廣州市從化區(qū)鰲頭中學(510940) 薛喜雙

談?wù)劷忸}后的再反思

廣州市從化區(qū)鰲頭中學(510940) 薛喜雙

數(shù)學教學是以解題為中心展開的,要培養(yǎng)和提高學生的解題能力,除了做好審清題意、制定解題計劃、實施解題方案等工作之外,解題后的再反思也是一個不可缺少的重要環(huán)節(jié).

所謂解題后的再反思是指在解決了數(shù)學問題后,通過從問題特征、解題思路、解題途徑、解題過程、題目結(jié)論等方面進行反思以進一步摸清數(shù)學解題所經(jīng)歷的前因后果的思維過程.如果學生在每一次解題以后都能對自己的解題思路、過程、策略總結(jié)歸納作自我評價,探討成功的經(jīng)驗和失敗的教訓,對解題過程中反映的數(shù)學思想、方法進行總結(jié)、概括,就一定能達到提高解題能力和優(yōu)化思維品質(zhì)的目的.

下面是筆者在教學過程中引導學生進行反思的幾點具體做法.

一、反思錯誤原因,及時反饋糾正

學生在學習基礎(chǔ)知識時,不求甚解,滿足于一知半解,加之做作業(yè)時粗心大意,考慮問題不全面,這是造成錯誤的主要原因;比如,在求幾何線段的最大最小值問題中,在沒有理解點的運動本質(zhì)的前提下,隨意利用三角形邊長和差定理,就比較容易出錯.如下例:

例一如圖1,Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC= 8,BC=6,E是斜邊上的一個動點,BD⊥BC于B,F為BD上的一個動點,當AE=BF時,求CE+CF的最小值.

圖1

圖2

分析與解:如圖2,作點F′與F關(guān)于點C對稱,連接EF′,顯然有CE+CF′≥EF′,所以當C、E、F′共線時,CE+CF′=EF′最小,此時,BC=CD=6,AB=10,設(shè)AE=BF=x,

通過上述的再反思,學生不僅發(fā)現(xiàn)了自己思維過程中的不足之處,從而完善了解題過程,同時也提高了他們發(fā)現(xiàn)問題的能力,訓練了思維的嚴密性和批判性,有利于養(yǎng)成嚴謹細致的學習習慣.

二、反思題目特征,理清條件與結(jié)論的關(guān)系

解完一道題后,通過反思題目特征,研究條件與結(jié)論之間的必要性或充分性,或借變式探究更一般性的結(jié)論,可以加深對題目本質(zhì)的領(lǐng)悟,從而獲得一系列的思維結(jié)果,有助于培養(yǎng)學生思維的深刻性和廣闊性.

例二如圖3,梯形ABCD中,AB//CD,∠ABC=90°,AB=BC=5,DE=4,∠EAD=45°.求△AED的面積.

圖3

圖4

解:構(gòu)造正方形ABCF,將△AFD繞點A旋轉(zhuǎn)90°到△ABG的位置,如圖4,易證G、B、C三點共線,且△AEG～=△AED,EG=ED=4,所以,△AED的面積等于△AEG的面積,等于

事實上,這是一道錯題,設(shè)DF=x,由DE=BE+DF知,BE=4?x,EC=x+1,DC=5?x,在Rt△DCE中,(5?x)2+(x+1)2=42,化簡,得x2?4x+5=0,顯然Δ＜0由知,題目中所給數(shù)據(jù)矛盾,題目出錯.

以上類似的錯誤,在教學過程中,其實很常見,而出現(xiàn)這樣錯漏的原因也很復雜,有客觀、主觀原因,或由時間環(huán)境導致,更有教學水平高低因素等.如下例:

例三已知△ABC中,A(3,6)、B(?2,1)、C(1,4),求BC邊中線AD的長及∠A平分線AE的長.

再反思:∵kAB=kAC,∴A、B、C三點共線,它們不能構(gòu)成三角形.誤解中用代數(shù)計算的方法掩蓋了三角形不存在的事實,這也是一個錯題.

三、反思解題方法,尋求最佳方案

解題是學生往往滿足于做出解答,而對自己解題方法的優(yōu)劣卻不加分析,作業(yè)中經(jīng)常出現(xiàn)解題方法單一,思路狹窄,過程繁瑣,缺乏靈活性的情況.因此教師必須引導學生評價自己的解題方法,努力尋找解決問題的最佳方案.

例四已知拋物線C1∶y=2x2?3x?5與拋物線C2∶y=?x2?x+4交于點A、B,求直線AB的解析式.

解:先分別求出A、B點坐標,消去y,得

以上求解直線方程的過程,計算顯然比較繁瑣;有沒有較好的方法呢?我們作進一步的研究,下面的方法顯然能夠避免繁瑣的計算,通過巧妙設(shè)置經(jīng)過交點A、B的“函數(shù)圖像系”,即可輕松求得正確的結(jié)果.設(shè)所求直線AB的解析式為:

當2?m=0時,m=2,①式變?yōu)橹本€AB的解析式:

四、反思問題本質(zhì),及時進行推廣

解決問題以后再重新剖析其實質(zhì),可使學生比較容易地抓住問題的實質(zhì),在解決了一個或幾個問題以后,啟發(fā)學生進行聯(lián)想、類比,揭示問題的一般規(guī)律.

例五.如圖5,已知AD是△ABC的高,∠BAC=45°,BD=2,DC=3.求AD的長.

略解與反思:如圖6,原題是將△ADB、△ADC分別沿直線AB、AC翻折到△ABE、△AGC的位置,得到正方形AEFG,最后利用勾股定理可求得AD=6.

再探索的問題是,如果將∠BAC=45°改為60°或75°或120°或150°呢?能否改為更一般的角度呢?其實答案是肯定的.

圖5

圖6

事實上,按原題輔助線的作法,解決變更角度后的問題,也是可行的,只不過要用到余弦定理等超綱內(nèi)容,如果換一個思路探索,我們可以得出更一般化的結(jié)論.設(shè)∠BAC=α, 0°＜α＜90°.

圖7

以上從四個方面,簡單介紹了解題后再反思的點滴做法.這種再反思顯然能提高課堂教學效果,發(fā)展學生數(shù)學能力,我們在教學中要堅持讓學生獨立思考,培養(yǎng)學生在解題后對解題思維過程進行再反思的學習習慣.