張波

[摘 要] 數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的主要目的之一是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，其實(shí)這不僅僅是目標(biāo)也是我們教學(xué)的落腳點(diǎn)，不過初、高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維存在著差異，加上學(xué)科內(nèi)容上也有差異，容易導(dǎo)致學(xué)習(xí)困難，有效的高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)到高中學(xué)生的思維特征，從學(xué)科特性和思維變化的視角進(jìn)行課堂教學(xué)的組織，通過情境的設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生在嘗試中獲得知識(shí).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思維；差異；嘗試

在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)出現(xiàn)困難時(shí)，我們常常責(zé)怪學(xué)生初、高中沒有銜接好！那么，我們教師有沒有反思我們的教學(xué)有沒有從學(xué)生的思維差異和學(xué)科差異入手呢？有沒有讓學(xué)生充分嘗試和體驗(yàn)獲知的過程呢？本文從初、高中學(xué)生的思維差異，初、高中學(xué)科的內(nèi)在變化，以及如何有效施教這幾個(gè)方面進(jìn)行分析.

[?] 初、高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的差異

高中生的數(shù)學(xué)思維是一種能力，這種能力能讓學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)問題已經(jīng)建立感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，再應(yīng)用類比、歸納、綜合、分析等方法去進(jìn)行推理、論證從而解決具體的數(shù)學(xué)問題，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科中綜合能力的展現(xiàn).高中生的數(shù)學(xué)思維能力跟其初中時(shí)候相比有它的顯著特征：

1. 邏輯思維能力迅猛發(fā)展

跟初中時(shí)候相比，高中生的抽象邏輯思維能力有了迅猛的發(fā)展，而且具體直觀的思維能力也較之初中有了進(jìn)一步的提高，隨著知識(shí)的豐滿、心智的成熟高中生的這兩種思維也得到了空前的鍛煉和發(fā)展.

2. 存在個(gè)體差異性

但是在解決問題的過程中因?yàn)閷W(xué)生能力水平的個(gè)體差異、經(jīng)驗(yàn)不足等等，在解決問題的過程會(huì)呈現(xiàn)出不同層面的缺陷，也許不能深層次地挖掘知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，也許不能足夠周翔完美地解決問題.

3. 離成熟性思維還尚有距離

雖然存在著差異，縱向來看所有的高中生的數(shù)學(xué)思維能力都已經(jīng)得到飛速發(fā)展，不過，即使如此，大多數(shù)學(xué)生的離數(shù)學(xué)思維的成熟性思維尚有距離，作為高中一年級(jí)的學(xué)生來說，這一點(diǎn)可能表現(xiàn)得更為明顯.高一年級(jí)是初高中銜接的關(guān)鍵時(shí)期，數(shù)學(xué)學(xué)科又是重中之重，學(xué)生能否在原有初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上走好高一開始的這一段數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也就成為學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，因此，作為高中的數(shù)學(xué)教師（尤其是高一），在這樣一個(gè)關(guān)鍵時(shí)期，更加要對(duì)學(xué)生的生理、心理特征有翔實(shí)的了解，根據(jù)學(xué)科特性和學(xué)生特征抓好教育教學(xué)這個(gè)環(huán)節(jié).

[?] 初、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在變化

1. 跟初中相比，高中數(shù)學(xué)語言更為抽象

高中數(shù)學(xué)的范疇里面，不管是代數(shù)方面的“集合”、“函數(shù)”，還是高二年級(jí)的“立體幾何”都是非常抽象的內(nèi)容，抽象的內(nèi)容也很難用直觀的語言來表達(dá)，所以在語言的表現(xiàn)上，給學(xué)生建立的感覺也是很抽象的，學(xué)生剛剛從比較直觀的初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中過渡到高中抽象的數(shù)學(xué)范疇，集合、函數(shù)、圖像等抽象的語言一下子呈現(xiàn)在學(xué)生面前.

2. 高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量急劇增加

初中數(shù)學(xué)是一個(gè)完整的體系，但是在這個(gè)體系中相對(duì)于高中來說，知識(shí)點(diǎn)要少得多，學(xué)生只要按部就班跟著教師的教學(xué)和任務(wù)布置完全有比較充裕的時(shí)間來把數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)好，但是，高中階段卻不一樣，尤其是高一年級(jí)的數(shù)學(xué)體系，高一數(shù)學(xué)的內(nèi)容占據(jù)了高中整個(gè)學(xué)段的三分之二還要多，這樣一個(gè)階段的學(xué)習(xí)，時(shí)間是有限的，內(nèi)容分布卻是很廣的，知識(shí)點(diǎn)信息量卻是很大的，而且，一進(jìn)入高中的大門，數(shù)學(xué)學(xué)科呈現(xiàn)出的特質(zhì)就是“難”，學(xué)生在預(yù)習(xí)時(shí)覺得不能完全自己解決，教師講授以后解決問題又覺得“難”，往往第一個(gè)知識(shí)點(diǎn)還沒有完全消化，第二個(gè)知識(shí)點(diǎn)就接踵而至了.

3. 高中數(shù)學(xué)各個(gè)篇章都是獨(dú)立的體系

高中數(shù)學(xué)中每個(gè)章節(jié)都有完整的體系，并且有其特有的重難點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)好每個(gè)體系的同時(shí)，還必須能夠拓展自己的應(yīng)用能力，能把各個(gè)體系的內(nèi)在關(guān)聯(lián)把握好，否則最終在解決綜合性問題的時(shí)候還是會(huì)暴露自身的弱點(diǎn).

4. 高中數(shù)學(xué)要求學(xué)生思維更加理性

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，很多知識(shí)點(diǎn)比較簡單，很多的論證、題型按照教師的教學(xué)，學(xué)生逐步建立了比較統(tǒng)一的思維習(xí)慣和解題模式，相對(duì)來說，很多問題都能有其合適的框架去套用，但是到了高中，數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象話使得學(xué)生的思維不得不向更高層次發(fā)展，由直觀形象的思維向理性分析的思維發(fā)展，否則，學(xué)生面對(duì)需要解決的問題就會(huì)束手無策了.

[?] 基于“差異”的教學(xué)策略

1. 布設(shè)“嘗試性”問題，動(dòng)態(tài)化施教

學(xué)生的思維需要引導(dǎo)，需要我們設(shè)置“嘗試性”問題，所謂的嘗試性問題就是可以領(lǐng)著學(xué)生走下去，根據(jù)已有的認(rèn)知水平和思維能力去思考，解決問題或者暴露出解決問題過程中存在的困難，生成新的問題，動(dòng)態(tài)地施教.

例如，在線面垂直判定定理的教學(xué)中，教師首先在一個(gè)平面內(nèi)畫出一條直線A，要求學(xué)生得出垂直于直線A的直線，學(xué)生通過簡單的思索能夠得出垂直于直線A的兩種情況.繼而教師在平面內(nèi)再畫一條平行于直線A的直線B，要求學(xué)生得出同時(shí)垂直于A和B的直線，學(xué)生思索過后得出兩種結(jié)果，那么，這時(shí)候教師就可以設(shè)置問題給學(xué)生了：“平面內(nèi)畫無數(shù)條平行線，我們之前得出的兩種情況都永遠(yuǎn)存在嗎？”“如果只想保留平面外的這條直線垂直于這些直線，這些平面內(nèi)的直線必須要滿足怎樣的條件呢？”教師設(shè)置好這個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生展開想象和推理，去嘗試結(jié)果成立時(shí)應(yīng)該滿足的條件，學(xué)生不走自主地就被帶到了自主探索的環(huán)節(jié)中去了，用自己的理解力依據(jù)自己的水平去試求結(jié)果，從而把自己主觀能動(dòng)性也積極發(fā)揮了出來.

當(dāng)然，教師在為學(xué)生實(shí)際探討嘗試題目的時(shí)候，也必須精心設(shè)計(jì)符合教學(xué)目標(biāo)、教材特點(diǎn)的題目，不僅僅使得學(xué)生理解知識(shí)的重難點(diǎn)，也激發(fā)了學(xué)生思維的動(dòng)力.

2. 嘗試著讓學(xué)生設(shè)計(jì)問題，提高思維的靈活度

學(xué)生是教學(xué)的主體，要充分發(fā)揮學(xué)生的思維能力，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，我們通常的做法是給學(xué)生提供任務(wù)，讓學(xué)生去完成，筆者認(rèn)為我們有必要嘗試著改變一下教學(xué)思維，讓學(xué)生嘗試著設(shè)計(jì)問題，先開始可以給學(xué)生提供例題，讓學(xué)生進(jìn)行變式.

筆者認(rèn)為，在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，問題的設(shè)計(jì)也是特別重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，更是轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念的一個(gè)重要做法，學(xué)生在設(shè)計(jì)問題的過程中，思維的導(dǎo)向是不一樣的，思維的范疇也是廣泛的，思維的嚴(yán)密程度也是能夠得到鍛煉的，學(xué)生從被動(dòng)接受知識(shí)到改變題目的立意，出題供大家討論，無疑是進(jìn)行了角色的轉(zhuǎn)變的，在這樣一個(gè)角色轉(zhuǎn)變的過程中，知識(shí)的串聯(lián)、改編、整合得到了有機(jī)的統(tǒng)一和應(yīng)用，對(duì)于學(xué)生的能力的鍛煉是一種特別大的推動(dòng). 比如，在下面這道題中：MN是圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，P為圓O所在平面外一點(diǎn)，PM⊥MC，PM⊥MN，求證：NC⊥面PMC. 這是一個(gè)有關(guān)線面垂直的題目，線面定理在解題中可以靈活運(yùn)用.該題提供的條件體現(xiàn)出線垂直于線，進(jìn)而得出線垂直于面，那么在進(jìn)行證明的過程中，教師可開放答案，引導(dǎo)學(xué)生以原有的模板為基礎(chǔ)，分別嘗試思考放開其中一個(gè)條件，這樣，學(xué)生應(yīng)該能理解題目設(shè)計(jì)的意義；通過不同條件的變化，學(xué)生嘗試自己設(shè)計(jì)題目，達(dá)到對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通.這樣不僅提高了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探究的興趣，而且能舉一反三，學(xué)得很活.

3. 充分利用“錯(cuò)誤資源”，助力思維品質(zhì)的提升

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)怕什么？怕出錯(cuò)，怕遇到挫折，出錯(cuò)真的那么可怕么？學(xué)生學(xué)習(xí)的過程一旦轉(zhuǎn)變?yōu)閲L試的過程，那么，不可避免地就會(huì)遇到錯(cuò)誤，其實(shí)這不是一件壞事，嘗試錯(cuò)誤并找到錯(cuò)因，有助于學(xué)生思維品質(zhì)的提升.

例如，下面這道關(guān)于不等式的題目.

例題：已知不等式0≤x2+ax+b≤1的解集為[0，1]，求a，b的值.

課堂上，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生嘗試解題后，有這樣一種錯(cuò)解非常有進(jìn)一步探究的價(jià)值.

錯(cuò)解：令f（x）=x2+ax+b，則f（x）在其閉區(qū)間[0，1]上存在最大值1和最小值0，從函數(shù)的對(duì)稱性看，函數(shù)f（x）=x2+ax+b的圖像關(guān)于直線x=-對(duì)稱，所以有：

（1）當(dāng)-≥1時(shí)，即a≤-2，fmax=f（0）=b，fmin=f（1）=a+b+1，所以b=1，

a+b+1=0，解得a=-2，

b=1.

（2）當(dāng)≤-<1時(shí)，即-2

-

=，所以b=1，

=0，解得a=±2，

b=1，（舍去）.

（3）當(dāng)0≤-<時(shí)，即-1

-

=，所以a+b+1=1，

=0， 解得a=-4，

b=4，（舍去），或a=0，

b=0.

（4）當(dāng)-<0時(shí)，即a>0，fmax=f（1）=a+b+1，fmin=f（0）=0，

所以a+b+1=1，

b=0，解得a=0，

b=0，（舍去）

綜上得a=0，

b=0， 或a=-2，

b=1.

這是學(xué)生解決問題時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤且具有代表性，從學(xué)生呈現(xiàn)出的錯(cuò)誤來看，學(xué)生也是較為充裕地進(jìn)行了思考，這個(gè)時(shí)候把學(xué)生的錯(cuò)誤再次列舉出來，引導(dǎo)學(xué)生在交流探討的過程中認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤，明白錯(cuò)誤的根源以及解決自身的錯(cuò)誤，能使學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)知得到強(qiáng)化，理解更加透徹，也能幫助學(xué)生充分認(rèn)識(shí)二次不等式、二次函數(shù)和二次方程之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的完整、系統(tǒng)和典型，在層層遞進(jìn)的嘗試中最終得到的不僅僅是正確的解題方法，還有學(xué)生思維廣度和深度的延伸拓展.