廣州市黃埔區(qū)新港中學(xué)(510735) 鄒振華

淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)

廣州市黃埔區(qū)新港中學(xué)(510735) 鄒振華

數(shù)學(xué)教育家波利亞指出:“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練.”用解題訓(xùn)練培養(yǎng)解題能力,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).那么,怎樣加強(qiáng)解題訓(xùn)練,從而提高學(xué)生的解題能力呢?

一、培養(yǎng)認(rèn)真審題的好習(xí)慣.

仔細(xì)、認(rèn)真地審題,提高審題能力是解題的首要前提.教學(xué)中要求學(xué)生養(yǎng)成仔細(xì)、認(rèn)真的審題習(xí)慣,通讀題,對題目中的條件(特別是發(fā)現(xiàn)題目中隱含條件)、問題及有關(guān)的情況,進(jìn)行整體認(rèn)識,充分理解題意,把握本質(zhì)和聯(lián)系,理清正確的解題思路.

例1: 已知弓形弦長弓形高為6,求弓形的面積.不認(rèn)真審題學(xué)生可能會給出下面的結(jié)論:

圖1

圖2

正確的應(yīng)為:如圖2,已求得OA=4,已知弓形高為6,弓形的高大于半徑,所以此弓形應(yīng)大于半圓,即圖2,

(注:此題中的條件弓形高為6)

二、培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題.

(一)數(shù)形結(jié)合的思想:

“數(shù)”與“形”無處不在.借助圖形能使問題明朗化,不但直觀,而且全面,整體性強(qiáng),能比較容易地找到問題的關(guān)鍵所在,對解題大有益處.比如:(1)求幾個圖象圍成的圖形的面積,需要根據(jù)函數(shù)解析式求出特殊點(diǎn)的坐標(biāo),通過整合圖形,分割圖形,補(bǔ)全圖形來求解.(2)函數(shù)中的最值問題.(3)河邊取水問題,求兩條線段之和最小.需要通過軸對稱,利用軸對稱的性質(zhì),構(gòu)造兩點(diǎn)之間線段最短,來得到最小值,(4)兩邊之差最大問題.構(gòu)造三角形,根據(jù)兩邊之差都小于第三邊來解決等等.

(二)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

解數(shù)學(xué)題最根本的途徑是“化難為易,化繁為簡,化未知為已知”.也就是把復(fù)雜繁難的數(shù)學(xué)問題通過一定的數(shù)學(xué)思維、方法和手段,逐漸將它轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€大家熟知的簡單的數(shù)學(xué)形式,然后通過大家所熟悉的數(shù)學(xué)運(yùn)算把它解決.比如,我們學(xué)校要建一個生物園,學(xué)校給出的是一塊形狀不規(guī)則的地,如何丈量的它的面積呢?首先在課堂上教學(xué)生依據(jù)一定的比例,將實(shí)際地形繪制成紙上圖形,然后將紙上圖形分割成若干塊梯形、長方形、三角形,利用學(xué)過的面積計(jì)算方法,計(jì)算出這些圖形的面積之和,也就得到了這塊不規(guī)則地形的總面積.在這里,我們把無法計(jì)算的不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成了可以計(jì)算的規(guī)則圖形,從而解決了土地丈量問題.

比如:我們熟知的解分式方程就是通過去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程來解,再經(jīng)檢驗(yàn)確定分式方程的解.

“轉(zhuǎn)化”的思想,是解題最重要的思維習(xí)慣.面對難題,面對沒有見過的題,首先就要想到轉(zhuǎn)化,也總是能夠轉(zhuǎn)化的.平時,老師在課堂上要教學(xué)生是怎樣解題的,是怎樣“化難為易,化繁為簡,化未知為已知”的.并要求同學(xué)之間多交流交流成功轉(zhuǎn)化的體會,深入理解轉(zhuǎn)化的真正含義,切實(shí)掌握轉(zhuǎn)化的思維和技巧.

例2:如圖,矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB為直徑的半圓O與DC相切于點(diǎn)E,則陰影部分的面積是多少?.解此題時就應(yīng)注意將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化;將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來求面積.連接OE、交BD于點(diǎn)F,則△OFB～=△EFD∴

(三)分類討論的思想

要求學(xué)生在考慮問題時一定要周全,多想幾個如果.

圖3

圖4

例3: 圓中兩平行弦長分別為6cm、8cm,半徑為5cm,則兩弦之間的距離是多少?

學(xué)生總出現(xiàn)只考慮一種情況的答案:

(1)當(dāng)兩弦在圓心兩旁時,如圖所示:

(2)如果兩弦在圓心同旁時呢?

例4:相交兩圓的半徑分別為公共弦長為2,兩圓的圓心距為4或2.

(1).兩圓心在公共弦的兩側(cè).(2).兩圓心在公共弦的同側(cè).

例5:圓中一弦所對的弧是兩條,所對的圓周角也是兩種情況.

(四)培養(yǎng)“方程”的思維能力

數(shù)學(xué)是研究事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的,最重要的數(shù)量關(guān)系是等量關(guān)系,其次是不等量關(guān)系.最常見的等量關(guān)系就是“方程”.比如等速運(yùn)動中,路程、速度和時間三者之間就有一種等量關(guān)系,可以建立一個相關(guān)的等式:速度時間=路程,在這樣的等式中,一般會有已知量,也有未知量,像這樣含有未知量的等式就是“方程”,而通過方程里的已知量求出未知量的過程就是解方程.我們的學(xué)生在小學(xué)就已經(jīng)接觸過簡易方程,而初一則比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)解一元一次方程,并總結(jié)出解一元一次方程的五個步驟.如果學(xué)會并掌握了這五個步驟,任何一元一次方程都能順利地解出來.初二、初三學(xué)習(xí)解二元一次方程組、一元二次方程、分式方程.解這些方程的思維幾乎一致,都是通過一定的方法將它們轉(zhuǎn)化一元一次方程或是一元二次方程的形式,然后用大家熟悉的解一元一次方程的五個步驟或者解一元二次方程的求根公式加以解決.另外,初中物理中的能量守恒,化學(xué)中的化學(xué)平衡式,現(xiàn)實(shí)中的大量實(shí)際運(yùn)用,都需要建立方程,通過解方程來求出結(jié)果.因此一定要將解一元一次方程和解一元二次方程學(xué)好,進(jìn)而學(xué)好其它形式的方程.所謂的“議程”思維就是對于數(shù)學(xué)問題,特別是現(xiàn)實(shí)當(dāng)中碰到的未知量和已知量的錯綜復(fù)雜的關(guān)系,善于用“方程”的觀點(diǎn)去構(gòu)建有關(guān)的方程,進(jìn)而用解方程的方法去解決它.

三、解完題后的反思訓(xùn)練.

讓學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣,是解題教學(xué)中非常重要的一環(huán),必須十分重視.

(一)檢驗(yàn)求解結(jié)果.主要是核查結(jié)果是否正確無誤,推理是否有理有據(jù),解答是否祥盡無漏.

例6:設(shè)x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a?2=0的兩個根,當(dāng)a為何值時,有最小值?最小值是多少?

解:

(二)討論解法.主要是尋求其它不同解法或改進(jìn)解法,分析解法特征關(guān)鍵和主要思維過程;尋找規(guī)律,多題一解等.這將有利于開拓思維、積累經(jīng)驗(yàn),整理方法;有助于增強(qiáng)思維的靈活性和發(fā)展提高解題能力.

(三)解題后的總結(jié)、歸納、推廣.

例7:求得菱形的面積是兩條對角線的乘積的一半.那么,四邊形的兩條對角線互相垂直,是否都滿足此結(jié)論?

例8:證明:順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形,以后,可進(jìn)一步發(fā)展推廣為:“這個平行四邊形的周長等于原四邊形的兩條對角線長度和.”

解題后的反思、總結(jié)、推廣,也是培養(yǎng)學(xué)生積極思維、發(fā)明、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造突破能力的有效途徑.如果能讓學(xué)生養(yǎng)成習(xí)慣,會收到很大的效益.

四、增強(qiáng)自信是解題的關(guān)鍵

自信才能自強(qiáng),在考試中,總是看到有些同學(xué)的試卷出現(xiàn)許多空白,有好多題根本沒有動手去做.俗話說,藝高膽大,藝不高就膽不大.但是做不出是一回事,沒有去做又是另一回事.稍微難一點(diǎn)的數(shù)學(xué)題都不是一眼就能看出它的解法和結(jié)果的.要去分析、探索、比比畫畫、寫寫算算,經(jīng)過迂回曲折的推理或演算,才能顯現(xiàn)出條件和結(jié)論之間的某種聯(lián)系,整個思路才會明朗清晰起來.沒有動手去做,又怎么知道自己不會做呢?即使是老師,拿到一道難題,也不能立即答復(fù)學(xué)生.也同樣要去分析研究,找到正確的思路后才能講授.不敢去做,稍微復(fù)雜一點(diǎn)的題(不一定是難題,有些題只不過是敘述多一點(diǎn)),是缺乏自信心的表現(xiàn).在數(shù)學(xué)解題中,自信心是相當(dāng)重要的.要相信自己,只要不超出自己的知識范疇,不管哪道題,總是能用自己所學(xué)過的知識把它解出來.要敢于去做題,要善于去做題.這就叫做在“在戰(zhàn)略上藐視敵人,在戰(zhàn)術(shù)上重視敵人”.具體解題時,一定要認(rèn)真審題,緊緊抓住題目的所有條件不放,不要忽略了任何一個條件.一道題和一類題之間有一定的共性,可以想想這一類題的一般思路和一般解法,但更重要的是抓住這一道題的特殊性.抓住這一道題與這一類題不同的地方,數(shù)學(xué)題幾乎沒有相同的,總有一個或幾個條件不相同,因此思路和解題過程也不盡相同.有些同學(xué)老師講過的題會做,其他題就不會做,只會依樣畫瓢,題目有些小的變化就無從下手.當(dāng)然做題先從哪兒下手是一件棘手的事,不一定找得準(zhǔn).但是,做題一定要抓住其特殊性則絕對沒錯.選擇一個或幾個條件作為解題的突破口,看由這個條件能得出什么,得出的越多越好,然后從中選擇其它條件有關(guān)的,進(jìn)行推算或演算.一般難題都有多種解法,條條大道通羅馬.要相信利用這道題的條件,加上自己學(xué)過的那些知識,一定能推出正確的結(jié)論.數(shù)學(xué)題目是無限的,但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的.我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識,掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法,就能順利地對付那無限的題目.題目并不是做得越多越好,題海無邊,總也做不完.關(guān)鍵在于你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法.當(dāng)然,題目做得多也有若干好處:一是熟能生巧,加快速度,節(jié)省時間,這一點(diǎn)在考試中時間有限制時顯得尤為重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式,形成良性循環(huán).解題需要豐富的知識,更需要自信心.沒有自信心就會畏難,就會放棄.只有自信才能勇往直前,才不會輕言放棄,才會加倍努力地學(xué)習(xí),才有希望攻克難關(guān),迎來屬于自己的春天.

總之,只有讓學(xué)生學(xué)好有關(guān)的基礎(chǔ)知識,認(rèn)真審題,把握必要的數(shù)學(xué)思想和方法,養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,不斷反思、總結(jié)、歸納、推廣,舉一反三,增強(qiáng)學(xué)生的自信,那么就能逐步培養(yǎng)學(xué)生解題能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)整體素質(zhì).