摘要：融入課堂的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的實(shí)施策略有：給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的機(jī)會(huì)；創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維；讓學(xué)生在自主探究的基礎(chǔ)上合作交流；幫學(xué)生把握問題本質(zhì)，形成認(rèn)知策略。融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源的選材原則為聚焦核心概念與重要定理（性質(zhì)），重視能體現(xiàn)知識(shí)之間關(guān)聯(lián)的內(nèi)容，關(guān)注易于學(xué)生質(zhì)疑與創(chuàng)新的內(nèi)容，珍視便于學(xué)生延伸與推廣的內(nèi)容。由此，可以分“典型教學(xué)案例”與“課堂探究資源”兩部分架構(gòu)“融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源庫”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)探究課程資源課堂教學(xué)實(shí)施策略選材原則

建設(shè)促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)探究的課程資源庫，能夠積累更多的數(shù)學(xué)探究素材，讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。為此，我們從融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源庫建設(shè)、源于教材的數(shù)學(xué)探究資源庫建設(shè)、依托研究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)探究資源庫建設(shè)三個(gè)方面展開研究。

為了研究融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源庫建設(shè)，我們?cè)谌粘Ｕn堂教學(xué)中注意通過具體的問題情境，激發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生處于“憤悱”的狀態(tài)，并運(yùn)用已有的知識(shí)和方法，通過自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)方式，“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”地建構(gòu)新的數(shù)學(xué)知識(shí)（概念、定理等）。在此基礎(chǔ)上，我們經(jīng)歷了“實(shí)踐→反思→提煉”的過程，逐步形成了“融入課堂的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的實(shí)施策略”“融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源的選材原則”，架構(gòu)了“融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源庫”。

一、融入課堂的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的實(shí)施策略

（一）給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的機(jī)會(huì)

愛因斯坦曾說過：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更為重要，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問題也許只是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技巧問題，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度看舊的問題，卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步?！?016年對(duì)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》進(jìn)行修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（征求意見稿）》中指出：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)“具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論”?？梢?，“發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題”是學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的起點(diǎn)。因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)積極地創(chuàng)造條件，給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。此外，我們還要鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑已有的結(jié)論和方法（包括教材上已有的結(jié)論、老師或同學(xué)的見解等），逐步培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)和質(zhì)疑精神。

【案例1】 “對(duì)數(shù)的概念”教學(xué)片段

[教師出示情境：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的84%（設(shè)該物質(zhì)最初的質(zhì)量為1）。]

師（同步出示）問題1：你能就此情境提出一個(gè)問題嗎？請(qǐng)將你的問題寫在草稿紙上。

（學(xué)生根據(jù)之前對(duì)指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)以及這里對(duì)問題情境的分析，提出了這種問題：經(jīng)過5年，這種物質(zhì)的剩留量為原來的百分之幾？經(jīng)過100年，這種物質(zhì)的剩留量為原來的百分之幾？……）

師這兩個(gè)問題大同小異嘛。同桌互相交流一下，看看能否提出一個(gè)不同的問題。

（學(xué)生相互交流，提出了如下問題：經(jīng)過多少年，這種物質(zhì)的剩留量為原來的一半？）

師大家提出的這兩種問題實(shí)際上都與我們學(xué)習(xí)過的指數(shù)函數(shù)y=0.84x有關(guān)。第一個(gè)問題是已知x，求y；第二個(gè)問題是已知y，求x。如果0.84是未知的，還可以求0.84。（稍停）這些問題本質(zhì)上就是研究指數(shù)式ab=N中已知兩個(gè)量，求第三個(gè)量。我們來看一些具體的例子：（1）22=4，32=9，53=125，…，這些是我們學(xué)習(xí)過的乘方運(yùn)算；（2）a3=8a=2，a5=32a=2，a3=5a=35，…，這些是我們學(xué)習(xí)過的開方運(yùn)算；（3）2b=2b=1，2b=4b=2，2b=3b=？，…，這些是我們還沒學(xué)習(xí)過的運(yùn)算。（同步出示）問題2：2b=3，這樣的b存在嗎？

（學(xué)生從數(shù)的角度考慮：根據(jù)21=2，22=4，2b=3，估算出1

師2b=3這個(gè)式子中b是存在的，且由2、3唯一確定。那么，如何表示它呢？你以前遇到過類似的問題嗎？

生用一個(gè)新的符號(hào)來表示它。

師非常好！數(shù)學(xué)家解決這個(gè)問題的辦法就是給它一個(gè)新的記號(hào)，比如a3=5a=35，同樣這里的b就用log23來表示，b是以2為底3的對(duì)數(shù)。2為底數(shù)，寫在下方；3為真數(shù)，寫在后面。

（教師簡單介紹數(shù)學(xué)史：對(duì)數(shù)是由蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明的……）

師你能再舉一些類似的例子嗎？

生3b=10b=log310，4b=5b=log45，2b=7b=log27，…。

師（同步出示）問題3：一般情況下，對(duì)數(shù)的概念是什么呢？

（教師鼓勵(lì)學(xué)生舉出豐富的實(shí)例，然后要求學(xué)生將具體的例子一般化，得到ab=Nb=logaN；接著幫助學(xué)生完善概念，規(guī)定概念中a的取值范圍，最終得到對(duì)數(shù)的概念。）

師這就是今天我們要研究的內(nèi)容——對(duì)數(shù)。

（板書課題。）

這節(jié)課，教師首先創(chuàng)設(shè)了一個(gè)學(xué)生熟悉的、開放的問題情境，并給學(xué)生提出問題的機(jī)會(huì)，讓他們自主提出問題，然后在由學(xué)生提出的各種問題的基礎(chǔ)上加以分類，引發(fā)學(xué)生思考這些問題之間的關(guān)聯(lián)（指數(shù)式ab=N中已知兩個(gè)量，求第三個(gè)量），從而確立了本節(jié)課的探究主題（ab=N中已知a、N，求b）。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)提出問題的意識(shí)，明確研究目標(biāo)，還能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)的形成。

（二）創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決數(shù)學(xué)問題的過程?！昂玫摹睌?shù)學(xué)問題，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的動(dòng)力，是學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的“助推器”。因此，在課堂教學(xué)中，教師還應(yīng)該精心創(chuàng)設(shè)有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。

前面的案例1中，確立了本節(jié)課的探究主題后，教師提問：“2b=3，這樣的b存在嗎？”讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，思考b的存在性和唯一性。然后，教師追問：“如何表示它呢？你以前遇到過類似的問題嗎？”讓學(xué)生類比聯(lián)想已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，借助新的數(shù)學(xué)符號(hào)“l(fā)og23”來表示b。通過這個(gè)問題，在促進(jìn)學(xué)生形成符號(hào)化意識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。得到了“2b=3b=log23”這一特殊對(duì)象后，教師繼續(xù)追問：“你能再舉一些類似的例子嗎？”在舉例的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程（從特殊到一般），進(jìn)而抽象概括出對(duì)數(shù)的概念。

（三）讓學(xué)生在自主探究的基礎(chǔ)上合作交流

自主探究學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)者在自我導(dǎo)向、自我激勵(lì)、自我監(jiān)控的前提下，確定對(duì)自己有意義的學(xué)習(xí)目標(biāo)，在探究活動(dòng)中主動(dòng)獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、解決問題的學(xué)習(xí)過程。它具有更強(qiáng)的問題性、實(shí)踐性、參與性和開放性。合作交流學(xué)習(xí)包含兩個(gè)方面：一是小組的合作學(xué)習(xí)，二是生生之間、師生之間的相互交流。在課堂教學(xué)中，教師要讓學(xué)生在自主探究的基礎(chǔ)上開展合作交流，確定解決問題的策略并最終解決問題。

【案例2】 “函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”教學(xué)片段

師（同步出示）問題1：如何由y=sin x的圖像得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖像？

（學(xué)生自主探究，合作交流，確定了下面的方案。方案1：利用“五點(diǎn)法”作幾個(gè)特殊函數(shù)的圖像。方案2：首先研究如何由y=sin x的圖像得到y(tǒng)=sin（x+φ）的圖像；其次研究如何由y=sin（x+φ）的圖像得到y(tǒng)=sin（ωx+φ）的圖像；最后研究如何由y=sin（ωx+φ）的圖像得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖像。方案3：先分別探討φ、A、ω對(duì)函數(shù)y=sin（x+φ）、y=Asin x、y=sin ωx的圖像的變化規(guī)律，再綜合三者。）

師對(duì)于方案1，已知圖像特征，“五點(diǎn)法”是作簡圖的一種方法，但是此時(shí)“五點(diǎn)”以外其余點(diǎn)的特征尚不清晰，需要深入分析。對(duì)于方案2，研究由y=sin（x+φ）的圖像得到y(tǒng)=sin（ωx+φ）的圖像的過程本質(zhì)上還是研究ω的影響，而φ的存在可能會(huì)對(duì)研究造成干擾。在比較討論的基礎(chǔ)上，可以確定本節(jié)課的研究方案為方案3：先固定其中兩個(gè)參數(shù)，變化另外一個(gè)參數(shù)，研究圖像的變化規(guī)律；再綜合考慮三個(gè)參數(shù)的影響。（稍停）我們先來研究φ對(duì)函數(shù)y=sin（x+φ）的圖像的變化規(guī)律。如何研究呢？

生特殊化。先研究一些特殊對(duì)象，再研究一般規(guī)律。

師（同步出示）問題2：如何由y=sin x的圖像得到y(tǒng)=sin（x+1）的圖像？

生向左平移1個(gè)單位。

（其他學(xué)生表示贊同。）

師（利用幾何畫板作圖驗(yàn)證）是向左平移1個(gè)單位。你們是怎么知道的？

生“左加右減”，初中就知道了。

師能說明原理嗎？

生比如，取y=sin x的圖像上的點(diǎn)π2，1，在y=sin（x+1）的圖像上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是π2-1，1，縱坐標(biāo)沒變且橫坐標(biāo)減小1，所以是向左平移1個(gè)單位。

師你取了一對(duì)特殊的點(diǎn)，那么圖像上其他的點(diǎn)都有這樣的變化規(guī)律嗎？

生是啊。可以再取幾個(gè)點(diǎn)驗(yàn)證一下。

師你取的幾個(gè)特殊點(diǎn)確實(shí)向左平移了1個(gè)單位，但是顯然無法取盡圖像上所有的點(diǎn)。如何解決這個(gè)困難？

生取y=sin x的圖像上的任意一點(diǎn)，記作M（x0，y0），在y=sin（x+1）的圖像上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為N，則N的坐標(biāo)是（x0-1，y0），可見所有的點(diǎn)都向左平移了1個(gè)單位。

（其他學(xué)生表示贊賞。）

師這位同學(xué)說得很好！我們?nèi)D像上的任意一點(diǎn)M（x0，y0），從變化后對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)不難看出，所有的點(diǎn)“齊步向左走了1個(gè)單位”，當(dāng)然圖像就向左平移了1個(gè)單位了。（稍停）可見，圖像是由點(diǎn)構(gòu)成的，圖像變換的本質(zhì)是圖像上點(diǎn)的位置變換，而點(diǎn)的位置變化對(duì)應(yīng)著點(diǎn)的坐標(biāo)變化。因此，研究函數(shù)圖像的變換規(guī)律，只需研究圖像上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律。

（教師引導(dǎo)學(xué)生完成板書，如圖1。）

這節(jié)課，面對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)問題，先讓學(xué)生開展自主探究，規(guī)劃研究思路，思考解決方法，主動(dòng)參與知識(shí)的建構(gòu)；在此基礎(chǔ)上，再通過生生交流、師生交流，讓學(xué)生對(duì)提出的3種方案分別進(jìn)行分析、比較，從而逐步統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，形成研究和解決的策略（方案3），即面對(duì)多變量問題時(shí)，學(xué)會(huì)通過控制變量的個(gè)數(shù)將復(fù)雜的問題簡單化。

（四）幫學(xué)生把握問題本質(zhì)，形成認(rèn)知策略

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)強(qiáng)調(diào)過程，不只關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得和數(shù)學(xué)問題的解決，更加強(qiáng)調(diào)獲得知識(shí)和解決問題的方法，其核心是幫助學(xué)生形成認(rèn)知策略以及完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。認(rèn)知策略是一些可習(xí)得的程序，會(huì)支配、影響個(gè)體學(xué)習(xí)、記憶和思維的任何一個(gè)階段。在一個(gè)情境中獲得的認(rèn)知策略可以遷移至并有助于另一個(gè)情境中全新的學(xué)習(xí)（知識(shí)獲得和問題解決）。在課堂教學(xué)中，教師要從知識(shí)或問題的表象入手，幫助學(xué)生撥開迷霧，把握本質(zhì)；進(jìn)而通過言語指導(dǎo)，幫助學(xué)生激活、確立、發(fā)展認(rèn)知策略。

前面的案例2中，形成了研究和解決的策略后，教師引導(dǎo)學(xué)生具體探究“如何由y=sin x的圖像得到y(tǒng)=sin（x+1）的圖像”。在這一過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生在自主探究和合作交流的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)到圖像變換的本質(zhì)是圖像上點(diǎn)的位置變換，而點(diǎn)的位置變化對(duì)應(yīng)著點(diǎn)的坐標(biāo)變化，進(jìn)而確定了解決問題的策略，即研究函數(shù)圖像的變換規(guī)律，只需研究圖像上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律。

二、融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源的選材原則

（一）聚焦核心概念與重要定理（性質(zhì)）

高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系是由若干核心概念與重要定理（性質(zhì)）構(gòu)成的，這些核心概念與重要定理（性質(zhì)）通常也是數(shù)學(xué)思想方法的重要載體。因此，將這些核心概念與重要定理（性質(zhì)）作為“融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源”，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念與定理（性質(zhì)）的過程中開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，對(duì)于學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)、形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的意義。

例如，“函數(shù)”這部分，函數(shù)的概念、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、具體的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)）等內(nèi)容都是重要的課堂數(shù)學(xué)探究資源。特別是指數(shù)函數(shù)，作為高中階段研究的第一個(gè)具體函數(shù)模型，讓學(xué)生對(duì)其概念、圖像和性質(zhì)開展探究，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，而且能幫助學(xué)生掌握研究函數(shù)的基本方法，為后續(xù)研究其他函數(shù)模型積累經(jīng)驗(yàn)。

又如，“兩角和與差的三角函數(shù)”這部分，兩角差（和）的余弦公式是其他公式的推導(dǎo)基礎(chǔ)。因此，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩角差（和）的余弦公式的推導(dǎo)進(jìn)行探究，不僅可以激發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生從各自不同的角度思考論證，而且可以加深學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的理解。

（二）重視能體現(xiàn)知識(shí)之間關(guān)聯(lián)的內(nèi)容

在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，不少知識(shí)之間有著緊密的聯(lián)系。當(dāng)學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)觀點(diǎn)聯(lián)系在一起時(shí)，他們的理解會(huì)深刻并且牢固?！皩?shí)際上，在學(xué)習(xí)和運(yùn)用概念的過程中，激活某個(gè)概念時(shí)，其實(shí)質(zhì)是激活這個(gè)概念所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)。因此，教學(xué)每一個(gè)概念時(shí)都應(yīng)當(dāng)從概念所處的系統(tǒng)出發(fā)，促進(jìn)學(xué)生建立新舊概念之間的各種聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)概念網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)與擴(kuò)展，使新的概念成為學(xué)生內(nèi)部概念網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)有機(jī)組成部分。”因此，教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，體會(huì)到不同知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而從整體上理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。所以，在選取課堂數(shù)學(xué)探究資源時(shí)，應(yīng)當(dāng)重視那些能夠體現(xiàn)知識(shí)之間關(guān)聯(lián)的內(nèi)容。

例如，“數(shù)列”與“函數(shù)”之間存在著本質(zhì)的聯(lián)系。因此，教學(xué)“數(shù)列”的起始課時(shí)，可以通過問題“數(shù)列{an}中的各項(xiàng)ak與各項(xiàng)序號(hào)k（k=1，2，3，…，n，…）之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，從中你能發(fā)現(xiàn)什么”，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)；然后通過類比函數(shù)的研究內(nèi)容和研究方法，讓學(xué)生探究數(shù)列的研究內(nèi)容和研究方法，理解數(shù)列的定義域、值域、表示方法（含通項(xiàng)公式）、單調(diào)性（相鄰兩項(xiàng)的大小關(guān)系）、周期性、最值等，并注意數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別。

此外，“向量”與“三角函數(shù)”“方程”與“不等式”等等之間也有著緊密的聯(lián)系。

（三）關(guān)注易于學(xué)生質(zhì)疑與創(chuàng)新的內(nèi)容

高中數(shù)學(xué)教材在編寫的過程中，基于不同層次學(xué)生的可接受性或受到篇幅的限制等，對(duì)一些內(nèi)容會(huì)留有余地，這導(dǎo)致部分思維活躍的學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同于教材的認(rèn)識(shí)。將這些內(nèi)容編入“融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源庫”，讓學(xué)生在課堂上開展探究，有利于學(xué)生從不同的角度展開思考，能夠充分激發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑精神和創(chuàng)造意識(shí)，并培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和靈活性，挖掘?qū)W生的創(chuàng)造潛能。

例如，“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)”就是易于學(xué)生質(zhì)疑與創(chuàng)新的內(nèi)容。教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，在面對(duì)問題“設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2之間的距離為2c，橢圓上任意一點(diǎn)到F1、F2的距離和為2a（2a>2c>0），試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求橢圓的方程”，建立標(biāo)準(zhǔn)的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出橢圓上任意一點(diǎn)P（x，y），根據(jù)橢圓的定義得到（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a（記為①式）后，可以引導(dǎo)學(xué)生探究以下三種化簡得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：

方法1（移項(xiàng)后平方）移項(xiàng)，使得方程的兩邊各有1個(gè)根式。平方，再移項(xiàng)，得到a·（x-c）2+y2=a2-cx。再平方，整理，得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）。令a2-c2=b2（b>0），得bx2+a2y2=a2b2， 同除以a2b2，得x2a2+y2b2=1（a>b>0）。

方法2（分子有理化）當(dāng)（x+c）2+y2≠（x-c）2+y2，即x≠0時(shí)，分子有理化，得到4cx（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=2a，所以（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=2cxa（記為②式）。由①②，解得（x+c）2+y2=cx+a2a。平方，得到a2-c2a2x2+y2=a2-c2。令a2-c2=b2 （b>0），得x2a2+y2b2=1（x≠0）。

當(dāng)（x+c）2+y2=（x-c）2+y2，即x=0時(shí)，由橢圓定義可知，點(diǎn)P在線段F1F2的中垂線上，坐標(biāo)為（0，±b），滿足方程x2a2+y2b2=1。

方法3（直接平方）平方，得到2x2+2y2+2c2+2（x+c）2+y2·（x-c）2+y2=4a2，即（x2+y2+c2）+2cx·（x2+y2+c2）-2cx=2a2-（x2+y2+c2）。平方，得到（x2+y2+c2）2-4c2x2=4a4-4a2（x2+y2+c2）+（x2+y2+c2）2，即a2（x2+y2+c2）=c2x2+a4，所以（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）。（以下同方案1）

這三種不同的方法豐富了學(xué)生對(duì)代數(shù)方程的化簡經(jīng)驗(yàn)，在培養(yǎng)學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)核心能力的同時(shí)，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性。尤其是方法3，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中重要的整體思想，能促進(jìn)學(xué)生整體運(yùn)算觀念的形成。事實(shí)上，教學(xué)實(shí)踐中不少學(xué)生運(yùn)用這一方法化簡方程，但是多數(shù)學(xué)生由于沒有運(yùn)用整體思想，導(dǎo)致鎩羽而歸。

此外，在探究以上三種方法的過程中，還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究a（x-c）2+y2=a2-cx（記為③式）和（x+c）2+y2=cx+a2a（記為④式）兩式的幾何意義：由③，得（x-c）2+y2=caa2c-x，即（x-c）2+y2a2c-x=ca，所以點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2的距離與它到定直線x=a2c的距離的比值為常數(shù)ca；類似地，由④，可得點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離與它到定直線x=-a2c的距離的比值為常數(shù)ca。

這樣，在建立標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程的同時(shí)，學(xué)生又能有新的收獲（橢圓的第二定義），感受到探究帶來的樂趣。

（四）珍視便于學(xué)生延伸與推廣的內(nèi)容

高中數(shù)學(xué)教材在編寫的過程中，還有意識(shí)地安排了這樣兩類內(nèi)容：一是可以類比延伸的內(nèi)容，二是可以一般推廣的內(nèi)容。將這些內(nèi)容編入“融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源庫”，不僅可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)與探究能力，而且可以幫助學(xué)生更加深刻地理解“類比與遷移”“特殊與一般”等數(shù)學(xué)思想。

例如，“平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率乘積為定值的點(diǎn)的軌跡”就是便于學(xué)生延伸與推廣的內(nèi)容。教學(xué)“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”后，可以出示如下問題：（蘇教版高中數(shù)學(xué)教材選修21習(xí)題2.3（1）第5題）在△ABC中，已知B（-6，0）、C（6，0），直線AB、AC的斜率乘積為94，求頂點(diǎn)A的軌跡。解得點(diǎn)A的軌跡方程為x236-y281=1（y≠0），點(diǎn)A的軌跡是以B、C為頂點(diǎn)，18為虛軸長的雙曲線（不含點(diǎn)B、C）后，還可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究如下兩個(gè)問題，得到相應(yīng)的結(jié)論：

問題1在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A、B連線的斜率乘積為常數(shù)k（k>0），求點(diǎn)P的軌跡。

結(jié)論1點(diǎn)P的軌跡是以A、B為頂點(diǎn)，k|AB|為虛軸長的雙曲線（不含點(diǎn)A、B）。

問題2在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A、B連線的斜率乘積為常數(shù)k（k<0），求點(diǎn)P的軌跡。

結(jié)論2當(dāng)k=-1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓（不含點(diǎn)A、B）；當(dāng)k∈（-1，0）時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以A、B為長軸的端點(diǎn)，-k|AB|為短軸長的橢圓（不含點(diǎn)A、B）；當(dāng)k∈（-∞，-1）時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以A、B為短軸的端點(diǎn)，-k|AB|為長軸長的橢圓（不含點(diǎn)A、B）。

這里，通過對(duì)問題1的探究，將特殊推廣到一般，得到結(jié)論1，即雙曲線的另一種定義方式；通過對(duì)問題2的探究，將結(jié)論1類比遷移到橢圓中，得到結(jié)論2。這樣的探究，不僅有利于學(xué)生深刻地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，而且有利于學(xué)生搞清不同知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，從整體上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。

三、融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源庫的基本架構(gòu)

為了使“融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源庫”具有較強(qiáng)的可操作性，我們以“融入課堂的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的實(shí)施策略”和“融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源的選材原則” 為依據(jù)，選取恰當(dāng)?shù)恼n堂探究教學(xué)內(nèi)容，分“典型教學(xué)案例”與“課堂探究資源”兩部分，按如圖2所示的基本結(jié)構(gòu)對(duì)其進(jìn)行架構(gòu)。圖2

（一）關(guān)于典型教學(xué)案例

我們將組內(nèi)教師近幾年來開展課堂數(shù)學(xué)探究教學(xué)的一些優(yōu)秀案例編入“融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源庫”的“典型教學(xué)案例”部分，供教師學(xué)習(xí)參考。這些優(yōu)秀案例包括組內(nèi)教師在過去8屆全國高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)質(zhì)課評(píng)比中獲得一等獎(jiǎng)的優(yōu)秀課例6件以及組內(nèi)教師在重要期刊上發(fā)表的優(yōu)秀教學(xué)案例若干。作為“典型教學(xué)案例”，其呈現(xiàn)內(nèi)容包含課堂實(shí)錄（錄像）、教學(xué)設(shè)計(jì)與反思等。

（二）關(guān)于課堂探究資源

我們將高中數(shù)學(xué)教材中適合開展課堂數(shù)學(xué)探究的課程內(nèi)容編入“融入課堂的數(shù)學(xué)探究資源庫”的“課堂探究資源”部分，供教師學(xué)習(xí)選用。作為“課堂探究資源”，其呈現(xiàn)包括資源編號(hào)（出處）與名稱、資源內(nèi)容、探究建議、探究設(shè)計(jì)等。例如：

資源編號(hào)（出處）與名稱B2.2.8（必修2第112頁習(xí)題2.2（1）第11題），阿波羅尼斯圓。

資源內(nèi)容已知點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為12，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件？畫出滿足條件的點(diǎn)M所構(gòu)成的曲線。

探究建議將教材上一個(gè)特殊的“阿波羅尼斯圓”問題加以推廣，得到一般意義上的“阿波羅尼斯圓”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

探究設(shè)計(jì)

問題：已知A、B是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，若在該平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)λ（λ>0且λ≠1），則點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？

方案：解決以線段AB中點(diǎn)為原點(diǎn)、線段AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（-a，0）（a>0），則B（a，0）。設(shè)P（x，y），由PAPB=λ，得（x+a）2+y2（x-a）2+y2=λ，化簡得（1-λ2）x2+（1-λ2）y2+2a（1+λ2）x+（1-λ2）a2=0。因?yàn)棣?gt;0且λ≠1，所以1-λ2≠0，所以x2+y2+2（1+λ2）a1-λ2x+a2=0。所以點(diǎn)P的軌跡方程是x+（1+λ2）a1-λ22+y2=2λa1-λ22，所以點(diǎn)P的軌跡是以-（1+λ2）a1-λ2，0為圓心、2λa1-λ2為半徑的圓。

需要說明的是，資源編號(hào)分為4級(jí)，第一位表示必修（B）或選修（X），第二位是模塊序號(hào)，第三位是章序號(hào)，第四位是資源序號(hào)。

本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)探究的課程資源庫建設(shè)研究”（編號(hào)：C-c/2015/025）的階段性研究成果。

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