廣州市二中蘇元實(shí)驗(yàn)學(xué)校(510000) 王碧瑩

追根溯源 生成概念
——HPM視角下的初中函數(shù)概念的教學(xué)

廣州市二中蘇元實(shí)驗(yàn)學(xué)校(510000) 王碧瑩

函數(shù)是描述千變?nèi)f化的現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系中最基本、最重要的數(shù)學(xué)模型,函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的中心概念之一．但是,由于函數(shù)是人類對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)由相對(duì)靜態(tài)上升到動(dòng)態(tài)的飛躍,比較抽象,而八年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平還處于具體運(yùn)算和形式運(yùn)算的過渡發(fā)展階段,因此,函數(shù)概念是初中學(xué)生學(xué)習(xí)過程中最困難的概念之一,初中函數(shù)概念的教學(xué)是一線老師關(guān)注的熱點(diǎn)．

HPM,即History and Pedagogy of Mathematics,是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的簡(jiǎn)稱．?dāng)?shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的研究是HPM領(lǐng)域的重要方向之一,是為滿足提高數(shù)學(xué)效率而運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的一種教學(xué)理念[1]．最近,筆者觀摩了林俊偉老師執(zhí)教的人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)“函數(shù)與變量”(第1課時(shí))[2],引發(fā)筆者對(duì)初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的進(jìn)一步思考,與同行交流．

1 活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.1 聯(lián)系實(shí)際,問題引入

問題1.票房收入問題:每張電影票的售價(jià)為50元．(1)若一場(chǎng)售出150張電影票,則該場(chǎng)的票房收入是____元;

(2)若一場(chǎng)售出205張電影票,則該場(chǎng)的票房收入是____元;

(3)若一場(chǎng)售出x張電影票,則該場(chǎng)的票房收入y元,則y=___.

思考:

(1)票房收入隨售出的電影票變化而變化,即y隨___的變化而變化;

(2)當(dāng)售出票數(shù)x取定一個(gè)確定的值時(shí),對(duì)應(yīng)的票房收入y的取值是否唯一確定?

(例如,當(dāng)x=150時(shí),y的取值是唯一、還是有多個(gè)值?)答:_______．

問題2.路程問題:汽車以60km/h的速度勻速行駛,行駛路程為skm,行駛時(shí)間為th,填寫下表:(表1)

表1

思考: (1)行駛路程隨行駛時(shí)間變化而變化,即s隨____的變化而變化;

(2)若汽車行駛th,行駛的路程為skm,則s=____.

(3)當(dāng)行駛時(shí)間t取定一個(gè)確定的值時(shí),對(duì)應(yīng)的行駛路程s的取值是否唯一確定?

(例如,當(dāng)t=10時(shí),s的取值是唯一、還是有多個(gè)值?)答:________．

問題3. 圖形問題:你見過水的漣漪嗎?如圖1,圓形水波慢慢地?cái)U(kuò)大,在這一過程中,當(dāng)圓的半徑r分別為10cm,20cm,30cm時(shí),圓的面積S分別為多少?

圖1

思考:

(1)圓的面積隨半徑變化而變化,即S隨的變化而變化;

(2)若半徑為rcm,圓的面積為S,則S=____.

(3)當(dāng)半徑r取定一個(gè)確定的值時(shí),對(duì)應(yīng)圓的面積S的取值是否唯一確定?(例如,當(dāng)t=10時(shí),s的取值是唯一、還是有多個(gè)值?)答:________．

設(shè)計(jì)意圖: 挖掘和利用實(shí)際生活中與變量有關(guān)的問題情境,讓學(xué)生經(jīng)歷探索具體情境中兩個(gè)變量關(guān)系的過程,直接獲得探索變量關(guān)系的體驗(yàn).

1.2 交流探索,初步感知函數(shù)

問題1. 上述三個(gè)問題中,分別涉及哪些量的關(guān)系?通過哪一個(gè)量可以確定另一個(gè)量?

問題2. 請(qǐng)具體指出上面這些問題中,哪些量是變量,哪些量是常量.

問題3. 在前面的每個(gè)問題中,有幾個(gè)變量?同一個(gè)問題中的變量之間有什么聯(lián)系?

在學(xué)生充分發(fā)表自己意見的基礎(chǔ)上師生歸納:上面的每個(gè)問題中的兩個(gè)變量互相聯(lián)系,當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí),另一個(gè)變量就有唯一確定的值.并給出函數(shù)概念.

(結(jié)合函數(shù)概念的形成,老師同步PPT展示函數(shù)的史料)

數(shù)學(xué)史料1——函數(shù)的萌芽階段

公元前4000年左右就有了函數(shù)最原始的形態(tài)．14世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家奧雷姆在表示隨時(shí)間t而變化的變數(shù)x時(shí)畫出圖形,其中心思想就是用圖形來(lái)表示一個(gè)變量的本質(zhì),它依賴于另一個(gè)量．17世紀(jì),這種方法被天文學(xué)家開普勒和伽利略應(yīng)用于天體運(yùn)行方面的研究,伽利略關(guān)于自由落體等的研究始終包含著兩個(gè)量同時(shí)變化的思想,這些語(yǔ)言被視為早期函數(shù)的雛形．函數(shù)一詞最初出現(xiàn)在萊布尼茨寫于1673年的手稿中,它用來(lái)表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的幾何量．1714年,萊布尼茨在《微分學(xué)的起源與歷史》中,用“函數(shù)”一詞來(lái)表示依賴于一個(gè)變量的量．1748年,大數(shù)學(xué)家歐拉在《無(wú)窮分析引論》中下的函數(shù)定義為:“一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式[3]．

設(shè)計(jì)意圖:在數(shù)學(xué)史上,數(shù)學(xué)家們對(duì)函數(shù)的最初認(rèn)識(shí)就是從兩個(gè)相互依賴的量開始,認(rèn)為函數(shù)就是由一個(gè)變量依賴于另一個(gè)變量的解析式,而我們學(xué)生在初中所學(xué)的函數(shù)概念就是這樣一個(gè)變量說,因此學(xué)生對(duì)這3個(gè)例子是完全熟悉的,也是能理解的．選材既貼近學(xué)生的生活,符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展,降低理解難度,又遵循了人類歷史上對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)過程,即數(shù)學(xué)家最先認(rèn)識(shí)到的是兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)史的引入使學(xué)生的認(rèn)知更豐盈．

1.3 動(dòng)手實(shí)驗(yàn),加深體驗(yàn)

問題1. 如圖2,是撫順春季某一天的氣溫T隨時(shí)間t變化的圖象,看圖回答:

圖2

(1)這天的 8時(shí)的氣溫是____℃,14時(shí)的氣溫是______℃,22時(shí)的氣溫是___℃;

(2)這一天中,最高氣溫是____℃,最低氣溫是____℃;

(3)這一天中,在4時(shí)～12時(shí),氣溫( ),在12時(shí)～14時(shí)氣溫( ),在16時(shí)～24時(shí),氣溫( ).

A.持續(xù)升高 B.持續(xù)降低 C.持續(xù)不變

思考:

(1)天氣溫度隨的變化而變化,即T隨____的變化而變化;

(2)當(dāng)時(shí)間t取定一個(gè)確定的值時(shí),對(duì)應(yīng)的溫度T的取值是否唯一確定?

(例如,當(dāng)t=12時(shí),所得溫度T的取值是唯一、還是有多個(gè)值?)答:_______．

問題2.表2,我國(guó)人口數(shù)統(tǒng)計(jì)表中,年份與人口數(shù)可以分別記作兩個(gè)變量x與y,對(duì)于表中每一個(gè)確定的年份x,都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的人口數(shù)y嗎?

表2

問題3.用10米長(zhǎng)的繩子圍成一個(gè)矩形,當(dāng)矩形的一邊長(zhǎng)x分別為3米,3.5米,4米時(shí),它的鄰邊長(zhǎng)y分別為多少?y的值隨x的值的變化而變化嗎?對(duì)于x的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)嗎?

問題4. 指出以上問題中的常量、變量,每個(gè)問題分別有幾個(gè)變量?在每一個(gè)問題中,哪個(gè)是自變量?你能將其中的某個(gè)變量看成是另一變量的函數(shù)嗎?(隨著問題的提出,老師同步PPT展示函數(shù)的史料)

數(shù)學(xué)史料2——函數(shù)的發(fā)展階段:

就在歐拉給出函數(shù)的解析式定義不久,他自己也發(fā)現(xiàn)了其局限性,認(rèn)為圖2、表2這類雖寫不出變量間的解析式,但仍是兩變量間的相互依賴關(guān)系,也應(yīng)該是函數(shù)．于是在1755年的《微分學(xué)原理》序言中,歐拉給出了更一般的定義:如果某些量依賴于另一些量,當(dāng)后面這些量變化時(shí),前面這些變量也隨之變化,則前面的量稱為后面的量的函數(shù)．這里,歐拉明確地表述了變量之間相互依賴的變化關(guān)系,使人們對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)在嚴(yán)密性上前進(jìn)了一大步,它反映了數(shù)學(xué)對(duì)現(xiàn)實(shí)關(guān)系的摹寫上的進(jìn)化．

設(shè)計(jì)意圖: 來(lái)自于實(shí)際生活中的三個(gè)例子,學(xué)生能理解．在學(xué)生的心中,最開始跟大多當(dāng)年的數(shù)學(xué)家起初的認(rèn)識(shí)一樣,以為函數(shù)必須要有解析式,否則就不是．而圖2,表2的例子就給了學(xué)生直觀的沖擊,雖變量間寫不出解析式,但仍有依賴關(guān)系,這樣開始過渡到“對(duì)應(yīng)”的思想,讓學(xué)生更深刻地體會(huì)到函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示方法有解析式法、圖象法、列表法,有利于學(xué)生正確地掌握函數(shù)概念．?dāng)?shù)學(xué)史料引起學(xué)生的共鳴,讓學(xué)生在與史上數(shù)學(xué)家相同的經(jīng)歷中加深對(duì)概念的理解．

1.4 概念辨析,深化理解

問題1. 如表3,是某班同學(xué)一次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)登記表:這一數(shù)學(xué)測(cè)試中,

表3

(1)13號(hào)的成績(jī)?yōu)開__;

(2)17號(hào)的成績(jī)?yōu)開__;

(3)23號(hào)的成績(jī)?yōu)開___．

思考:

(1)任意確定一個(gè)學(xué)號(hào)x,對(duì)應(yīng)的成績(jī)f的取值是否唯一確定?

(2)測(cè)試成績(jī)隨____的變化而變化;其中常量是,變量是,是自變量,是的函數(shù);

(3)任意確定一個(gè)成績(jī)f,對(duì)應(yīng)的學(xué)號(hào)x的取值是否唯一確定?

(4)x是f的函數(shù)嗎?

問題2.兩個(gè)變量x、y滿足關(guān)系式|y|=x,填表并回答問題:

表4

y是x的函數(shù)嗎?為什么?

(隨著問題的發(fā)展,老師同步PPT展示函數(shù)的史料)

數(shù)學(xué)史料3——函數(shù)的完善階段:

1837年德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷給出了函數(shù)的定義:“設(shè)a、b是兩個(gè)確定的量,x是可取a、b之間一切值的變量.如果對(duì)于每一個(gè)x,有唯一的y值與它對(duì)應(yīng),使得當(dāng)x從a到b連續(xù)變化時(shí),y=f(x)也逐漸變化,那么y就稱為該區(qū)間上x的一個(gè)連續(xù)函數(shù)．”這就是人們常說的函數(shù)的經(jīng)典定義．這種“對(duì)應(yīng)”的說法,清晰完美地刻畫地函數(shù)兩變量之間的關(guān)系. 20世紀(jì)初誕生的集合論徹底改變了人們思考問題的方式,以美國(guó)數(shù)學(xué)家維布倫為代表,結(jié)合康托的集合論給出了如今普遍認(rèn)同的函數(shù)定義:給定兩個(gè)集合A和B,如果集合A中的每一個(gè)元素在結(jié)合B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng),則稱集合A和B之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為從集合A到集合B的函數(shù).

函數(shù)概念的發(fā)展由最初的“解析式”到“變量說”到“對(duì)應(yīng)說”,最后抽象為現(xiàn)在的“關(guān)系說”．在這個(gè)過程中,函數(shù)概念的抽象程度、嚴(yán)密性不斷提高.從函數(shù)概念的歷史來(lái)看,經(jīng)歷從感性到理性,從具體到抽象,從常量到變量,思維由具體到抽象的過程,不斷反復(fù)、螺旋上升,反映了過程和對(duì)象不斷統(tǒng)一的過程．

設(shè)計(jì)意圖:源自于實(shí)際生活的表3,引發(fā)了學(xué)生的進(jìn)一步思考,幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的本質(zhì).問題1是學(xué)生熟悉的生活情景,在理解上沒有難度,具體生動(dòng)的例子,可以幫助學(xué)生理解函數(shù)概念“單值對(duì)應(yīng)”這一核心內(nèi)涵,有助于正確掌握函數(shù)概念.數(shù)學(xué)史的介紹讓概念有血有肉,有利于學(xué)生理解,也對(duì)學(xué)生進(jìn)行了情感教育,培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì).

1.5 例題解決,運(yùn)用概念

例1.汽車油箱中有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(單位:L)隨行駛路程x(單位:km)的增加而減少,耗油量為0.1L/km.

(1)寫出表示y與x的函數(shù)關(guān)系的式子;

(2)指出自變量x的取值范圍;

(3)汽車行駛200km時(shí),油箱中還有多少汽油?

設(shè)計(jì)意圖:鞏固變量與函數(shù)的概念,讓學(xué)生充分體會(huì)到許多問題中的變量關(guān)系都存在著函數(shù)關(guān)系,初步接觸函數(shù)的不同表示方法.

1.6 學(xué)以致用,鞏固概念

1.購(gòu)買一些簽字筆,單價(jià)3元,總價(jià)為y元,簽字筆為x支,根據(jù)題意填表:

y(支) 1 2 3…x(元)

(1)y隨x變化的____,關(guān)系式y(tǒng)=____,____是自變量, ___是___的函數(shù);

(2)當(dāng)購(gòu)買8支簽字筆時(shí),總價(jià)為___元.

2.周末,小李8時(shí)騎自行車從家里出發(fā),到野外郊游,16時(shí)回到家里.他離開家后的距離s(千米)與時(shí)間t(時(shí))的關(guān)系如圖3.

圖3

(1)當(dāng)t=12時(shí),s=___;當(dāng)t=14時(shí),s=___;

(2)小李從___時(shí)開始第一次休息,休息時(shí)間為小時(shí),此時(shí)離家____千米.

(3)距離是時(shí)間t的函數(shù)嗎?

(4)時(shí)間是距離的函數(shù)嗎?

設(shè)計(jì)意圖:鞏固變量與函數(shù)等概念,讓學(xué)生充分體會(huì)到許多問題中的變量關(guān)系都存在著函數(shù)關(guān)系,隱含在函數(shù)關(guān)系中表示兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系有解析法、列表法、圖象法.練習(xí)2(4)幫助學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)的“單值對(duì)應(yīng)關(guān)系”,讓學(xué)生明確“由哪一個(gè)量能唯一確定另一個(gè)量”,從而更好地理解自變量與函數(shù)的關(guān)系,養(yǎng)成學(xué)生逆向思維的習(xí)慣．

1.7 小結(jié):函數(shù)的概念

設(shè)計(jì)意圖:通過小結(jié),讓學(xué)生抓住理解函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)．

2.教學(xué)思考

2.1 準(zhǔn)確定位,精心預(yù)設(shè),生成概念

俗話說:一臺(tái)好戲,一定有一個(gè)精彩的劇情．課堂是一個(gè)舞臺(tái),要使劇情精彩,教師就得定位準(zhǔn),精心設(shè)計(jì)．本節(jié)課是函數(shù)入門課,首先必須準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)變量與常量的特征,初步感受到現(xiàn)實(shí)世界各種變量之間聯(lián)系的復(fù)雜性,研究?jī)蓚€(gè)變量之間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系,同時(shí)感受數(shù)學(xué)研究方法的化繁就簡(jiǎn)．因此本節(jié)課把教學(xué)重點(diǎn)放在認(rèn)識(shí)“兩個(gè)變量間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系:由哪一個(gè)變量確定另一變量”．另一方面,變量與函數(shù)的概念把學(xué)生由常量數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)引入變量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,較為抽象,學(xué)生初次接觸函數(shù)的概念,難以理解定義中“唯一確定”的準(zhǔn)確含義．但是,考慮到學(xué)生在日常生活中也接觸過函數(shù)圖象、兩個(gè)變量的關(guān)系等生活實(shí)例．所以,在本節(jié)課的教學(xué)中,教師優(yōu)化教材內(nèi)容,精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng),由實(shí)例展開,以問題導(dǎo)線,從學(xué)生較為熟悉的現(xiàn)實(shí)情景入手,引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)變量和函數(shù)的存在和意義,體會(huì)變量之間的互相依存關(guān)系和變化規(guī)律,初步理解函數(shù)的概念．借助生活實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生辨析兩個(gè)變量的關(guān)系中,由哪一個(gè)量的變化引起另一個(gè)量的變化,進(jìn)而指出由哪一個(gè)變量確定另一個(gè)變量,初步體會(huì)函數(shù)概念的核心,正確掌握概念．并結(jié)合概念的學(xué)習(xí)引進(jìn)史料,還原數(shù)學(xué)家們建立數(shù)學(xué)概念的火熱思考．課堂在教師的精心設(shè)計(jì)下,環(huán)環(huán)相扣,遵循函數(shù)概念的發(fā)展,給學(xué)生創(chuàng)造了函數(shù)概念發(fā)生發(fā)展的過程,在問題的導(dǎo)線下,層層深入理解,生成概念,剖析內(nèi)涵,掌握概念的本質(zhì)．

2.2 在HPM視角下,激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力,探究概念形成

章建躍老師說過,概念教學(xué)的核心是:讓學(xué)生經(jīng)歷概念本質(zhì)特征的概括過程,使學(xué)生有機(jī)會(huì)通過自己的觀察與思考,從具體事例中抽象出概念的本質(zhì)特征進(jìn)而獲得概念,因此,在概念教學(xué)中,要通過恰當(dāng)?shù)膯栴}情境啟發(fā)學(xué)生思考,讓他們經(jīng)歷概念本質(zhì)特征的抽象過程[5]．在歷史上,函數(shù)概念的形成經(jīng)歷了非常漫長(zhǎng)的過程,才逐步發(fā)展到現(xiàn)在相對(duì)較完善的地步．如此長(zhǎng)的一個(gè)發(fā)展過程,要在一節(jié)課內(nèi)理解掌握,對(duì)初中的學(xué)生來(lái)說是比較困難的．考慮到初中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),又考慮到歷史上對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)的過程,正好與初中生的認(rèn)知相吻合,因此,在本節(jié)課教學(xué)中,教師運(yùn)用信息技術(shù)播放,把數(shù)學(xué)史融入教學(xué),給學(xué)生的概念理解搭“手腳架”,帶給學(xué)生以認(rèn)知沖突,引發(fā)學(xué)生對(duì)新知的需求,使得學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)不是停留在知識(shí)與技能的掌握這一層面,而是進(jìn)一步達(dá)到了在感受函數(shù)的悠久歷史中傳承知識(shí)的文化,將“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”,讓函數(shù)概念的教學(xué)厚重而靈巧,有效地促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成．

弗賴登塔爾指出:“我們不應(yīng)該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡,而是經(jīng)過改良過同時(shí)有更好引導(dǎo)的歷史過程”．在教學(xué)中,教師采用了“動(dòng)作分解”,精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié),針對(duì)函數(shù)概念在產(chǎn)生過程中遇到的幾個(gè)問題創(chuàng)設(shè)相類似的簡(jiǎn)單生活情景,沿著歷史上數(shù)學(xué)家探究函數(shù)概念的足跡,把歷史上數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)的4次抽象認(rèn)識(shí),用生活中具體例子來(lái)說明,讓學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)概念產(chǎn)生的過程,了解數(shù)學(xué)知識(shí)在歷史上產(chǎn)生的來(lái)龍去脈,引領(lǐng)學(xué)生參與變量的發(fā)現(xiàn)和函數(shù)概念的形成過程,體會(huì)從生活實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)的方法,感知現(xiàn)實(shí)世界中變量之間聯(lián)系的復(fù)雜性,數(shù)學(xué)研究從最簡(jiǎn)單的情形入手,化繁為簡(jiǎn)．這樣使學(xué)生既感到直觀,又循序漸進(jìn)地認(rèn)識(shí)函數(shù),完全符合歷史發(fā)生原理,把數(shù)學(xué)史知識(shí)隱性地融入到課堂教學(xué)中．

2.3 濃妝淡抹,取舍有道

課堂教學(xué)也如文章,在哪些環(huán)節(jié)該濃墨淡彩,在哪些地方該取舍,教師需心中有數(shù),把握好詳與略的度,否則易出現(xiàn)“頭重腳輕”或者“浮光掠影”,影響教學(xué)的目標(biāo)的落實(shí)．本節(jié)課從整體上分為“情景的引入,概念生成,概念的鞏固與應(yīng)用,課堂小結(jié)”四個(gè)板塊,其中概念的形成又經(jīng)歷了“認(rèn)識(shí)變量與常量——初步感知函數(shù)——函數(shù)概念的變量法認(rèn)知——函數(shù)概念的對(duì)應(yīng)法認(rèn)知”四個(gè)環(huán)節(jié)．在教學(xué)中,教師在細(xì)節(jié)上精心設(shè)置每一個(gè)預(yù)設(shè)的問題,關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)心理,了解學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū),創(chuàng)設(shè)情景,讓學(xué)生“簡(jiǎn)約”地經(jīng)歷概念的生成．同時(shí),在整體上合理分配各板塊和環(huán)節(jié)教學(xué)時(shí)間,使得整個(gè)概念的教學(xué)既蘊(yùn)味深長(zhǎng),又不冗長(zhǎng)抽象,符合學(xué)生的認(rèn)知．

[1]吳駿,汪曉勤.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐:他山之石[J].數(shù)學(xué)通報(bào), 2014(2):13-16

[2]數(shù)學(xué)·八年級(jí)下冊(cè).人民教育出版社,2012

[3]田方琳,汪曉勤.初中數(shù)學(xué)課堂上的數(shù)學(xué)故事[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊, 2013(9)

[4]宋瑛.HPM視角下_函數(shù)的概念_第一課時(shí)_的教學(xué)與感悟.福建中學(xué)數(shù)學(xué),2015(4):5-8

[5]章建躍.如何實(shí)現(xiàn)“思維的教學(xué)——以平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)為例.中學(xué)數(shù)學(xué)參考,2015(4)10-12