姚國良?嚴(yán)樂樂

摘 要：隨著課改全面推進(jìn)，初中數(shù)學(xué)課程改革本著讓學(xué)生們了解數(shù)學(xué)、提高國民的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的，課改的腳步有條不紊向前邁進(jìn)。數(shù)學(xué)課改，首先從數(shù)學(xué)概念開始。從某種意義上來說數(shù)學(xué)概念是學(xué)科的基本組成單位，是數(shù)學(xué)理論的精髓，也是思維過程的核心。當(dāng)下數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在的主要問題是：概念教學(xué)的過程被省略，直接將概念塞給學(xué)生，導(dǎo)致學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)停留于記憶，理解片面、膚淺，當(dāng)遇到新情境、新問題時束手無策，不能自如運用概念來解決問題。本文從利用變式訓(xùn)練引入概念、形成概念、深化概念的有效實施三個方面來談?wù)勅绾翁嵘踔袛?shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；變式；概念教學(xué)

初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)是中國的特色之一，在20世紀(jì)80年代，一個著名的“中國學(xué)習(xí)者悖論”引起了世界對中國教育的關(guān)注。一方面，大量的研究調(diào)查表明，中國以及其他東南亞國家中小學(xué)在很多國際數(shù)學(xué)比賽中的成績都比西方學(xué)生好。另一方面，許多的西方研究者經(jīng)過調(diào)查和研究發(fā)現(xiàn)中國教學(xué)以“被動灌輸”和“機械訓(xùn)練”為主要的教學(xué)模式引導(dǎo)學(xué)生被動的學(xué)習(xí)，扼殺了學(xué)生的天性，他們認(rèn)為中國的數(shù)學(xué)教育是比較落后的，傳統(tǒng)和保守的，不具有借鑒的價值。而針對這個悖論，許多西方學(xué)者開始去揭開中國數(shù)學(xué)教學(xué)的神秘面紗，嘗試去解釋這個悖論。其中最合適的一個解釋就是中國采用了變式教學(xué)，而變式教學(xué)也逐漸受到了世界各地學(xué)者的重視。

所謂變式教學(xué)，是指教師有計劃、有目的地對教學(xué)內(nèi)容的非本質(zhì)屬性進(jìn)行不同角度、不同層面的變化，以突出它們本質(zhì)的特征，從而揭示不同的知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，變式就是對數(shù)學(xué)教材中的知識點，通過改變問題的提問方式或者思維的角度，使得問題的提問方式層層遞進(jìn)，發(fā)散學(xué)生的思維，發(fā)展創(chuàng)新意識。數(shù)學(xué)變式教學(xué)使課堂少一分枯燥和乏味，多一分活潑和風(fēng)趣，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新性思維和發(fā)散性思維。本文通過結(jié)合教學(xué)實例進(jìn)一步闡述“數(shù)學(xué)概念”中的變式訓(xùn)練。

一、利用變式訓(xùn)練引入概念

俗話說“良好的開端是成功的一半”。新知的引入對一堂課的教學(xué)效果起著至關(guān)重要的作用。數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活，生活中的很多東西都能被抽成數(shù)學(xué)模型，根據(jù)實物讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，并通過對實物的非本質(zhì)屬性的變式，使學(xué)生提取數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)概念來源于生活，并不是虛幻的，這樣有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解。如在引入“角”的概念時，讓學(xué)生觀察常見的鐘表上面的指針夾角，三角板，開門時門與墻的夾角，剪刀張開時的夾角等圖片，找出每個例子的屬性，進(jìn)而找到它們的共同點：有兩條射線和一個公共點，最后抽象出角的本質(zhì)屬性，得到角的概念。變式訓(xùn)練也可以應(yīng)用在新舊知識的銜接上，因為數(shù)學(xué)知識點之間并不是獨立的，毫無關(guān)系的，而是有著密切的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)新知識的時候，老師可以對舊知識進(jìn)行變式從而得到新知識的本質(zhì)屬性，激發(fā)學(xué)生的好奇心和對數(shù)學(xué)的求知欲，這樣會讓學(xué)生更好的理解新知識，也能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識是相互聯(lián)系的，可以從已知遷移到未知。如在引入矩形概念的時候，我們可以不斷變化平行四邊形一個角的度數(shù)，讓學(xué)生觀察什么時候平行四邊形會變成矩形，從熟悉的平行四邊形去學(xué)習(xí)矩形的概念。

二、利用變式訓(xùn)練形成概念

德國教育學(xué)家第斯多惠曾說過：“一個壞教師奉獻(xiàn)真理，一個好教師則教人發(fā)現(xiàn)真理。”數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要把數(shù)學(xué)知識傳授給學(xué)生，更重要的是讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何獲取知識的思維過程，也就是數(shù)學(xué)知識形成的過程，后者對學(xué)生的發(fā)展能力的培養(yǎng)更為重要。在教學(xué)過程中，教師通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)通過學(xué)生思考、討論、探究、歸納等過程形成數(shù)學(xué)概念，最后對學(xué)生的總結(jié)加以引導(dǎo)和整合，完善概念，讓學(xué)生對概念印象深刻，獲得成就感。學(xué)生初步了解概念之后，并不代表學(xué)生對這個概念已經(jīng)深刻理解了，所以可以設(shè)計一些簡單的變式練習(xí)加深學(xué)生對概念的理解，讓學(xué)生在自我思考、相互討論、交流的過程中慢慢體會知識的形成過程，可以在以后舉一反三、觸類旁通，而不僅僅是記住這個知識點。

1.通過對表達(dá)式變式，掌握概念的本質(zhì)屬性。

下列各式中哪些是二元一次方程？哪些不是二元一次方程？說明原因。

（1） x2+y=0 （2） x=+1 （3） 2x-y=7 （4）-3y=0 （5） x2+2x+2=0 （6） y+5x

學(xué)生在對每一個方程或式子進(jìn)行判斷的時候，都是對二元一次方程本質(zhì)概念的一次回顧和深化，從而有意識、有目的地加強對概念的理解和記憶。

2.通過對圖形變式，加深對概念的理解。

在學(xué)習(xí)圓周角概念之后，讓學(xué)生判斷下列哪些圖形是圓周角？.

之后讓學(xué)生觀察圖1，判斷有哪些角是圓周角？

圖1

通過對圓周角圖形的反例變式，讓學(xué)生通過現(xiàn)象看本質(zhì)，從“變化”中找“不變”的屬性，在一次次回顧的過程中，從而深刻理解圓周角的本質(zhì)屬性。

三、利用變式訓(xùn)練深化概念

在教學(xué)過程中，我們會發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生感覺對知識點已經(jīng)理解、掌握了，但是遇到具體的題目或者題目稍加變化，他們就不知所措，這說明他們對數(shù)學(xué)知識點的理解只停留在表面，并沒有深刻理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，缺乏在變化的情況下應(yīng)用概念的應(yīng)變能力。學(xué)生理解了概念和初步應(yīng)用數(shù)學(xué)概念是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須要深入揭示概念的內(nèi)涵，而變式訓(xùn)練正是深化概念的一種很好的方式。因此，教師可以在短暫的課堂時間上，利用變式練習(xí)來有效的提高學(xué)生的解題能力。如學(xué)生學(xué)習(xí)關(guān)于b2-4ac是二元一次方程的根的判別式以及它與方程根的關(guān)系：“當(dāng)b2-4ac>0時，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac<0時，方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數(shù)根”。學(xué)生對這種較長的知識點比較容易混淆，對應(yīng)的題型如果稍微變化，學(xué)生可能就會束手無策。因此需要通過豐富的題型變式讓學(xué)生對根的判別式加深理解，所以教師可以設(shè)計階梯式的變式訓(xùn)練讓學(xué)生練習(xí)：

1.方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，則b2-4ac______0.

2.方程ax2+bx+c=0（a≠0）無解，則b2-4ac______0.

3.方程2x2+bx+3=0有解，則b的取值范圍為________.

4.方程-x2+4x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則c的取值范圍為_________.

5.方程（a-1）x2+2x+4=0有解，則a的取值范圍為_______.

6.（k2+1）x2-2kx+（k2+4）=0的根的情況是__________.

7.關(guān)于x的一元二次方程2x（ax-4）-x2+6=0沒有實數(shù)根，那么a的最小整數(shù)值是_____.

通過對同一個數(shù)學(xué)知識點的多種變式題型，可以讓學(xué)生對根的判別式與方程的根的關(guān)系進(jìn)一步理解，并學(xué)會解決含有字母的方程以及求字母的范圍等等，讓學(xué)生對該知識點深刻理解并熟練掌握。但是讓學(xué)生學(xué)會解題不是教學(xué)的主要目的，主要是讓學(xué)生可以利用學(xué)到的知識點解決實際問題以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，發(fā)展自身的能力。教師可以結(jié)合實際問題設(shè)計變式練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)在生活中的實用性。如“將軍飲馬”問題：“在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營。請問怎樣走才能使總的路程最短？”由此延伸的一系列求距離最短等問題都是考察學(xué)生對軸對稱以及兩點之間距離最短等知識點的靈活應(yīng)用能力。

在教學(xué)過程中，恰當(dāng)?shù)睦米兪浇虒W(xué)相比題海戰(zhàn)術(shù)對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果來說更加好，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的解題能力，發(fā)散學(xué)生的思維以及發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力。但是在運用變式教學(xué)時應(yīng)該注意幾個問題，首先，變式教學(xué)不是萬能的，并不適合任何知識的教學(xué)，不是特地要為了變而變，要清楚“變”的目的其實是為了“不變”，突出知識的本質(zhì)，達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。其次，實施變式教學(xué)時應(yīng)該要考慮全體學(xué)生的水平，設(shè)計梯度較大的題目對知識水平好的學(xué)生來說受益匪淺，但是對知識水平一般或是比較弱的學(xué)生來說，就達(dá)不到預(yù)期的效果，反而讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭惡感，因此教師在設(shè)計題目時要兼顧兩頭的學(xué)生，不能顧此失彼。最后，變式教學(xué)的方法不是短時間就能夠達(dá)到目的的，它是一個長期累積的過程，需要教師多方面收集課本上和課外輔導(dǎo)資料上的習(xí)題，把這些習(xí)題進(jìn)行整合，使題目變得具有差異性、層次性和內(nèi)涵性。充分了解變式教學(xué)的優(yōu)缺點，讓變式教學(xué)成為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的助推器。

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