廈門市海滄中學(xué)(361028) 藍(lán)文英

一道中考題的解法分析與教學(xué)思考

廈門市海滄中學(xué)(361028) 藍(lán)文英

1 試題呈現(xiàn)

(廈門卷第 25題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知 點(diǎn)A(1,m+1),B(a,m+ 1),C(3,m+3),D(1,m+a),m＞0,1＜a＜3,點(diǎn)P(n?m,n)是四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),且△PAD與△PBC的面積相等,求n?m的值．

圖1

2 優(yōu)點(diǎn)解讀

2.1 能力立意,數(shù)形結(jié)合

本題立足能力,涵蓋知識(shí)點(diǎn)多,綜合性強(qiáng),具有較高的思維含量,考察學(xué)生的觀察能力和基本經(jīng)驗(yàn)與技能.以圖形為載體,要求學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)感,能夠借助圖形,透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì),利用幾何直觀進(jìn)行知識(shí)遷移.既檢測(cè)學(xué)生的推理判斷能力,又考查數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想,試題具有很深的立意與延展性功能.

2.2 圖形簡(jiǎn)潔,凸顯思維

本題以四邊形為背景,文字簡(jiǎn)約,圖形簡(jiǎn)潔,但卻蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的核心思維.能否通過(guò)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)建立四邊形邊與邊、邊與坐標(biāo)軸以及點(diǎn)P與四邊形的頂點(diǎn)、邊、對(duì)角線的聯(lián)系,能否借助面積相等構(gòu)造方程模型,能否通過(guò)幾何直觀、空間想象、圖形變換聯(lián)想箏形ABCD是軸對(duì)稱圖形而AC恰巧是對(duì)稱軸,能否通過(guò)輔助線的添加探索點(diǎn)P的位置,能否透過(guò)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在直線AC上,建立函數(shù)模型.這無(wú)疑對(duì)考生有較高的思維要求以及借助已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力.

2.3 形式創(chuàng)新,解法多樣

在平面直角坐標(biāo)系中研究圖形變換是本題的一大特色,整個(gè)圖形蘊(yùn)藏著大量的數(shù)量關(guān)系,為學(xué)生解決問(wèn)題提供了豐富的思維源泉.借助坐標(biāo)系無(wú)疑打通了幾何與代數(shù)的橋梁,由形推數(shù),由數(shù)及形,相得益彰.從位置關(guān)系、圖形關(guān)系的探究到數(shù)量關(guān)系的探究,從而衍生的解決問(wèn)題的方法不僅多樣而且新穎,精巧.一題多解、一法多用,豐富精彩的解法最終以不變應(yīng)萬(wàn)變,充分發(fā)展學(xué)生的思維能力.

3 試題多解

結(jié)合圖形分析題目條件,不難發(fā)現(xiàn)本題的突破口是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想及方程、函數(shù)思想,下面從“幾何直觀”這一核心素養(yǎng)建立不同的形與數(shù)的關(guān)系以及利用數(shù)形關(guān)系深入探析多種解法.

3.1 構(gòu)建模型意識(shí),立足常規(guī)解法

圖2

解法1: 如圖 2,過(guò)點(diǎn)P作PQ//AB交BC于點(diǎn)Q,延長(zhǎng)QP交AD于點(diǎn)E,則依題意得PE⊥AD,∵A(1,m+ 1)、B(a,m+1)、C(3,m+3),D(1,m+a),P(n?m,m),m＞0,1＜a＜3,∴AB//x軸,AD//y軸,E(1,n),AB=AD=a?1,AB⊥AD,∴PE=n?m?1,∴

又∵S△PAD=S△PBC,∴①式和②式相等,比較分子即可.又∵1＜a＜3∴a?1/=0,∴?(n?m?3)=n?m?1.∴n?m=2.本法屬于常規(guī)解法,借助三角形面積相等,構(gòu)建方程以及函數(shù)模型,學(xué)生利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn),立足通性通法,把未知量轉(zhuǎn)化為已知量,充分考察學(xué)生的識(shí)圖能力和數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.

3.2 借助數(shù)學(xué)結(jié)合,搭數(shù)形數(shù)橋梁

妙法簡(jiǎn)析: 如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則CE=xC?xD=3?1=2,CF=yC?y?B=(m+3)?(m+1)=2,∴CE=CF,同理ED=BF=3?a,∴Rt△CDE～=Rt△CFB(SAS),從而CB=CD.又∵AB//x軸,AD//y軸,∴AB⊥AD,又∵A(1,m+1)B(a,m+1)、D(1,m+a),∴AB=AD=a?1.因此,四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形,AC是對(duì)稱軸,且AC是BD的垂直平分線.不難發(fā)現(xiàn),四邊形ABCD也是箏形ABCD.接下來(lái),確定點(diǎn)P的位置,通過(guò)挖掘點(diǎn)P與頂點(diǎn)A、B、C、D的關(guān)聯(lián)(即點(diǎn)坐標(biāo)的特征),挖掘點(diǎn)P與四邊形ABCD邊的關(guān)聯(lián)(即邊的特征),挖掘點(diǎn)P與四邊形對(duì)角線AC、BD的關(guān)聯(lián)(即形的特征)可衍生三種巧妙解法.

圖3

解法2:如圖4,∵A(1,m+ 1),C(3,m+3),P(n?m,m),觀察發(fā)現(xiàn)這三點(diǎn)的坐標(biāo)有個(gè)共同特點(diǎn):縱坐標(biāo)=橫坐標(biāo)+m,這就說(shuō)明點(diǎn)P在直線AC上,并且直線AC的解析式為y=x+m(或利用待定系數(shù)法驗(yàn)證求得).又∵1＜a＜3∴a?1/=0,∴n?m?1=1,∴n?m=2.

圖4

解法3:如圖5,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥DA,PN⊥AB,垂足分別為點(diǎn)M和點(diǎn)N.∵P(n?m,m),∴點(diǎn)P到邊AD的距離PM=?m?1,點(diǎn)P到邊AB的距離PN=n?m?1,∴PM=PN,∴點(diǎn)P在的角∠DAB平分線上,即點(diǎn)P在對(duì)稱軸AC上.由對(duì)稱性進(jìn)一步得到S△PAD=S△PAB,又由已知條件S△PAD=S△PBC,∴S△PAD=S△PAB=S△PBC=S△PDC,∴點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)上.根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式:

圖5

解法4:如圖5,觀察點(diǎn)P與對(duì)角線的關(guān)聯(lián),點(diǎn)P是否在AC、BD上,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定點(diǎn)P是否在直線上的函數(shù)問(wèn)題.設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k/=0),∵A(1,m+1)、C(3,m+3),根據(jù)待定系數(shù)法,求得直線AC的解析式為y=x+m,又∵P(n?m,m),顯然點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足直線AC的解析式為y=x+m,因此判定點(diǎn)P必然在AC上.故而,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥DA,PN⊥AB,垂足分別為點(diǎn)M和點(diǎn)N.∵P(n?m,m),∴點(diǎn)P到邊AD的距離PM=n?m?1,點(diǎn)P到邊AB的距離PN=n?m?1,∴PM=PN=n?m?1,又∵AB=AD,同底等高所以有S△PAD=S△PAB,又由已知條件即

解法5:觀察點(diǎn)P與對(duì)角線的關(guān)聯(lián),點(diǎn)P是否在AC、BD上,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定點(diǎn)P是否在直線上的函數(shù)問(wèn)題.設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k/=0),∵A(1,m+1)、C(3,m+3),根據(jù)待定系數(shù)法,求得直線AC的解析式為y=x+m,又∵P(n?m,m),顯然點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足直線AC的解析式為y=x+m,因此判定點(diǎn)P必然在AC上.由于一三象限的角平分線為直線y=x,因?yàn)閙＞0,將直線y=x向上平移m個(gè)單位就得到直線AC∶y=x+m,顯然兩條直線平行,因此AC平分∠DAB,無(wú)需作輔助線PM、PN.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和已知條件S△PAD=S△PBC,

解法2至5屬于個(gè)性解法中的妙解,觀察分析四邊形ABCD頂點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn),從“點(diǎn)坐標(biāo)的特征”探究出四邊形“邊的特征”,進(jìn)而獲得整個(gè)四邊形“形的特征”,層層遞進(jìn),思維螺旋上升.正如著名數(shù)學(xué)家徐利治教授所言:“幾何直觀是借助見(jiàn)到或者想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直覺(jué)感知.”即借助幾何直觀:“用坐標(biāo)去還原圖形,搭建形和數(shù)的橋梁”.以上巧解要求學(xué)生擁有較強(qiáng)的數(shù)感和空間觀念、直觀想象以及扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本經(jīng)驗(yàn),不同的切入點(diǎn)體現(xiàn)不同的思維層次,也充分體現(xiàn)命題者借助幾何直觀利用圖形描述、理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的考察意圖.

4 教學(xué)思考

4.1 滲透幾何直觀,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚是這樣描述數(shù)和形的關(guān)系:“數(shù)形本是相倚依,焉能分作兩邊飛;數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休”,真可謂一語(yǔ)中的.的確,解題的過(guò)程不僅是演繹推理的過(guò)程,更是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程,理性的邏輯分析固然重要,但那靈光一閃般的數(shù)感或直覺(jué)更加難能可貴.數(shù)感扎根于幾何直觀、基本經(jīng)驗(yàn)、基本思想.一道題最容易想到什么,結(jié)合圖形獲得猜想,靠直覺(jué)或數(shù)感“識(shí)骨尋蹤”,從而找到解決問(wèn)題的突破口.在直觀想象和空間觀念的推動(dòng)下,經(jīng)歷觀察、猜想、探究、驗(yàn)證,思維呈梯度上升,直擊問(wèn)題核心.比如本題就是看到四邊形ABCD的形狀立馬聯(lián)想到邊AB=AD、CD=CB,進(jìn)而驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD果然是軸對(duì)稱圖形,點(diǎn)P的位置確定則呼之欲出.因此,“直觀想象后的理性分析”顯得尤為重要,是直達(dá)學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的最短路徑,所以在實(shí)際教學(xué)中,教師應(yīng)有意識(shí)的滲透幾何直觀,創(chuàng)造數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生個(gè)體親身經(jīng)歷,在創(chuàng)造體會(huì)中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),提高幾何素養(yǎng).

4.2 突破思維僵局,觸及幾何本質(zhì)

盲目的“刷題”無(wú)疑會(huì)阻礙學(xué)生思維的發(fā)展,只有建立在多角度、多方位、多元化思維的基礎(chǔ)上的“觸類旁通式”解題才能激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,并促進(jìn)思維更深層次發(fā)展.一題多解、一題多變、一法多用正是幾何題的魅力.無(wú)論是自然解法還是個(gè)性解法,都立足于扎實(shí)的幾何基本知識(shí)與識(shí)圖能力.本題就是一個(gè)很好的詮釋,比如觀察四邊形ABCD頂點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn),得到AB//x軸,AD//y軸并且AB=AD;而觀察C、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo),通過(guò)不規(guī)則四邊形補(bǔ)形為正方形或作垂直構(gòu)造Rt△、證全等得到CD=CB,進(jìn)而獲得“四邊形邊的特征”,這便是解這道題的基石.在直角坐標(biāo)系中研究圖形的數(shù)量特征,用坐標(biāo)還原圖形,如果解法1是常規(guī)解法,那么解法2至5則開(kāi)始打破常規(guī)思維,不僅思考問(wèn)題的角度多元化,思維更是得到發(fā)散與延展.因此,教師在平時(shí)的解題教學(xué)中,不僅要引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)闊思路,強(qiáng)化幾何直觀意識(shí),積累基本經(jīng)驗(yàn)和技能,拔高思維層次,實(shí)現(xiàn)解題最優(yōu)化.

5 結(jié)語(yǔ)

幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)提出的一個(gè)核心概念,它是借助圖形和空間觀念描述與分析問(wèn)題的輔助手段,可以使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化,是代表圖形與幾何的核心素養(yǎng).與知識(shí)技能的學(xué)習(xí)不同,它是通過(guò)學(xué)生在不斷解決問(wèn)題的過(guò)程中慢慢“感悟與滋養(yǎng)”而來(lái).因此,教師在實(shí)際教學(xué)中,需要為學(xué)生提供一片沃土讓其生根、發(fā)芽.

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組.義烏教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012

[2]章建躍,薛彬.義務(wù)教育教科書.數(shù)學(xué)(八年級(jí)下冊(cè))[M].人民教育出版社,2015

[3]王忠剛,王志進(jìn).一題多法的產(chǎn)生力求自然[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:中旬,2016(3):40-41

[4]黃祥勇,榮彬.基于“直觀想像”核心素養(yǎng)的教學(xué)啟示[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:中旬,2016(9):55-58