徐國鋒

[摘 要] 在核心素養(yǎng)立意的課程體系即將實(shí)行的過程中，高考內(nèi)容的改革也正在向著基礎(chǔ)性與綜合性的方向加快改革. 浙江省作為深化課程改革的實(shí)驗(yàn)區(qū)，這方面已經(jīng)走在了全國的前列，在學(xué)考、高考中充分展示了通過考查學(xué)生分析、解決問題的能力從而體現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的試題. 同時(shí)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)又離不開數(shù)學(xué)解題教學(xué)，由此筆者在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的立意下設(shè)計(jì)了一堂雙參數(shù)二次型函數(shù)的最值復(fù)習(xí)課. 通過學(xué)生親身經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，設(shè)置問題引領(lǐng)學(xué)生探究習(xí)得，師生交流展示思維等學(xué)習(xí)方式提升學(xué)生的理性思維品質(zhì)，以期在這樣的高三復(fù)習(xí)解題教學(xué)模式下發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng)；課堂實(shí)錄；復(fù)習(xí)教學(xué)

隨著教育部《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》的發(fā)布，“核心素養(yǎng)”一詞迅速成為中國教育界的“熱門詞匯”，即將啟動(dòng)的新課程也從“以能力立意的課程體系”轉(zhuǎn)向“以素養(yǎng)立意的課程體系”. 作為一線教師，面對(duì)這樣的深化課程改革，是否真的要另起爐灶才能落實(shí)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)？正如王尚志教授所說：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是獨(dú)立于知識(shí)、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)之外的“神秘”概念，它綜合體現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、對(duì)數(shù)學(xué)技能方法的掌握、對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟及對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不能離開數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、應(yīng)用、創(chuàng)新，綜合體現(xiàn)在“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的過程中，綜合體現(xiàn)在“發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題”的過程中.[1]

由此可見，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)其實(shí)質(zhì)就是讓學(xué)生經(jīng)歷基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)積累經(jīng)驗(yàn)（數(shù)學(xué)建模），培養(yǎng)學(xué)生的理性思維（內(nèi)在品質(zhì)），并通過關(guān)鍵能力（數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、直觀想象能力、數(shù)據(jù)分析能力）進(jìn)行外在表現(xiàn).這是對(duì)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)的繼承和發(fā)展. 作為一線教師，課堂教學(xué)是與學(xué)生交流學(xué)習(xí)的主要陣地.我們只有在自己日常的教學(xué)中深入思考如何落實(shí)新理念的方法，在知識(shí)與方法的教學(xué)過程中尋找培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑，應(yīng)該成為我們?nèi)粘＝虒W(xué)思考的出發(fā)點(diǎn)和歸宿.

[?] 分析立意，準(zhǔn)確定位教學(xué)

浙江省學(xué)考、高考試題中有很多二次型函數(shù)的綜合試題，對(duì)學(xué)生來說難度較大. 主要是學(xué)生在解決這些數(shù)學(xué)問題時(shí)，不能理解題目的實(shí)質(zhì)，生搬硬套地用純代數(shù)二次函數(shù)含參討論的方法進(jìn)行解決，導(dǎo)致思維受阻，過程煩瑣，消磨學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

學(xué)生產(chǎn)生上述現(xiàn)象主要是在學(xué)習(xí)中通過機(jī)械的記憶、模仿、練習(xí)來完成學(xué)習(xí)過程，表面上看是解題能力得到了提升，但在以素養(yǎng)立意的學(xué)高考中，面對(duì)新的情境學(xué)生缺乏分析問題、解決問題的思維能力. 基于這樣的思考，筆者試從發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)課，通過課堂活動(dòng)、主動(dòng)探究、構(gòu)建模型、合作交流等豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生以新的數(shù)學(xué)視角審視這些試題，揭示問題的本質(zhì)，使學(xué)生在過程中感悟數(shù)學(xué)思想方法在問題解決中的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)習(xí)得內(nèi)化知識(shí)的能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

[?] 扎實(shí)過程，活動(dòng)中培養(yǎng)素養(yǎng)

1. 解法分析，追求靈活

例1（2014年1月浙江學(xué)考數(shù)學(xué)第34題）：設(shè)函數(shù)f（x）=x2-ax+b（a，b∈R）.

（1）略；

（2）若存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[0，b]時(shí)，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此時(shí)a的值.

分析：本題從函數(shù)形式看是一個(gè)基本的含參二次函數(shù)，學(xué)生感覺比較熟悉和親切，但深入發(fā)現(xiàn)是雙量詞多變量問題，學(xué)生的難點(diǎn)有兩個(gè)：①對(duì)于“存在”與“恒成立”這兩個(gè)量詞如何轉(zhuǎn)化；②轉(zhuǎn)化后最值如何求解.

筆者在課前將本題作為作業(yè)布置給學(xué)生，讓學(xué)生課前思考解答，從上交情況來看，學(xué)生的解答主要有這樣兩種：

解法1：存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[0，b]時(shí)，2≤f（x）≤6恒成立，即f（x）min≥2，

f（x）max≤6對(duì)x∈[0，b]成立，對(duì)稱軸x=.

①當(dāng)<0，即a<0時(shí)，

f（x）min=f（0）=b≥2，

f（x）max=f（b）=b2-ab+b≤6.

②當(dāng)>b，即a>2b時(shí)，

f（x）max=f（0）=b≤6，

f（x）min=f（b）=b2-ab+b≥2.

③當(dāng)0≤≤b，即0≤a≤2b時(shí)，

f（x）max=max{f（0），f（b）}，f（x）min=f

，得f（0）=b≤6，

f（b）=b2-ab+b≤6，

f

=-

+b≥2.

點(diǎn)評(píng)：用這種解法的學(xué)生較多，也可以看出學(xué)生對(duì)“當(dāng)x∈[0，b]時(shí)，2≤f（x）≤6恒成立”轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值是清楚的，同時(shí)對(duì)對(duì)稱軸不定的二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值求法是明確的. 關(guān)鍵是對(duì)存在實(shí)數(shù)a的轉(zhuǎn)化有一定的困難. 這里就需要教師在課堂教學(xué)時(shí)對(duì)變量a的處理要到位.

筆者通過投影，展示這類學(xué)生的解答.

師：這類解答有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是對(duì)x∈[0，b]的恒成立問題進(jìn)行了成功的轉(zhuǎn)化，而且討論步驟清楚，書寫規(guī)范，非常好！那不能進(jìn)一步解決問題的障礙在哪里呢？

生：我對(duì)存在實(shí)數(shù)a在這里不能像上面恒成立那樣進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

師：那我們一起來看第一種情況：當(dāng)<0，即a<0時(shí)，f（x）min=f（0）=b≥2，

f（x）max=f（b）=b2-ab+b≤6.

我想你對(duì)a<0及b≥2如此簡(jiǎn)潔的條件肯定不會(huì)再想轉(zhuǎn)化了，那么對(duì)f（x）max=f（b）=b2-ab+b≤6可以從哪些角度來理解呢？

生：不等式！

師：很好，如果從不等式的角度審視，那么是以a還是以b作為主元呢？

生：當(dāng)然以a作為主元啊，一次不等式解起來肯定比二次不等式方便啊！

師：這樣的選擇思維含量很高??！那我們?cè)賮砜碼≥b-+1，如何知道這樣的a是否存在？

生：一次不等式肯定有解的啊……

生：還有前提條件a<0，也就是不等式組b≥2，

a<0，

a≥

b-+1有解.

師：很好，也就是在兩邊“夾擊”的情況下必須讓a留有生存的空間啊！

由于y=b-+1在b≥2上單調(diào)遞增，所以ymin=2-+1=0，即a≥0，不符合.

然后請(qǐng)學(xué)生把本題解答完畢，筆者巡視，個(gè)別指導(dǎo).

課堂教學(xué)是慢的藝術(shù)，教師必須舍得花時(shí)間讓學(xué)生在做中悟，這樣才能真正提高學(xué)生外顯的能力和內(nèi)涵的素養(yǎng)！

筆者巡視展示優(yōu)秀的解答，同時(shí)給出答案：

①當(dāng)<0，即a<0時(shí)，

f（x）min=f（0）=b≥2，

f（x）max=f（b）=b2-ab+b≤6，

即b≥2，

a<0，

a≥

b-+1.

由于y=b-+1在b≥2上單調(diào)遞增，所以ymin=2-+1=0，即a≥0，不符合；

②當(dāng)>b，即a>2b時(shí)，

f（x）max=f（0）=b≤6，

f（x）min=f（b）=b2-ab+b≥2，

即b≤6，

a>2b，

a

③當(dāng)0≤≤b，即0≤a≤2b時(shí)，f（x）max=max{f（0），f（b）}，f（x）min=f

.

即可得f（0）=b≤6，

f（b）=b2-ab+b≤6，

f

=-

+b≥2，即b≤6，

a≥

b-+1，

0≤a≤

2，得b≤6，

b-+1≤a≤

2成立，所以b-+1≤2.

經(jīng)過這樣的轉(zhuǎn)化，變成了求關(guān)于b的不等式

b-+12≤4（b-2），即b2++1-12+2b-≤4b-8，即b2+-2b--3≤0，即

b+2-2

b+

-15≤0.

由f

=-+b≥2得b≥2，于是2≤b+≤5，即b2-5b+6≤0，所以2≤b≤3. 當(dāng)b=3時(shí)，b-+1≤a≤2，即a=2. 所以b的最大值為3，此時(shí)a=2.

對(duì)③的計(jì)算過程可找解答得較好的學(xué)生進(jìn)行投影展示，教師對(duì)去根式的方法，換元成二次不等式進(jìn)行求解的思路要分析到位，要鼓勵(lì)學(xué)生敢于運(yùn)算，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的一個(gè)很好的契機(jī).

師：上面我們從解不等式的角度轉(zhuǎn)化了存在實(shí)數(shù)a的問題，使題目得以解決. 還有其他解法嗎？

生：解法1其實(shí)是在恒成立轉(zhuǎn)化的條件下，再解關(guān)于a的不等式，從函數(shù)形式來看，有點(diǎn)像參變量分離法，那么我們是不是可以先把a(bǔ)分離出來，再處理恒成立問題呢？

生：我昨天就是這樣做的，但是沒有完全解決這個(gè)問題.

師：那我們一起來看看問題出在哪里.（投影該同學(xué)的做法）

解法2：由x∈[0，b]時(shí)，2≤f（x）≤6恒成立，得2≤x2-ax+b≤6，即x+≤a≤x+恒成立，即

x+max≤a≤

x+min.

師：我們一起來看，他前面轉(zhuǎn)化的過程有什么需要完善的地方嗎？

生：由于x∈[0，b]，因此當(dāng)x=0時(shí)，不能直接分離，而且當(dāng)x=0時(shí)，我們可以得到2≤b≤6的范圍.

生：我昨天就是得不到這個(gè)范圍，導(dǎo)致后面函數(shù)的單調(diào)性討論得太復(fù)雜，有了這個(gè)條件，問題馬上就能解決了.

師：現(xiàn)在你能把解題過程再完善一下嗎？

學(xué)生在屏幕上直接展示：

存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[0，b]時(shí)，2≤f（x）≤6恒成立，

①當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=b，所以2≤b≤6.

②當(dāng)x∈（0，b]時(shí)，2≤x2-ax+b≤6，即x+≤a≤x+恒成立.

由①中2≤b≤6，所以y=x+在x∈（0，b]上遞增，ymax=b-+1. 當(dāng)b=2時(shí)，y=x∈（0，b]；當(dāng)b∈（2，6]時(shí)，y=x+且∈（0，b]，ymin=2. 綜上，b-+1≤a≤2，后面同解法1，此處不再贅述.

點(diǎn)評(píng)：讓學(xué)生經(jīng)歷分析問題、解決問題的過程，產(chǎn)生思維的碰撞，比直接聽取答案講解要高效的多. 同時(shí)，經(jīng)過同學(xué)之間的相互交流、合作學(xué)習(xí)，相互之間取長(zhǎng)補(bǔ)短，不斷完善自己的思維品質(zhì)，提升自己的能力和素養(yǎng).

2. 動(dòng)靜分離，揭示本質(zhì)

師：參變量分離法的實(shí)質(zhì)是一種“動(dòng)”與“靜”的分離，比如x2-ax+3≥2對(duì)x∈[1，2]恒成立，經(jīng)過參變量分離可得a≤x+對(duì)x∈[1，2]恒成立.

這里y=x+，x∈[1，2]是一個(gè)“靜”態(tài)的函數(shù)，y=a是一條平行于x軸的“動(dòng)”態(tài)的直線，只是這條直線過于特殊. （教師幾何畫板演示，讓學(xué)生體會(huì)這種“動(dòng)”與“靜”的分離與結(jié)合）

像本題一樣，題目中有兩個(gè)參數(shù)時(shí)，是否也一定要分離成y=a這條特殊的直線呢？正是因?yàn)檫@樣的分離x+≤a≤x+，導(dǎo)致了三個(gè)函數(shù)圖像都是“動(dòng)”態(tài)的，不能從圖像上直觀地看出結(jié)果，給解題造成了麻煩.

師：我們觀察2≤x2-ax+b≤6，從“動(dòng)”“靜”分離的角度，你有什么想法嗎？

生：（觀察思考，恍然大悟）是不是也能看成二次函數(shù)與一次函數(shù)的結(jié)合？

師：請(qǐng)你跟大家分享一下你的想法！

生：由于這里有兩個(gè)參數(shù)a，b，那是不是可以把這兩個(gè)“動(dòng)態(tài)”的因素讓一個(gè)函數(shù)展示，即y=ax-b，另一個(gè)是“靜態(tài)”的二次函數(shù)y=x2，分離之后可以得到x2-6≤ax-b≤x2-2對(duì)x∈[0，b]恒成立.

師：很好，你的數(shù)學(xué)眼光非常獨(dú)到！對(duì)于這樣的分離，你能從函數(shù)圖像上解釋它的含義嗎？請(qǐng)大家畫出圖像進(jìn)行思考.

筆者巡視，作個(gè)別指導(dǎo)，讓學(xué)生體會(huì)這里的參數(shù)a，b的作用，會(huì)結(jié)合圖像分析問題，選擇有代表性的學(xué)生進(jìn)行展示.

生：x2-6≤ax-b≤x2-2對(duì)x∈[0，b]恒成立，也就是說x∈[0，b]時(shí)直線y=ax-b夾在兩個(gè)拋物線y=x2-6與y=x2-2之間.

師：由于a，b可以變化，直線如何運(yùn)動(dòng)？

師生共同討論，幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，得到結(jié)論：從圖像的角度看，就是以斜率為a，截距為-b的直線在x∈[0，b]上始終夾在拋物線y=x2-6與y=x2-2之間.

由直線y=ax-b與y軸的交點(diǎn)可知-6≤ -b≤-2，即2≤b≤6.

由圖像可知，要求b的最大值即求A點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值.即y=ax-b與y=x2-2相切于點(diǎn)B，求此時(shí)y=ax-b與y=x2-6的相交點(diǎn)A的橫坐標(biāo).

解法3：存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[0，b]時(shí)，2≤f（x）≤6恒成立，即2≤x2-ax+b≤6，可得x2-6≤ax-b≤x2-2.

由圖2可知，當(dāng)直線y=ax-b與y=x2-2相切，聯(lián)立y=x2-2，

y=ax-b得x2-ax+b-2=0，Δ=a2-4（b-2）=0，即a2=4（b-2）.

聯(lián)立y=x2-6，

y=ax-b得x2-ax+b-6=0，得x=. 所以xA==b. 又a2=4（b-2），所以=，得a2-2a=0. 由圖知a>0，所以a=2，此時(shí)b=3.

生：這個(gè)解答過程很美！

師：數(shù)學(xué)之美就蘊(yùn)含在我們的思維之中！

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生解決問題的思維不是憑空產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展也是有其基礎(chǔ)的.通過課堂教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、類比、歸納的方法，將陌生問題轉(zhuǎn)化為常見的、熟悉的問題是復(fù)習(xí)解題教學(xué)的常用策略.

比如學(xué)生對(duì)參變量分離法是熟悉的，但大部分學(xué)生對(duì)其的理解還不夠靈活，這里就需要教師進(jìn)行充分的引導(dǎo)，從學(xué)生熟悉的知識(shí)進(jìn)行類比，讓學(xué)生充分感悟其中的思想方法，從“動(dòng)”與“靜”的眼光審視這個(gè)問題.正如學(xué)生所說數(shù)學(xué)是美的，只有真正經(jīng)歷了這個(gè)過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光才會(huì)變得開闊，數(shù)學(xué)思維才會(huì)得到提升，進(jìn)而使得數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到發(fā)展.

3. 建立模型，內(nèi)化習(xí)得

有了“動(dòng)”“靜”分離的觀察眼光，我們?cè)賮砜聪旅嬉活}：

例2（浙江省2016年4月學(xué)業(yè)水平考試第18題）：設(shè)函數(shù)f（x）=

-ax-b（a，b∈R），若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)b，總存在x0∈[1，2]，使得f（x0）≥m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）

A. （-∞，0] B.

-∞，

C. （-∞，1] D. （-∞，2]

齊：可以看成y=與y=ax+b的函數(shù)組合.

師：很好！那對(duì)題目中的量詞如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化？

生：存在x0∈[1，2]，使得f（x0）≥m，即f（x0）max≥m.

師：那對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)b又該如何轉(zhuǎn)化呢？

生：我們求得的f（x0）max肯定是含有參數(shù)a，b的，比如f（x0）max=M也就是M≥m對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)b恒成立，也就是Mmin≥m.

師：很好！由于f（x0）max含變量a，b，不妨設(shè)f（x0）max=M（a，b）.

生：這個(gè)符號(hào)有些抽象，但這樣理解還是可以的.

師：從數(shù)形結(jié)合的角度，f（x0）max=M（a，b）如何求解？

學(xué)生畫圖解題，筆者巡視指導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生有一定的困難.

師：直線y=ax+b有兩個(gè)動(dòng)態(tài)因素，如果你覺得直接考慮有困難，是否可以先假定一個(gè)，讓另一個(gè)變量發(fā)揮作用呢？

生：由于a>0已知，可以先畫一條斜率為正的直線，再改變截距進(jìn)行平移.

師：很好，那你能說說f（x）=

-ax-b在圖像上表示的含義嗎？

生：函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閒（x）=

-（ax+b），它表示的是取同一個(gè)自變量x時(shí)的函數(shù)值之差，在圖像上表示的就是線段AC或BD的長(zhǎng)度.

師：那也就是說M（a，b）=max{AC，BD}，那相對(duì)這條直線而言，什么情況下M（a，b）有最小值呢？（根據(jù)學(xué)生的圖，用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示）

生：應(yīng)該是AC=BD時(shí)可以取到最小值，要不然就是AC變大或BD變大.

師：觀察能力非常強(qiáng)！其實(shí)這里還隱含了我們學(xué)過的兩個(gè)不等式：max{f（x1），f（x2）}≥，min{f（x1），f（x2）}≤. 其實(shí)質(zhì)是兩個(gè)函數(shù)值中的最大值大于或等于他們的平均數(shù)；兩個(gè)函數(shù)值中的最小值小于或等于他們的平均數(shù). （有了模型再這樣解釋這兩個(gè)不等式學(xué)生就更容易理解了）

師：對(duì)于確定的斜率a，M（a，b）min的求法已經(jīng)解決，接下了我們可以調(diào)節(jié)斜率a了.

生：由于斜率a≥0，顯然當(dāng)a=0時(shí)，M（a，b）min=AC=BD=. 也就是m≤.

師：經(jīng)歷這個(gè)過程，再看看你對(duì)f（x）max=M（a，b）的理解有改變嗎？同時(shí)我們也感覺到，只要能建立起數(shù)學(xué)模型，用數(shù)形結(jié)合的辦法解決函數(shù)問題就是高效的.

師：我們?cè)購臄?shù)的角度來看看這道題目，由于a≥0，所以函數(shù)y=-ax-b單調(diào)遞減，所以f（x0）max=M（a，b）=max{f（1），f（2）}=max{2-a-b，1-2a-b}≥.

再結(jié)合絕對(duì)值不等式可得≥=. 由于a≥0，所以f（x0）max=M（a，b）≥.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于新接觸的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法要能轉(zhuǎn)化為能力，外顯在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，必須要有內(nèi)化的過程，使學(xué)生建立起數(shù)學(xué)模型. 只有經(jīng)歷了這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才能得到鍛煉，能力才能提升. 教師要善于抓住課堂生成的教學(xué)資源，通過學(xué)生的分析和解決鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行積極探究，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的提升. 本例通過學(xué)生建立的數(shù)學(xué)模型解決問題后教師再介紹代數(shù)方法的解答，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加嚴(yán)密，核心素養(yǎng)得到發(fā)展.

4. 應(yīng)用模型，課后探究

師：通過上面兩個(gè)題目的探究，我們對(duì)“動(dòng)”“靜”分離達(dá)成了共識(shí)，建立了數(shù)學(xué)模型，課后請(qǐng)大家進(jìn)一步去解決下面這個(gè)問題：設(shè)函數(shù)f（x）=

-ax-b，a，b∈R. 若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)x0∈[0，4]使得不等式f（x0）≥m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. （2015年1月浙江省學(xué)業(yè)水平考試第34題）

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生的認(rèn)知水平是層層遞進(jìn)、螺旋上升的，本題是在例2的基礎(chǔ)上進(jìn)一步的提升，相信通過前兩個(gè)問題的解決后學(xué)生對(duì)這題是有探究的過程的，經(jīng)過大家的思考和探究，后續(xù)交流、分享必定會(huì)十分精彩.

5. 課堂小結(jié)，感悟提升

師：今天我們通過幾道學(xué)考題目復(fù)習(xí)了多變量函數(shù)最值問題的求法. 在解決的過程中，我們通過對(duì)參數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的作用，樹立了“動(dòng)”“靜”分離的意識(shí)，建立了一個(gè)利用數(shù)形結(jié)合解決問題的模型. 在這一過程中我們的數(shù)學(xué)眼光更加開闊了，探究興趣更加濃厚了，數(shù)學(xué)思維得到了提升. 同時(shí)在解決問題的過程中將涉及的陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，形式化的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合的直觀問題，復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，這些解題方法和策略將會(huì)給我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來更多的啟示.

點(diǎn)評(píng)：課堂小結(jié)最后起到提綱挈領(lǐng)的作用，讓學(xué)生感受教師設(shè)計(jì)這節(jié)課的意圖，從而回顧本節(jié)課經(jīng)歷的活動(dòng)過程，使分析問題、解決問題的意識(shí)得到更進(jìn)一步的提升.

[?] 課后反思，引領(lǐng)教學(xué)

《國務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》明確指出要深化高考考試內(nèi)容改革的方向，“依據(jù)高校人才選拔要求和國家課程標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)設(shè)計(jì)命題內(nèi)容，增強(qiáng)基礎(chǔ)性、綜合性，著重考查學(xué)生獨(dú)立思考和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力”.[2]作為對(duì)教學(xué)評(píng)價(jià)的高考試題，基礎(chǔ)性和綜合性應(yīng)該是命題的方向. 浙江省作為深化課程改革的實(shí)驗(yàn)區(qū)在這方面已經(jīng)走在了全國的前列，通過對(duì)上述幾例雙參數(shù)函數(shù)最值問題的探究，可以看出要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維分析問題，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題. 因此，高三復(fù)習(xí)解題教學(xué)通過學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程，獲得感性的認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)，提升理性的思維，從中獲得數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

作為一線教師，最主要的任務(wù)是在日常教學(xué)中幫助學(xué)生把具體的知識(shí)理解到位并能用于解決問題中，面對(duì)平凡的課堂教學(xué)在數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的過程中尋找發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑，應(yīng)該成為每位教師的追求. 筆者以為，要做到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂，必須做好以下幾個(gè)方面：

1. 深入探究，自我提升

打鐵還需自身硬，在深化課程改革背景下的教學(xué)，教師必須進(jìn)行深入學(xué)習(xí)課改理念來指導(dǎo)我們的教學(xué). 同時(shí)要不斷地深入研究教學(xué)內(nèi)容，學(xué)習(xí)高考試題形成較高的研課、研題能力，揭示問題的本質(zhì). 只有不斷地提升自身的專業(yè)素養(yǎng)，才能在課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)中發(fā)現(xiàn)并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生長(zhǎng)點(diǎn)；才能在課堂教學(xué)過程中有針對(duì)性地評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，充分暴露自己的思維過程；才能讓學(xué)生領(lǐng)悟到問題的本質(zhì)，有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，提升理性思維的能力，最終發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

比如，在高三復(fù)習(xí)階段的教輔用書使用過程中，有這樣一道題：設(shè)函數(shù)f（x）=x2+px+q，（p，q∈R）. （1）略；（2）若不等式f（x）>2在區(qū)間[1，5]上無解，試求所有的實(shí)數(shù)對(duì)（p，q）.

參考答案給出的是解復(fù)雜的不等式組的方法，甚至建議可以用線性規(guī)劃的方式解得實(shí)數(shù)對(duì)（p，q）. 這顯然是沒有理解對(duì)這道題目. 本題應(yīng)該是例1的一種特殊情況，筆者相信命題者應(yīng)該是針對(duì)浙江省會(huì)考試題的一種改編. 將原題轉(zhuǎn)化為f（x）≤2在區(qū)間[1，5]上恒成立，即-2-x2≤px+q≤2-x2. 如圖4，直線夾在兩個(gè)定拋物線之間，此時(shí)直線AB正好與下方拋物線相切，也就是y=px+q的方程即為直線AB的方程，問題得以解決.

如果教師自身沒有進(jìn)行深入的探究，對(duì)這種問題沒有從本質(zhì)上去加以分析探究，只按照教輔答案進(jìn)行講解，可想而知，要落實(shí)深化課改的理念只能是紙上談兵.

2. 學(xué)生為本，自主習(xí)得

學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的課堂教學(xué)理念應(yīng)該堅(jiān)持在日常教學(xué)中不折不扣地落實(shí). 學(xué)生的學(xué)習(xí)過程其他任何人都無法代替，必須要由學(xué)生親身經(jīng)歷并感悟獲得. 教學(xué)過程不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和反復(fù)練習(xí)，應(yīng)該在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行自主探究、親身實(shí)踐、合作交流、思維呈現(xiàn)等豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式. 同時(shí)在課堂上要及時(shí)展示學(xué)生的學(xué)習(xí)作品，相互激勵(lì)并培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、積極探究的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，將所學(xué)的知識(shí)內(nèi)化為解決問題的思想和方法，提升思維發(fā)展素養(yǎng).

3. 提升能力，發(fā)展素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)為外在的關(guān)鍵能力和內(nèi)含的思維品質(zhì)，同時(shí)學(xué)生的思維品質(zhì)通過對(duì)學(xué)生分析問題、解決問題的考查得以體現(xiàn). 因此，課堂教學(xué)必須要通過學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程，從中形成數(shù)學(xué)思想和能力.

數(shù)學(xué)思想方法的形成和能力的提升需要一個(gè)過程，這就需要教師在課堂教學(xué)時(shí)將用數(shù)學(xué)思想方法分析、解決問題的意識(shí)貫穿于教學(xué)之中，站在學(xué)科的高度關(guān)注知識(shí)的交匯，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、分析問題，用數(shù)學(xué)的思想方法解決問題. 將數(shù)學(xué)思維能力的培育滲透到平時(shí)的課堂教學(xué)之中，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，最終發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ).

面對(duì)高考仍然作為教學(xué)評(píng)價(jià)的重要依據(jù)的深化課程改革，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解題教學(xué)是必不可少的. 作為一線教師，讓我們轉(zhuǎn)變觀念，重新審視復(fù)習(xí)解題教學(xué)的意義，在以發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理念下設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生在復(fù)習(xí)教學(xué)中以知識(shí)復(fù)習(xí)為載體，經(jīng)歷思考過程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，形成思想方法，發(fā)展核心素養(yǎng)，完善思維品質(zhì)，這樣必將在新高考中收獲成功.

參考文獻(xiàn)：

[1] 王尚志. 如何在數(shù)學(xué)教育中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J]. 中國教師，2016（5）上半月刊：33-38.

[2] 任子朝、陳昂. 加快高考內(nèi)容改革增強(qiáng)基礎(chǔ)性和綜合性[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（6）：1-3.