廣東省汕頭市潮陽(yáng)區(qū)谷饒中學(xué)(515159) 張應(yīng)武

培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的一點(diǎn)做法

廣東省汕頭市潮陽(yáng)區(qū)谷饒中學(xué)(515159) 張應(yīng)武

數(shù)學(xué)源于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)踐,數(shù)學(xué)理論是人們?cè)谘芯渴澜绲目臻g形式和數(shù)量關(guān)系的過程中,通過科學(xué)的抽象而逐步發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的,它具有準(zhǔn)確性、嚴(yán)密性、邏輯性和抽象性等品格,但它之所以能長(zhǎng)盛不衰不斷發(fā)展,主要還是由于它能用來解決實(shí)際問題.在平時(shí)的教學(xué)過程中,很多老師都有這種感覺:許多學(xué)生盡管對(duì)解決純數(shù)學(xué)問題得心應(yīng)手,然而一旦遇到實(shí)際問題便束手無策,而當(dāng)教師把這些問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模式,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表述后,學(xué)生便恍然大悟,很快解決問題.原因就在于數(shù)學(xué)教學(xué)只偏重對(duì)具體數(shù)學(xué)形式和技巧的盲目追求,忽視了對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力的培養(yǎng),使得相當(dāng)多的中學(xué)生未能接受到他們所需要的數(shù)學(xué)教育.

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就不僅只是為了升學(xué)的需要,而更主要的是為學(xué)生的生活和就業(yè)提供必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能.因而在具體的教學(xué)實(shí)踐中,教師就需要教給學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的方法,有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的培養(yǎng),使學(xué)生能夠?qū)W以致用,讓學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值,從而激發(fā)他們努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)力.

要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力,就要在學(xué)生認(rèn)真掌握好數(shù)學(xué)基本概念、基本知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上,大力加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的能力,教會(huì)學(xué)生把表述實(shí)際問題的自然語(yǔ)言翻譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言.在此基礎(chǔ)上,在適當(dāng)?shù)臅r(shí)間和適當(dāng)?shù)膱?chǎng)合,介紹數(shù)學(xué)史上將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的一些實(shí)例,能大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性,使他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力得到進(jìn)一步強(qiáng)化.現(xiàn)舉例說明.

例1博爾達(dá)計(jì)分法問題

在一次選舉中,共有四位選民和五位候選人,選民依他們對(duì)候選人喜好的程度,將候選人從上到下排列如下表,問哪一個(gè)當(dāng)選?

選民1 2 3 4 A A A B B B B C候選人排列順序C C C D D D D E E E E A

解決這個(gè)問題主要是要給出理由依據(jù),即把這個(gè)問題數(shù)學(xué)化,也即量化,但如何數(shù)學(xué)化呢?

1770年法國(guó)數(shù)學(xué)家博爾達(dá)(Jean Charles de Borda)提出一套排列候選人順序的計(jì)分辦法.博爾達(dá)計(jì)分法的操作,可用下面的表格來說明.在表格中,共有四位選民和五位候選人,選民依他們對(duì)候選人喜好的程度,將候選人從上到下排列,排列在越高位置的候選人,得分越高.

選民1 2 3 4得4分A A A B得3分B B B C得2分C C C D得1分D D D E得0分E E E A

候選人A共得12分,B得13分,C得9分,D得5分,E得1分.因此,根據(jù)博爾達(dá)計(jì)分法,最理想的排列順序是:B, A,C,D,E.

這個(gè)問題能推廣到n個(gè)村民選舉m個(gè)候選人的一般情況,只需把得分修改就行.

這種方法用到的知識(shí)不是很高深,但卻能解決問題,即把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.這種方法還能夠推廣,如有四只寶馬A、B、C、D進(jìn)行4輪的比賽,成績(jī)?nèi)缦?

輪次名次①②③④23 B 2 142 C 4 411 D 3 234 A 13

問:哪一只寶馬比較好?

按照博爾達(dá)計(jì)分法可以這么操作:第一名得3分,第二名得2分,第三名得1分,第4名得0分,則A得7分,B得7分,C得6分,D得4分.A和B的成績(jī)一樣.我們可以改變得分:第一名得5分,第二名得3分,第三名得1分,第4名得0分,則A得10分,B得11分,C得10分,D得5分.這樣B是成績(jī)最好的.

同樣,這個(gè)問題也可以推廣到一般的情況(n只馬進(jìn)行m次的比賽).

問題還可以推廣到團(tuán)體的總積分的計(jì)算,如計(jì)算一個(gè)體育代表團(tuán)的總積分問題(給第一名、第二名、第三名等賦相應(yīng)的值就可以計(jì)算了).

例2哥尼斯堡七橋問題

圖1

在18世紀(jì),普魯士的哥尼斯堡城(現(xiàn)立陶宛共和國(guó))的許多人熱衷于一個(gè)難題:在哥尼斯堡鎮(zhèn)有一個(gè)島,普雷格爾河兩支繞流其旁,七座橋a,b,c,d,e,f,g跨這兩條支流(如圖1所示).問:一個(gè)人怎樣走,才能一次走遍七座橋,且每座都只經(jīng)過一次.很多人都想解決這個(gè)難題,但年復(fù)一年,誰(shuí)也找不到答案.這個(gè)問題表面看起來跟數(shù)學(xué)毫不相干,但是數(shù)學(xué)大師歐拉卻在1736年用數(shù)學(xué)方法證明了這樣的走法是不存在的.歐拉的方法非常巧妙,也非常簡(jiǎn)單.他發(fā)現(xiàn),在這個(gè)問題中A,B,C,D四塊陸地的大小和橋的長(zhǎng)短、河的寬窄等都無關(guān)緊要,因而A,B,C,D可以抽象為平面上的四個(gè)點(diǎn),而七座橋可以抽象為連接這四個(gè)點(diǎn)的線條,如圖3這樣,問題就變?yōu)?能否一筆畫出圖3中的圖形,即筆不離紙,每個(gè)點(diǎn)、每條線都經(jīng)過,且每條線都不重復(fù)?

歐拉把像圖3那樣由若干個(gè)點(diǎn)和連接這些點(diǎn)的若干條線組成的圖形稱為“網(wǎng)絡(luò)”,把線的交點(diǎn)叫“頂點(diǎn)”.如果一個(gè)頂點(diǎn)有奇(偶)數(shù)條線相交,這個(gè)頂點(diǎn)就叫做奇(偶)點(diǎn).歐拉證明了:一個(gè)網(wǎng)絡(luò)能夠一筆畫出的充要條件是該網(wǎng)絡(luò)中奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0或2.顯然,圖3中4個(gè)頂點(diǎn)都是奇點(diǎn).所以圖3不可能一筆畫出來,即滿足原題中條件的走法是不存在的.這種方法導(dǎo)致了一門嶄新的數(shù)學(xué)分支——圖論(起初歐拉稱為位置幾何學(xué))的誕生,也為拓?fù)鋵W(xué)的建立奠定了基礎(chǔ).圖論和拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展,又為生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究中的各種新問題的解決提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具.

例3斯坦納最短距離問題

1 9世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家斯坦納根據(jù)生產(chǎn)實(shí)踐的需要,研究了一個(gè)看起來雖然簡(jiǎn)單,但卻很有實(shí)用價(jià)值的問題:在三個(gè)村莊之間建立一個(gè)供水站,為了讓用水的人方便,并且所用水管最省,問:怎樣確定供水站的位置?

換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是:設(shè)A,B,C是平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn),求△ABC內(nèi)的一點(diǎn)M,AM+BM+CM最小.

這個(gè)問題還可以推廣為:在A,B,C三個(gè)村莊間建一座供水站,已知通往各個(gè)村莊的水管造價(jià)分別為(單位:元／米)m,n,r,問供水站應(yīng)建在何處,才能使總造價(jià)最低?換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是,在△ABC內(nèi)求一點(diǎn)M,使mAM+nBM+rCM最小.

問題還可變化為:設(shè)A,B,C三個(gè)村莊分別有學(xué)生200人,300人,400人要在三個(gè)村莊間建立一所學(xué)校M,使所有學(xué)生在上學(xué)時(shí)所走的總路程最短.

換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是:在△ABC中求一點(diǎn)M,使200AM+300BM+400CM最小.

盡管上述三個(gè)問題各有不同的實(shí)際意義,但化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言后可以看出,它們的實(shí)質(zhì)都是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題:設(shè)m,n,r為常數(shù),在△ABC內(nèi)求一點(diǎn)M,使mAM+nBM+rCM最小.第一個(gè)問題是的特殊情形.

數(shù)學(xué)的強(qiáng)大功能之一,就在于它能將形式各異的實(shí)際問題抽象出共同的本質(zhì)特征,而用相同的數(shù)學(xué)方法來解決不同的實(shí)際問題,如何從自然語(yǔ)言到數(shù)學(xué)語(yǔ)言是轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵,在于把三個(gè)村莊、供水站或?qū)W校抽象為平面上的三個(gè)已知點(diǎn)和一個(gè)未知點(diǎn);把連接村莊的水管或?qū)W生所走的路徑,抽象為連接點(diǎn)的線段.實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題,就能夠運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決.

從以上幾個(gè)實(shí)例可以看出,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵,在于把表述實(shí)際問題所用的自然語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言.而要做到這一點(diǎn),就需要進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)抽象.

此外,還可以向?qū)W生介紹“航船相遇問題”、“韓信點(diǎn)兵”、“獄吏問題”和其他典型例題,也能大大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)機(jī),改變他們對(duì)數(shù)學(xué)“抽象”、“神秘”、“無用”的看法,消除他們對(duì)解決應(yīng)用題的畏難情緒,讓他們轉(zhuǎn)而迷戀應(yīng)用題,從而形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良性循環(huán).

日本教育家杉山吉茂先生說過:“數(shù)學(xué)帶有人類社會(huì)有價(jià)值的東西,因此數(shù)學(xué)必須有用途和益處,這種用途和益處本來是應(yīng)該教應(yīng)該學(xué)的,可是在教學(xué)過程中往往忘掉這一點(diǎn)而陷入技能的熟練之中,使人感到數(shù)學(xué)是討厭的、是與自身無關(guān)的思維游戲而已”.數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐說明,教師在教學(xué)中充分注意引導(dǎo)學(xué)生去追求數(shù)學(xué)的價(jià)值和美,必定能夠促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生極大的學(xué)習(xí)欲望,而不再停留于為應(yīng)付升學(xué)考試去死記硬背數(shù)學(xué)概念、公式、定理.這樣,無論他們將來繼續(xù)升學(xué)與否,數(shù)學(xué)都會(huì)使他們受益終生.

[1]張卿,妙趣橫生的數(shù)學(xué)難題[M],天津:天津人民出版社,1980.