摘要：學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤是作出教學(xué)診斷的重要資源，錯(cuò)誤的成因更是進(jìn)行教學(xué)補(bǔ)救的重要依據(jù)。結(jié)合“兩階段測(cè)評(píng)”的反饋資料，診斷得到學(xué)生在學(xué)習(xí)“平面向量”單元時(shí)出現(xiàn)的幾類典型錯(cuò)誤：將已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)作了過度的類推；對(duì)向量知識(shí)的各種表征無法進(jìn)行必要而正確的轉(zhuǎn)換；受兩個(gè)直觀法則的影響。對(duì)于學(xué)生的每一個(gè)錯(cuò)誤，教學(xué)補(bǔ)救的基本過程可以分為三個(gè)階段：制造暴露事件；引入異例；概念調(diào)適。

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)錯(cuò)誤教學(xué)診斷教學(xué)補(bǔ)救平面向量

著名數(shù)學(xué)家Schwarzenberger在1984年擔(dān)任英國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)時(shí)的致辭中提到：“在數(shù)學(xué)研究中，錯(cuò)誤的答案和正確的答案一樣重要，有時(shí)候有過之而無不及?！睂?duì)數(shù)學(xué)教師而言，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤是作出教學(xué)診斷的重要資源，錯(cuò)誤的成因更是進(jìn)行教學(xué)補(bǔ)救的重要依據(jù)。

向量是近代數(shù)學(xué)中重要的基本概念之一，是溝通代數(shù)和幾何的重要工具，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的地位。下面，筆者結(jié)合調(diào)查研究，對(duì)高中學(xué)生在學(xué)習(xí)“平面向量”單元時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行診斷，并依此給出補(bǔ)救的建議。

一、診斷的方法

根據(jù)筆者的了解，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)“平面向量”單元時(shí)存在不同程度的困難，表現(xiàn)在解題中就是錯(cuò)誤百出。面對(duì)這種狀況，很多教師將學(xué)生的錯(cuò)誤簡(jiǎn)單地歸因于學(xué)生“不認(rèn)真、不努力”，進(jìn)而通過大量的重復(fù)練習(xí)來矯正學(xué)生的錯(cuò)誤，但是往往是事倍功半。

對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤應(yīng)作診斷，途徑有很多種，比較常見的有訪談、傳統(tǒng)的紙筆測(cè)驗(yàn)、繪制概念圖等。訪談比較低效；傳統(tǒng)的紙筆測(cè)驗(yàn)可以收集到大量的樣本資料，但是只能提供對(duì)或錯(cuò)的信息，難以了解學(xué)生出錯(cuò)的真正原因；繪制概念圖則需要對(duì)學(xué)生（甚至教師）進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的專業(yè)培訓(xùn)，在當(dāng)前的升學(xué)壓力下難以實(shí)現(xiàn)。

結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況，筆者選擇了D.F.Treagust提出的兩階段評(píng)量法，設(shè)計(jì)了兩階段評(píng)量試題作為測(cè)評(píng)工具。兩階段評(píng)量試題由兩部分構(gòu)成：第一部分為判斷選項(xiàng)，第二部分為理由選項(xiàng)。每一道題都有5個(gè)理由選項(xiàng)，其中最后一個(gè)為“其他理由”——當(dāng)理由不在前面四個(gè)選項(xiàng)中時(shí)，可以將其在此處自由地表達(dá)出來。例如：

題目：AA是否等于0？

□是□否

我的理由是。

（1）A點(diǎn)到A點(diǎn)沒有移動(dòng)，所以為0。

（2）AA的實(shí)質(zhì)是點(diǎn)A，點(diǎn)A沒有長(zhǎng)度，所以AA不是向量，應(yīng)該等于0。

（3）AA應(yīng)該是0。

（4）設(shè)A=5，則AA=5-5=0。

（5）其他理由：。

兩階段評(píng)量試題是結(jié)合前人研究、教師問卷調(diào)查、學(xué)生開放式前測(cè)（在傳統(tǒng)考試題目的基礎(chǔ)上增加了陳述理由的環(huán)節(jié)，理由不是由教師設(shè)置選項(xiàng)給出，而是由學(xué)生根據(jù)自己的解答給出）的結(jié)果編擬、開發(fā)的。特別是其中的理由選項(xiàng)，是將學(xué)生開放式前測(cè)的結(jié)果（給出的理由）歸類，選擇其中典型的類別編擬而成的。

二、對(duì)學(xué)生常見錯(cuò)誤的診斷

R.B.Ashlock等學(xué)者認(rèn)為，將學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的錯(cuò)誤特征化，并進(jìn)行合理的分類，將有助于教學(xué)補(bǔ)救的設(shè)計(jì)。Movshoitz-Hadar等學(xué)者提出了學(xué)生錯(cuò)誤的分類模型。筆者借鑒這一分類模型，結(jié)合“兩階段測(cè)評(píng)”的反饋資料，診斷得到學(xué)生在學(xué)習(xí)“平面向量”單元時(shí)出現(xiàn)的幾類典型錯(cuò)誤。

（一）將已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)作了過度的類推

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)是在已有知識(shí)基礎(chǔ)上的自行建構(gòu)，即往往以已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)解釋新知識(shí)，并用已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)吸納新知識(shí)，使得已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)得到發(fā)展。在此過程中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)將舊知識(shí)、舊經(jīng)驗(yàn)在新的環(huán)境中作出錯(cuò)誤的類比和推廣。在“平面向量”單元的學(xué)習(xí)中，由于相關(guān)概念、運(yùn)算所使用的記號(hào)、名稱等與舊知識(shí)、舊經(jīng)驗(yàn)存在著很多類似甚至相同之處，致使此類錯(cuò)誤尤為嚴(yán)重。

例1向量的記號(hào)與有向線段的記號(hào)：AB=5是否表示AB是模為5、方向指向正方向的向量？

因?yàn)橄蛄渴蔷哂写笮∨c方向的量，而作為舊知識(shí)的有向線段也同時(shí)具有大小和方向兩個(gè)要素，因此學(xué)生很容易將兩者聯(lián)系起來。我們知道，有向線段的記號(hào)AB既表示有向線段本身，又表示其大小和方向，例如，AB=5說明有向線段AB的方向?yàn)檎较蚯议L(zhǎng)度為5。受此影響，學(xué)生便很自然地將這一記號(hào)類比到向量，從而出現(xiàn)了類似于“AB=5”的錯(cuò)誤表示。

例2向量的夾角與直線的夾角：在△ABC中，向量AB與BC的夾角是否為∠B？

解答這一問題時(shí)，學(xué)生的錯(cuò)誤率非常高。從學(xué)生給出的理由來看，很多學(xué)生的錯(cuò)誤源于將向量的夾角和直線的夾角、三角形兩邊的夾角混為一談。

例3向量的投影與線段的射影：已知AB和AC的夾角為120°，|AC|=12|AB|=1，則AB在AC上的投影是否為1？

解答這一問題時(shí)，很多學(xué)生給出了肯定的回答。大多數(shù)學(xué)生給出的理由表明，他們將向量的投影和線段在直線上的射影長(zhǎng)等同起來，產(chǎn)生了錯(cuò)誤的認(rèn)知。

此外，受到實(shí)數(shù)運(yùn)算的影響，很多學(xué)生在測(cè)試中將實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律錯(cuò)誤地運(yùn)用于向量運(yùn)算，例如|a·b|=|a|·|b|等等。此類錯(cuò)誤非常常見，筆者不再贅述。

（二）對(duì)向量知識(shí)的各種表征無法進(jìn)行必要而正確的轉(zhuǎn)換

眾所周知，向量知識(shí)具有代數(shù)和幾何的二重性，理解向量的概念和運(yùn)算應(yīng)當(dāng)同時(shí)關(guān)注其代數(shù)表征和幾何表征，并且能夠在必要時(shí)對(duì)二者進(jìn)行轉(zhuǎn)換。相反地，學(xué)生如果缺乏對(duì)向量多元表征的理解，不能在向量的多元表征之間自由地轉(zhuǎn)換，就會(huì)導(dǎo)致認(rèn)知困難和解題錯(cuò)誤。

例4數(shù)量積的多元表征：如圖1，AB·AC是否等于AB·AD？

從學(xué)生給出的理由來看，答錯(cuò)的學(xué)生大多根據(jù)數(shù)量積的定義式（AB·AC= |AB|·|AC|cos∠BAC），分別比較了|AC|和|AD|的大小以及∠DAB和∠CAB的大小，進(jìn)而得出了錯(cuò)誤的解答，其中選擇“因?yàn)閨AC|<|AD|，而∠DAB>∠CAB，所以無法比較大小”這一理由選項(xiàng)的人最多。

事實(shí)上，如果學(xué)生能夠從數(shù)量積的幾何意義（AB·AC即AC在AB上的投影與AB的模的積）出發(fā)，馬上就會(huì)得到這兩個(gè)數(shù)量積均為|AB|2；如果學(xué)生注意到向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，通過建系利用坐標(biāo)計(jì)算兩個(gè)數(shù)量積（以B為原點(diǎn)，AB、BD為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（-a，0）、C（0，c）、D（0，d），則通過坐標(biāo)運(yùn)算易求得AB·AC=a2），也是很容易得出正確結(jié)果的。所以我們有理由相信，正是由于學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積的多元表征缺乏認(rèn)識(shí)，才導(dǎo)致了該題解答的錯(cuò)誤。

（三）受兩個(gè)直觀法則的影響

學(xué)生的原始直觀頑固而持久地影響著學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)，值得注意的是，這種影響是在學(xué)生不自知的情況下發(fā)生的。在直觀法則的影響下，學(xué)生往往會(huì)不假思索地對(duì)概念作出判斷，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。

1.受“More A-More B”法則的影響。

在兩個(gè)系統(tǒng)的某個(gè)量A有明顯不同（不妨設(shè)A1>A2）的前提下，當(dāng)被要求比較另一個(gè)量B的大小時(shí)，許多學(xué)生會(huì)自然地認(rèn)為B1>B2。這種直觀法則就是“More A-More B”。

例5數(shù)量積的大小關(guān)系：若|a|>|b|，|c|>|d|，則a·c>b·d？

部分學(xué)生對(duì)此結(jié)論表示肯定。從學(xué)生給出的理由來看，很多學(xué)生都不假思索地給出了本題的答案。當(dāng)筆者要求學(xué)生按照向量數(shù)量積的運(yùn)算公式進(jìn)行演算時(shí)，他們又能給出正確的解答。這無疑表明學(xué)生是受直觀法則的影響而作出了錯(cuò)誤的判斷。

2.受“Same A-Same B”法則的影響。

在兩個(gè)系統(tǒng)的某個(gè)量A相等（A1=A2）的前提下，當(dāng)被要求比較另一個(gè)量B的大小時(shí)，許多學(xué)生會(huì)自然地認(rèn)為B1=B2。這種直觀法則就是“Same A-Same B”。

例6向量運(yùn)算的消去律：由a·b=a·c，得b=c？

由于向量數(shù)量積運(yùn)算和實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算采用的符號(hào)相同（Same A），學(xué)生便錯(cuò)誤將向量運(yùn)算等同于實(shí)數(shù)運(yùn)算（Same B）。

三、對(duì)學(xué)生常見錯(cuò)誤的補(bǔ)救

研究表明，學(xué)生的某些錯(cuò)誤并不容易糾正，尤其是概念性、系統(tǒng)性錯(cuò)誤以及直觀錯(cuò)誤，它們具有一定的頑固性和持久性，因?yàn)楹托抡J(rèn)識(shí)相比，學(xué)生更傾向于保護(hù)原有的想法。對(duì)此，需要通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)補(bǔ)救，幫助學(xué)生糾正自己的錯(cuò)誤。當(dāng)然，不能簡(jiǎn)單地希望教學(xué)補(bǔ)救發(fā)揮“藥到病除”的效果，還要注意教學(xué)補(bǔ)救效果的反饋，預(yù)防某些錯(cuò)誤“卷土重來”。

參考A.W.Bell等人提出的診斷教學(xué)法，筆者在教學(xué)補(bǔ)救的過程中遵循以下幾個(gè)基本原則：（1）針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤原因，制訂教學(xué)補(bǔ)救的目標(biāo)；（2）通過對(duì)平面向量多元表征的呈現(xiàn)與轉(zhuǎn)化，增加學(xué)生對(duì)平面向量及其運(yùn)算的理解；（3）通過問題的設(shè)置，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促使學(xué)生主動(dòng)修正自己的錯(cuò)誤；（4）通過對(duì)正確的新概念和錯(cuò)誤的舊概念的比較和辨析，幫助學(xué)生鞏固新概念。

根據(jù)以上基本原則，對(duì)于學(xué)生的每一個(gè)錯(cuò)誤，筆者將教學(xué)補(bǔ)救的基本過程分為三個(gè)階段：（1）制造暴露事件，即呈現(xiàn)一項(xiàng)工作給學(xué)生，引出學(xué)生的錯(cuò)誤；（2）引入異例，促使學(xué)生察覺到自己偏好的認(rèn)識(shí)和觀察到的現(xiàn)象之間的差異，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突；（3）概念調(diào)適，即引導(dǎo)學(xué)生分析認(rèn)知沖突產(chǎn)生的原因，對(duì)已有的錯(cuò)誤進(jìn)行自我調(diào)整，獲得正確的認(rèn)識(shí)。

下面，以學(xué)生的典型錯(cuò)誤“以向量記號(hào)表示向量大?。篈B>AC”的教學(xué)補(bǔ)救為例進(jìn)行說明。

1.制造暴露事件?！霸谌鐖D2所示的方格紙中，畫出向量AB，CD，EF，GH，并指出向

圖2

量的模?！贝藭r(shí)，四個(gè)向量已經(jīng)直觀地“暴露”于學(xué)生面前，向量之間的關(guān)系也一目了然。

2.引入異例?！凹淄瑢W(xué)對(duì)上述四個(gè)向量的關(guān)系給出了如下的論斷：因?yàn)樗膫€(gè)向量的模分別為4，22，5，5，所以AB>CD>EF=GH。他的論斷正確嗎？為什么？請(qǐng)結(jié)合圖形做出說明?！逼鸪酰瑢W(xué)生受到錯(cuò)誤概念的影響，會(huì)給出錯(cuò)誤的判斷，但是，當(dāng)學(xué)生對(duì)比圖形時(shí)，立即會(huì)發(fā)現(xiàn)剛才的結(jié)論是錯(cuò)誤的，隨之產(chǎn)生認(rèn)知沖突。

3.概念調(diào)適。“兩個(gè)向量能否比較大??？向量的‘大小’如何表示？記號(hào)AB與AB表示的意義有何區(qū)別？”通過對(duì)這些問題的反思和討論，學(xué)生能認(rèn)識(shí)到先前以向量記號(hào)表示向量“大小”的認(rèn)知是錯(cuò)誤的，進(jìn)而能建立起對(duì)向量記號(hào)的正確認(rèn)知。

最后，需要指出的是，除了概念性、系統(tǒng)性錯(cuò)誤，因?qū)忣}不清、計(jì)算馬虎等原因?qū)е碌腻e(cuò)誤也非常常見，所以，除了糾正學(xué)生的概念性、系統(tǒng)性錯(cuò)誤，還要在平時(shí)的教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)思維的自我監(jiān)控能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)，減少錯(cuò)誤的發(fā)生。

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