摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行整理，能夠幫助學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)之間的異同與內(nèi)在關(guān)聯(lián)變得條理化、層次化和系統(tǒng)化，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。學(xué)生自主進(jìn)行數(shù)學(xué)整理的誤區(qū)有：摘抄課本知識(shí)或練習(xí)錯(cuò)題；記錄、摘抄教學(xué)內(nèi)容；形式化地堆砌知識(shí)點(diǎn)。指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)整理的途徑有：整理章節(jié)體系，理清知識(shí)的來龍去脈；整理認(rèn)知誤區(qū)，弄清錯(cuò)誤的前因后果；整理認(rèn)知視角，形成思路的左勾右連；整理學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，總結(jié)一般規(guī)律。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)整理章節(jié)體系認(rèn)知誤區(qū)認(rèn)知視角

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展本質(zhì)上是自己“悟”出來的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要有知識(shí)建構(gòu)與練習(xí)鞏固，而且要有必要的整理。所謂的“整理”不僅是將不會(huì)解決的問題變成能夠解決的，將錯(cuò)誤的認(rèn)知變成正確的，更重要的是提煉出解題的規(guī)律方法，尋找到知識(shí)的思想內(nèi)涵。

幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)是教學(xué)改革的核心任務(wù)。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中不能對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行有效的整理，導(dǎo)致對(duì)知識(shí)的理解出現(xiàn)碎片化、單一化等不良傾向。于是，筆者嘗試依托具體的問題，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知狀況和思維過程，指導(dǎo)學(xué)生將已有的認(rèn)知內(nèi)容進(jìn)行完善、延伸、梳理、分類、整合，最終集中形成結(jié)構(gòu)性知識(shí)?，F(xiàn)將筆者指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)整理的實(shí)踐與思考整理成文，以饗讀者，敬請(qǐng)指正。

一、指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)整理的意義

我們知道，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，不斷地獲得新知識(shí)；隨著知識(shí)的累積，原先建立起的知識(shí)結(jié)構(gòu)將變得錯(cuò)綜復(fù)雜，容易造成概念錯(cuò)位、思維混亂等現(xiàn)象。教師及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行整理，從知識(shí)的聯(lián)系和整體上進(jìn)行比較和分析，能夠促使學(xué)生對(duì)遺忘的知識(shí)進(jìn)行重現(xiàn)，對(duì)模糊的知識(shí)進(jìn)行辨析，對(duì)混亂的知識(shí)進(jìn)行梳理，讓知識(shí)點(diǎn)之間的異同與內(nèi)在關(guān)聯(lián)在整理中變得條理化、層次化和系統(tǒng)化。

此外，整理的過程需要經(jīng)過梳理、分類、整合等活動(dòng)，在這一系列的活動(dòng)中學(xué)生的學(xué)習(xí)能力將得到發(fā)展。比如，在梳理活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行回顧，并對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，不僅能培養(yǎng)自主復(fù)習(xí)能力，而且能提升自我反思能力；在分類活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行對(duì)比，辨析知識(shí)之間的異同與聯(lián)系，從整體的角度對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，進(jìn)而形成一個(gè)穩(wěn)定牢固的知識(shí)系統(tǒng)，能培養(yǎng)、提升分析能力和抽象能力；在整合活動(dòng)中，學(xué)生按照自己的理解對(duì)所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別進(jìn)行整合，這對(duì)數(shù)學(xué)理解能力、概括歸納能力都是極好的訓(xùn)練契機(jī)。

總之，在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中，筆者越來越體會(huì)到指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行整理的重要性。或許，我們多給學(xué)生一些整理的指導(dǎo)，他們將不僅獲得數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法，而且能獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心與樂趣，從而將以理性和欣賞的心態(tài)面對(duì)數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

二、學(xué)生自主進(jìn)行數(shù)學(xué)整理的誤區(qū)

（一）摘抄課本知識(shí)或練習(xí)錯(cuò)題

有些學(xué)生認(rèn)為，整理就是將課本上出現(xiàn)的概念、定義、公式、定理或練習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)題摘抄到本子上。這樣的整理流于形式，毫無實(shí)質(zhì)內(nèi)容，完全就是文字搬運(yùn)工和美圖工。像這樣沒有經(jīng)過加工與分析的“整理”在自主整理的初始階段比較普遍。

（二）記錄、摘抄教學(xué)內(nèi)容

有些學(xué)生在整理時(shí)，將課堂上教師講解的重點(diǎn)、難點(diǎn)不假思索地記錄下來，將黑板上教師板書的例題原封不動(dòng)地摘抄下來，課后不加以消化與加工，更沒有反思與整合。這樣的“整理”所獲得的知識(shí)必定是一個(gè)個(gè)零星的碎片。將課堂的寶貴時(shí)間消耗在這種摘抄的低效活動(dòng)中是得不償失的。

（三）形式化地堆砌知識(shí)點(diǎn)

還有一些學(xué)生對(duì)知識(shí)理解不到位，缺乏分析能力，整理時(shí)“眉毛胡子一把抓”，只要與某一主題相關(guān)的知識(shí)都一一堆砌起來，不能以明確的標(biāo)準(zhǔn)將這些知識(shí)進(jìn)行歸類，也就沒有消化、分析、整合的過程。由此獲得的認(rèn)知必定是膚淺的，會(huì)導(dǎo)致當(dāng)知識(shí)換個(gè)形式出現(xiàn)時(shí)不能加以辨認(rèn)，出現(xiàn)“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象。

三、指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)整理的途徑

（一）整理章節(jié)體系，理清知識(shí)的來龍去脈

學(xué)習(xí)完一章內(nèi)容或高三一輪復(fù)習(xí)時(shí)，需要讓學(xué)生對(duì)整章內(nèi)容有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)：這一章中有哪些基本概念？這些概念有什么性質(zhì)、結(jié)論？它們之間有什么關(guān)聯(lián)？知識(shí)背后蘊(yùn)藏著什么重要的數(shù)學(xué)思想方法？……為此，需要指導(dǎo)學(xué)生將一整章的知識(shí)點(diǎn)根據(jù)自己的理解整理出來，比如用一張圖（流程圖、樹狀圖、框架圖等）將知識(shí)的關(guān)聯(lián)勾勒出來——不是摘抄一個(gè)個(gè)的知識(shí)點(diǎn)，而是盡可能地按照自己的理解將知識(shí)之間的邏輯關(guān)系呈現(xiàn)出來。在此過程中，可以指導(dǎo)學(xué)生參閱教材以及其他資料。

【案例1】整理“三角函數(shù)”的章節(jié)體系

學(xué)習(xí)了“三角函數(shù)”知識(shí)后，教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用思維導(dǎo)圖進(jìn)行整理，得到圖1。

當(dāng)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)用自己的理解方式一一整理出來時(shí)，教師便可以看出學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的深度，也可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的不足之處，從而為教學(xué)的把控提供有針對(duì)性的參考信息。

（二）整理認(rèn)知誤區(qū)，弄清錯(cuò)誤的前因后果

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，對(duì)某一知識(shí)或問題，需要通過多個(gè)階段才能認(rèn)識(shí)和參悟本質(zhì)。在認(rèn)知的最初階段，先入為主的錯(cuò)誤將影響學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的準(zhǔn)確表征，進(jìn)而，這樣的認(rèn)知隱患將影響學(xué)生對(duì)相關(guān)問題的正確處理。對(duì)此，可以指導(dǎo)學(xué)生整理出認(rèn)知錯(cuò)誤的整個(gè)過程，包括原有認(rèn)知錯(cuò)誤的根源，進(jìn)而，給出相應(yīng)的正確理解方式，為今后的“再學(xué)習(xí)”提供有力的支持。在此過程中，整理錯(cuò)題是常見的形式。

【案例2】整理“利用不等式性質(zhì)求范圍”的認(rèn)知誤區(qū)

學(xué)習(xí)“不等式的性質(zhì)”時(shí)，學(xué)生會(huì)遇到這樣的問題：已知實(shí)數(shù)m、n滿足-1≤m-n≤1，1≤m+n≤3，求m+2n的范圍。對(duì)此，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)典型的錯(cuò)解：因?yàn)?1≤m-n≤1，1≤m+n≤3，所以0≤m≤2，0≤n≤2，所以0≤m+2n≤6。教師可以要求學(xué)生嘗試自行糾錯(cuò)與反思。

學(xué)習(xí)了“線性規(guī)劃”后，教師可以指導(dǎo)學(xué)生作出上述問題中不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖2），由此整理錯(cuò)因：圖中，四邊形DEFG區(qū)域是原本的不等式組所表示的區(qū)域，四邊形OABC區(qū)域是運(yùn)算后的不等式組所表示的區(qū)域，顯然，所求的范圍被擴(kuò)大了。

然后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探討交流上述問題的正確解法（待定系數(shù)法、換元法、線性規(guī)劃法），由此整理方法：以上幾種方法有一個(gè)共同點(diǎn)，就是把m+2n整體化，這樣就不會(huì)產(chǎn)生多余的運(yùn)算以致擴(kuò)大范圍；相比來看，待定系數(shù)法與換元法可行性更高，而線性規(guī)劃法要畫圖，比較復(fù)雜，容易出錯(cuò)。

這樣的錯(cuò)題整理既有對(duì)原有認(rèn)知錯(cuò)誤前因后果的展現(xiàn)，又有對(duì)不同處理方式本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)。學(xué)生再通過自己的理解將對(duì)整個(gè)問題的看法整理出來，由此對(duì)知識(shí)理解的深度自然不是簡(jiǎn)單的抄題訂正所能企及的。

（三）整理認(rèn)知視角，形成思路的左勾右連

學(xué)生理解知識(shí)內(nèi)容是一個(gè)循序漸進(jìn)、螺旋上升的過程，而建立認(rèn)知結(jié)構(gòu)則更是一個(gè)長(zhǎng)期、系統(tǒng)的過程。在不斷地滲透與訓(xùn)練中，教師要經(jīng)常指導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一內(nèi)容（問題）的不同認(rèn)知視角進(jìn)行整理，在獨(dú)立思考和合作交流以及課堂學(xué)習(xí)和課后拓展中，讓學(xué)生逐步形成思路的左勾右連，建立完備的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，獲得整體觀念下的通透認(rèn)識(shí)。

【案例3】整理“解決幾何問題”的認(rèn)知視角

學(xué)習(xí)“解三角形”時(shí)，學(xué)生會(huì)遇到這樣的問題：在△ABC中，已知AB=AC=6，點(diǎn)D在邊AC上，AD=4，BD經(jīng)過△ABC的外心，求BC的長(zhǎng)度。教師可以指導(dǎo)學(xué)生回顧蘇教版教材證明正、余弦定理時(shí)所選取的多個(gè)視角（三角函數(shù)、外接圓、坐標(biāo)法、向量法等），整理解決這道題的方法：

方法1為了顯化“BD經(jīng)過△ABC的外心”這個(gè)條件，可以作AE⊥BC于E，交BD于O（如圖3）。由等腰三角形的性質(zhì)，可得AE平分∠BAC，點(diǎn)E平分邊BC，點(diǎn)O就是△ABC的外心。

在△ABC中，知道AB、AC，要求BC，可以用余弦定理，還缺∠BAC的余弦值（不宜用正弦定理，還缺更多條件）。

在△ABD中，知道AB、AD，還知道AO平分∠BAD，OB=OA，可以嘗試求∠BAD（即∠BAC）的余弦值。由AO平分∠BAD，可得ABAD=OBOD=32，于是可設(shè)∠BAO=∠DAO=α，OB=3k，OD=2k。由OA=OB，可得OA=3k。為了確定2α的余弦值和k的值，可以尋找cos α和k之間的關(guān)系，于是分別在△ABO和△ADO中利用余弦定理，得到cos α=62+（3k）2-（3k）22×6×3k，cos α=42+（3k）2-（2k）22×4×3k。消去cos α，解得k=2510。

下面，可以代入求得cos α，進(jìn)而求得cos 2α、BC；也可以求得BD，進(jìn)而求得cos 2α、BC。過程省略，最終求得cos 2α=14，BC=36。

方法2作AO⊥BC，交BD于O，則點(diǎn)O是△ABC的外心。作△ABC的外接圓O，交BD延長(zhǎng)線于E，連接EC（如圖4）。

由AO平分∠BAD，可得ABAD=OBOD=32，可設(shè)OB=3k，OD=2k。由OA=OB，可得OA=3k。由AO⊥BC，EC⊥BC，可得AO∥EC，從而ADDC=ODDE=AOEC=21，可得DE=k，EC=32k。

在⊙O內(nèi)，由相交弦定理可得BD×DE=AD×DC，即5k×k=4×2，即5k2=8。在Rt△BCE中，BC2=BE2-EC2=36k2-94k2=274×5k2=54，即BC=36。

方法3建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)C（m，0）、A（0，n），則D23m，13n，B（-m，0），得直線BD的方程為y=n5mx+

n5，則E0，n5，則EB=EA=45n。

在Rt△ABO中，由勾股定理得m2+n2=36。在Rt△EBO中，由勾股定理得m2+n225=1625n2，即n2=53m2。兩式聯(lián)立，解得m=326，故BC=36。

方法4在圖3中有四組三點(diǎn)共線，且都可得點(diǎn)分線段的比例關(guān)系。考慮到AO=BO，選取其中的兩組，得到向量的線性表示：由B、O、D三點(diǎn)共線，且OBOD=32，得AO=25AB+35AD；由A、O、E三點(diǎn)共線，且OAOE=41，得BO=15BA+45BE。

由AO2=BO2，可得425AB2+925AD2+1225AB·AD=15BA·BO+45BE·BO。又AB=6，AD=4，BE=12BC，可得14425+14425+28825cos∠BAD=185+15BC2，即198+288cos∠BAD=5BC2①。

在△ABC中，由余弦定理，可得72-72cos∠BAC=BC2②。

聯(lián)立①②（∠BAD=∠BAC），解得cos∠BAC=14，BC=36。

然后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析比較上述方法，由此整理認(rèn)知視角：方法1是解三角形視角（利用三角函數(shù)），是最基本的方法，運(yùn)用了教材中的基本模型（蘇教版必修5第10頁例2、第16頁例6），蘊(yùn)含了“算兩次”和“解方程”的數(shù)學(xué)思想；方法2是“純幾何”視角（利用外接圓），關(guān)鍵是充分利用圓的性質(zhì)，不涉及“角”，比較巧妙，但不容易想到，可以作為方法1的“錦上添花”之作；方法3是解析幾何視角（坐標(biāo)法），關(guān)鍵是大膽設(shè)點(diǎn)，不涉及“角”，比較方便，且較容易想到；方法4是平面向量視角（向量法），關(guān)鍵是抓住三點(diǎn)共線，利用基本量線性表示，將向量關(guān)系數(shù)量化，蘊(yùn)含了“算兩次”和“解方程”的數(shù)學(xué)思想，但是似乎運(yùn)算量較大。

（四）整理學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，總結(jié)一般規(guī)律

學(xué)習(xí)需要總結(jié)，尤其是解題活動(dòng)，無論成功還是失敗都不是最關(guān)鍵的，學(xué)會(huì)反思總結(jié)，提取出相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)作為后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，才是最關(guān)鍵的。為此，教師可以給學(xué)生充分的自由，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自身的理解，選用合適的方式，整理學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，總結(jié)其中的一般規(guī)律。

【案例4】用打油詩整理解題經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)

完成了一些不等式恒成立的問題后，筆者指導(dǎo)學(xué)生用打油詩整理解題經(jīng)驗(yàn)：遇到恒成立，方法要選對(duì)；先把函數(shù)看，單調(diào)最好解；若非單調(diào)也無妨，圖像畫出來幫忙；分離變量是通法，再無思路全靠它。

訂正了一些有關(guān)解三角形的習(xí)題后，筆者指導(dǎo)學(xué)生用打油詩整理解題教訓(xùn)：解形需從多角度，邊角互化形伴數(shù)；向量坐標(biāo)和定理，焉知“幾何”巧妙處？

學(xué)生用打油詩將解題經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)總結(jié)得精準(zhǔn)到位、頗有韻味。這樣的整理肯定是學(xué)生經(jīng)過切身體會(huì)后的有感而發(fā)，俏皮活潑中不失數(shù)學(xué)本真，富含文采中不缺數(shù)學(xué)理性。由此學(xué)生獲得的解題經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)必將是深刻而牢固的。

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