shù)向量的馬氏距離作為損傷識別指標(biāo)，利用統(tǒng)計模式識別的受試者工作特征曲線下的面積和Bhattacharyya距離實現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷程度和部位的判別；最后，利用一個6自由度數(shù)值模型和實驗室3層框架試驗驗證算法的有效性。

1 剪切型框架結(jié)構(gòu)體系的動力響應(yīng)

剪切型框架結(jié)構(gòu)可離散化為具有n個自由度懸臂體系，如圖1所示。該體系的運動微分方程為

(1)

其中：M,C,K分別為n×n階質(zhì)量矩陣、n×n階阻尼矩陣和n×n階剛度矩陣；x(t)為n維輸出位移向量；f(t)為n維輸入向量。

圖1 剪切型結(jié)構(gòu)模型及子結(jié)構(gòu)選取Fig. 1 Shear structure model and substructure selection

M,C，K和x(t)、f(t)的具體形式如式(2)所示，fi(t)為第i節(jié)點處外荷載時程向量。

(2a)

(2b)

(2c)

(2d)

(2e)

其中：kii=ki+ki+1,ki,i+1=-ki+1,ki,i-1=-ki,knn=kn；cii=ci+ci+1,ci,i+1=-ci+1, 其中下標(biāo)i=1,…,n-1；cnn=cn,ci,i-1=-ci(i=2,…,n-1)。

通常實際測試得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)都是離散的，因此將式(1)進行時間離散化，設(shè)采樣時間間隔為Δt，并令tk=kΔt，則有

(3)

(4)

將式(4)代入式(3)，并整理可得

(5)

其中：

按式(5)寫出{x(k-1)}和{x(k)}的表達式

(6a)

(6b)

由式(5)、式(6)可知，{x(k-1)}-2{x(k)}+ {x(k+1)}的表達式如下

(7)

將式(7)代入式(4)，可簡化為

(8)

將式(8)展開為方程式的表達，有如下情形。

1) 當(dāng)自由度i=1時

2) 當(dāng)自由度i=2∶n-1時

3) 當(dāng)自由度i=n時

(9)

從式(9)可以看出，第i自由度的加速度響應(yīng)與第i-1,i+1自由度的加速度響應(yīng)存在確定性聯(lián)系。如在實際工程中測試得到結(jié)構(gòu)各自由度的加速度響應(yīng)，由式(9)可知，相鄰的兩個或者3個自由度的加速度響應(yīng)之間均可建立一個與其余自由度無關(guān)的獨立關(guān)系式。若將第i自由度的加速度響應(yīng)作為輸出，第i-1，i+1自由度的加速度響應(yīng)和外荷載作為輸入，則這3個自由度可作為一個獨立的子結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型。若將剪切型結(jié)構(gòu)按圖1所示劃分為多個子結(jié)構(gòu)，則式(9)建立的相鄰兩個或者3個自由度間的獨立關(guān)系式就反映了對應(yīng)子結(jié)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系。

2 子結(jié)構(gòu)ARMAX模型建模及定階

從上節(jié)的推導(dǎo)可知，剪切型框架結(jié)構(gòu)可按一定原則劃分為子結(jié)構(gòu)。在子結(jié)構(gòu)中，相鄰自由度的響應(yīng)作為輸入，其自身的響應(yīng)作為輸出，而單輸出多輸入的ARMAX時間序列模型的理論公式[10]為

(10)

若取na=2,nb=2,nc=2，則式(10)可改寫為

(11)

對比式(11)和式(9)，當(dāng)結(jié)構(gòu)節(jié)點激勵為白噪聲時， ARMAX模型輸出、模型輸入與子結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)的關(guān)系為

(12)

ARMAX模型系數(shù)ai,Bi與子結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系為

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

其中:?表示兩者存在著對應(yīng)關(guān)系。

從式(11)～(13)可知，外荷載為白噪聲激勵且ARMAX模型階次na,nb和nc均取2時，第i個子結(jié)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系與建立的ARMAX模型存在著對應(yīng)關(guān)系，因此在對子結(jié)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系進行ARMAX建模時，建議將模型階次na,nb和nc均取為2，避免了對階次進行試算。

3 損傷特征指標(biāo)及識別流程

當(dāng)框架結(jié)構(gòu)某部位發(fā)生諸如混凝土開裂、鋼筋銹蝕、螺栓松動等損傷時，該部位的剛度將降低，在總體剛度矩陣中與損傷部位相對應(yīng)的剛度系數(shù)值會降低，與未損傷部位相對應(yīng)的剛度系數(shù)值則會保持不變。對圖1所示的n個自由度的剪切型結(jié)構(gòu)而言，若第i單元發(fā)生損傷，則總體剛度矩陣中的剛度系數(shù)ki-1,i-1,ki,i，總體阻尼矩陣中的阻尼系數(shù)ci-1,i-1,ci,i均會發(fā)生改變。從式(13)看出，將剪切型結(jié)構(gòu)第i自由度的加速度響應(yīng)作為輸出，第i-1自由度和第i+1自由度的加速度響應(yīng)作為輸入建立的子結(jié)構(gòu)ARMAX模型的系數(shù)a1和a2可以反映第i，i+1單元的剛度和阻尼的改變。故可利用ARMAX模型系數(shù)的變化來識別第i，i+1單元的損傷，將該系數(shù)向量fs作為損傷特征量

(14)

考慮到測試存在的噪聲和輸入力為白噪聲假定等誤差的影響，需引入統(tǒng)計損傷識別，識別步驟如下：

1) 對基準(zhǔn)狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)進行多次測量，計算子結(jié)構(gòu)系數(shù)向量的平均值和協(xié)方差；

2) 對健康狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)進行多次測量，計算子結(jié)構(gòu)每次測量的系數(shù)向量馬氏距離，作為損傷特征指標(biāo)

(15)

3) 對未知狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)進行多次測量，計算子結(jié)構(gòu)每次測量的系數(shù)向量馬氏距離；

4) 選取受試者工作特征曲線(receiver operating characteristic curve，簡稱ROC)進行損傷部位的判定[11]，現(xiàn)采用ROC曲線下的面積值(AU)作為統(tǒng)計量來評價檢測的性能，認(rèn)為AU≥0.8時，結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)和未知狀態(tài)的系數(shù)向量馬氏距離的分布能較好的區(qū)分開來，即對應(yīng)的結(jié)構(gòu)部位發(fā)生損傷；

5) 最后利用損傷子結(jié)構(gòu)的MD分布的Bhattacharyya距離(BD)來判斷損傷程度，對于單變量指標(biāo)，該距離的定義[12]為

(16)

其中:κ和σ分別為MD分布的平均值和方差；下標(biāo)d和h分別為損傷狀態(tài)和基準(zhǔn)狀態(tài)。

從式(16)的定義可知，前一項主要考慮了均值變化的影響，而后一項主要是為了計入方差變化的影響。

4 數(shù)值模擬算例

4.1 模型算例及損傷工況

以6自由度集中質(zhì)點模型驗證所提算法的性能，如圖2(a)所示。其中，mi=1，ki=1 500(i=1,2,…,6)。采用瑞雷阻尼假定，即C=αM+βK，取模型第1階和第3階阻尼比為0.02，得α=0.308 09，β=7.5×10-4。

在質(zhì)點6處輸入隨機激勵，取質(zhì)點1～6處的加速度響應(yīng)為輸出信號。擬定的損傷工況如表1所示。

表1 6自由度損傷工況

6自由度體系的最高頻率為11.97 Hz，故設(shè)定加速度響應(yīng)信號的采樣頻率為100 Hz，并設(shè)定每1 000個數(shù)據(jù)點為1個數(shù)據(jù)段?；鶞?zhǔn)狀態(tài)、參考狀態(tài)和未知狀態(tài)下分別取500個數(shù)據(jù)段進行計算，得到500個MD值。

圖2 6自由度計算模型Fig．2 Six degree of freedom system

4.2 損傷識別結(jié)果

按圖1方式將該6自由度模型劃分為6個子結(jié)構(gòu)，如圖2(b)～(g)所示。利用每一個子結(jié)構(gòu)的輸入輸出信號進行ARMAX建模?；诘?節(jié)推導(dǎo)的ARMAX模型與子結(jié)構(gòu)的對應(yīng)關(guān)系，ARMAX模型的階次取值為na=2,nb=2,nc=2，nk=1。

根據(jù)第3節(jié)的損傷識別流程，計算在損傷工況2下部分子結(jié)構(gòu)的MD分布曲線如圖3所示。從該圖可知，僅包含損傷部位的子結(jié)構(gòu)的MD分布才發(fā)生變化，而其余子結(jié)構(gòu)MD分布的變化較小，采用ROC曲線對MD分布是否發(fā)生顯著變化進行檢驗，并計算ROC曲線下的面積AU如表2所示。

圖3 損傷工況2下部分子結(jié)構(gòu)的MD分布曲線Fig.3 MD distribution curve of several substructures for damage case 2

表2 各損傷工況下的AU值

表中黑粗體數(shù)據(jù)表示子結(jié)構(gòu)的AU值不小于0.80

根據(jù)AU的定義，取0.80為能否良好區(qū)分損傷是否發(fā)生的閾值。表2表明，在各損傷工況下，包含損傷部位的子結(jié)構(gòu)的AU值才高于0.80，而其余子結(jié)構(gòu)的AU值均低于0.80。因此，該指標(biāo)不但能夠成功定位損傷程度較小(1%)的單處損傷，也能定位工況6下不同部位同時發(fā)生的損傷。

損傷單元的定位可分3步:a.確定子結(jié)構(gòu)是否發(fā)生損傷；b.找出判定為健康的子結(jié)構(gòu)所包含的單元，判定這些單元為健康單元；c.判定剩余單元為損傷單元。由表2的識別結(jié)果可以看出，對于工況1～3，子結(jié)構(gòu)3～6均判定為健康，則上述子結(jié)構(gòu)所包含的單元應(yīng)當(dāng)為健康的，故單元3～6為健康單元，單元1和2為損傷單元；同理，對于工況4和工況5，子結(jié)構(gòu)1,2,3和6判定為健康，則單元1,2,3,4和6為健康單元，單元5為損傷單元；對于工況6，子結(jié)構(gòu)3和6判定為健康，則單元3,4,6為健康單元，單元1,2和5為損傷單元。

為識別彈簧2不同程度的損傷，計算子結(jié)構(gòu)1,2在工況1～3下的BD值如圖4所示。圖4表明隨著損傷程度的增加，子結(jié)構(gòu)1，2的BD值均呈單調(diào)上升趨勢，即BD值能正確區(qū)分損傷程度的相對大小。

圖4 不同損傷程度下的BD值Fig．4 BD values for different damage levels

4.3 噪音影響分析

圖5為不同噪音水平下子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2的AU值。隨著噪音水平的不斷增大，損傷定位的準(zhǔn)確性將降低，特別是當(dāng)結(jié)構(gòu)損傷程度較小時，噪音的影響較為顯著，例如工況1下，當(dāng)噪音水平增大到10%時，子結(jié)構(gòu)1，2的AU值均將低于0.80，從而得出該處未發(fā)生損傷的結(jié)論，出現(xiàn)了漏報警。但隨著損傷程度的增加，噪音的影響將逐步減小甚至消失，例如在工況2和工況3下，即使10%的噪音水平也完全能定位出子結(jié)構(gòu)1,2的損傷，表明本損傷識別算法具有較好的抗噪性能。

子結(jié)構(gòu)1在不同噪音水平下的BD值如圖6所示。從該圖可知，在同一損傷工況下，隨著噪音水平的不斷升高，對應(yīng)的BD值將越來越低。但在同一噪音水平下，隨著損傷程度的增加，BD值呈單調(diào)上升趨勢，表明此時仍能正確區(qū)分損傷程度的大小。

圖5 不同噪音水平下的AU值Fig．5 AU values for different noise levels

圖6 子結(jié)構(gòu)1不同噪音水平下的BD值Fig．6 BD values of substructure 1 for different noise levels

5 框架試驗

5.1 試驗概況

采用寬65mm、厚4mm、長350mm的鋼板組成框架的梁和柱，并通過節(jié)點板和螺栓進行連接，框架的外觀尺寸如圖7所示。每個節(jié)點板共安裝4顆螺栓，2顆與柱相連，2顆與梁或剛性基座相連。

試驗結(jié)構(gòu)的激振力來自于激振器，由于條件所限，實現(xiàn)節(jié)點激振較為困難，因此通過增加底層剛度的方式將其作為上部3層鋼框架的嵌固端。此時作為本研究考察對象的3層鋼框架結(jié)構(gòu)承受來自基底的加速度激勵，并利用上部3層測得的加速度響應(yīng)與基底測試的加速度響應(yīng)相減，獲得上部3層的相對加速度響應(yīng)，進而做損傷識別。

圖7 3層框架模型Fig.7 3-story steel frame

為了驗證提出方法在節(jié)點連接損傷情況下的有效性，試驗中通過松動梁柱節(jié)點處螺栓模擬損傷。沿側(cè)柱布置4個加速度傳感器，從下到上依次編號為1～4。采用KDJ-50型電磁激振器在低層右柱下側(cè)輸入白噪聲激振，如圖7(a)所示。采樣頻率為500Hz，共采集118個數(shù)據(jù)段，每個數(shù)據(jù)段有5 000個數(shù)據(jù)點。具體的損傷工況設(shè)置如表3所示。

表3 框架的損傷工況

工況2中第1顆螺栓保持松動狀態(tài)

5.2 損傷識別結(jié)果

按圖7(b)所示方式將該3層框架劃分為3個子結(jié)構(gòu)，利用損傷識別算法計算不同損傷工況下的AU值如表4所示。在損傷發(fā)生在1層右柱頂時，工況2和工況3下子結(jié)構(gòu)1的AU值高于閥值0.80，其余子結(jié)構(gòu)的AU值均小于0.66，結(jié)果與結(jié)構(gòu)實際損傷部位相符，因此本方法可以準(zhǔn)確判定損傷部位。在工況1下，子結(jié)構(gòu)1的AU值低于0.80，這可能是表中黑粗體數(shù)據(jù)表示子結(jié)構(gòu)的AU值不小于0.80因為試驗框架受力較小，僅松動一顆螺栓對結(jié)構(gòu)影響較小，從而導(dǎo)致該工況下AU值在損傷部位的變化不大。

表4 試驗?zāi)Ｐ偷腁U值

從表4看出，子結(jié)構(gòu)2，3判定為健康，則其所包含的樓層2和3為健康的，僅樓層1發(fā)生損傷。

計算損傷發(fā)生在1層右柱頂時，子結(jié)構(gòu)1在工況1至工況3下的BD值分別為0.22，0.40和3.80。這表明BD值隨著損傷程度的增加而單調(diào)增加，因此，通過BD值的計算能正確判定結(jié)構(gòu)的損傷程度。

6 結(jié)束語

基于子結(jié)構(gòu)和ARMAX模型的損傷識別算法能準(zhǔn)確定位剪切型框架結(jié)構(gòu)的單處和多處損傷，并能準(zhǔn)確區(qū)分剪切型框架結(jié)構(gòu)損傷程度的相對大小。在損傷程度較小時，較大水平的噪聲可能導(dǎo)致?lián)p傷的漏報警；但在損傷程度較大時，噪聲對損傷識別的結(jié)果影響有限，如算例中發(fā)生5%損傷時，即使10%的噪聲水平也能準(zhǔn)確識別損傷部位。提出的剪切型框架結(jié)構(gòu)子結(jié)構(gòu)劃分方法和對子結(jié)構(gòu)輸入輸出關(guān)系進行ARMAX建模時的定階準(zhǔn)則，也同樣適用于損傷識別為目的的時間序列建模。

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*國家自然科學(xué)基金資助項目(51308565,51578095);中央高?；鹳Y助項目(CDJZR14205501)

2015-08-19；

2016-01-19

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.02.014

TU279.7+44; TH825

羅鈞，男，1986年5月生，博士生。主要研究方向為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測與振動控制。曾發(fā)表《基于隨機減量法的非平穩(wěn)激勵下模態(tài)參數(shù)識別》(《振動與沖擊》2015年第34卷第21期)等論文。 E-mail: jluo@cqu.edu.cn